RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Poincaré Gruppe und allgemeine Relativitätstheorie
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik
Autor Nachricht
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 01. Mai 2024 13:13    Titel: Poincaré Gruppe und allgemeine Relativitätstheorie Antworten mit Zitat

In der speziellen Relativitätstheorie ist die Poincaré-Gruppe die Isometrie-Gruppe der Raumzeit und nach dem Relativitätsprinzip überträgt sich die Symmetrie auf die Bewegungsgleichungen klassischer Massenpunkte.

Wie überträgt sich dieses Konzept auf die allgemeine Relativitätstheorie? Wird die Poincaré-Gruppe durch das Konzept der Killing-Vektoren abgelöst?
Meines Wissens nach gilt die Symmetrie der Bewegungsgleichungen in der ART aber für eine viel größere Menge an Transformationen. Sollen die Gleichungen nicht invariant gegenüber ALLEN Diffeomorphismen zwischen Raumzeitpunkten sein?

Mich interessiert wie sich die Formulierung der SRT mit der Poincaré Gruppe, der Homogenität der Raumzeit, des Relativitätsprinzips etc. auf die ART überträgt.

Eine weiterführende Frage wäre welche Auswirkungen das auf das Vorhandensein von Erhaltungsgrößen wie Energie und Impuls hat.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18457

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Mai 2024 14:50    Titel: Antworten mit Zitat

Da die Raumzeit in der ART dynamisch ist und keine vorgegebene Geometrie existiert, funktioniert eine derartige globale Symmetrie nicht.

Die allgemeine Symmetrie der Theorie ist zunächst mal die unter Diffeomorphismen.

Lösungen = Raumzeiten können spezielle Symmetrien aufweisen, diese sind kodiert in den von dir genannten Killing-Vektoren, die auch mit Erhaltungssätzen verknüpft sind.

Betrachtet man Vierbeine auf den Tangentialräumen je Punkt der Raumzeit, so erhält man eine Lorentz-Symmetrie; daraus folgt eine lokale Eichsymmetrie.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 01. Mai 2024 16:11    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:


Lösungen = Raumzeiten können spezielle Symmetrien aufweisen, diese sind kodiert in den von dir genannten Killing-Vektoren, die auch mit Erhaltungssätzen verknüpft sind.



Weisen dann die Bewegungsgesetze der klassischen Teilchen auch die Raumzeitsymmetrien auf, weil diese in den Diffeomorphismen enthalten sind und die Bewegungsgesetze unter allen Diffeomorphismen symmetrisch sind?

Wieso beschränken sich die Symmetrien der Bewegungsgesetze dann auf die Raumzeitsymmetrien?

Übrigens vielen Dank für die interessanten Diskussionen mit dir.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 01. Mai 2024 16:13    Titel: Antworten mit Zitat

Ah sorry, ich hab was vergessen
Diese Frage "Wieso beschränken sich die Symmetrien der Bewegungsgesetze dann auf die Raumzeitsymmetrien?"
bezog sich auf die SRT. Ich meinte wieso sich die Symmetrien der Bewegungsgesetze in der SRT auf die Raumzeitsymmetrie (in dem Fall die Poincare Gruppe) beschränkt.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 297

Beitrag Corbi Verfasst am: 04. Mai 2024 04:13    Titel: Antworten mit Zitat

Die Allgemeine Relativitätstheorie lässt sich im Vielbein-Formalismus auch als Eichtheorie der Poincare-Gruppe verstehen (allerdings nicht als Yang-Mills-Eichtheorie, da die Lagrangedichte hier anders konstruiert wird).

Im Vielbein Formalismus wird das Gravitationsfeld durch das Vielbein-Feld e codiert, wobei e durch



definiert wird. Hier hat man nun offenbar eine lokale Eichfreiheit, da zwei Vielbein-Felder die sich nur um eine Poincare-Transformation unterscheiden physikalisch offenbar äquivalent sind. (Translationen sind dabei als Translationen in jedem Tangentialraum zu verstehen und nicht auf der Mannigfaltigkeit).

Die Einstein-Hilbert-Wirkung ist dann in diesem Formalismus invariant unter lokalen Poincare-Transformationen.

_________________
Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18457

Beitrag TomS Verfasst am: 04. Mai 2024 08:40    Titel: Antworten mit Zitat

👍

Ein guter Startpunkt ist evtl. dieser Artikel: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tetradic_Palatini_action

Diese Fornulierung wird oft mittels des ADM-Formalismus weiterentwickelt; wesentliche Anwendungen findet man in der LQG, Stichwort Ashtekar-Variablen: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ashtekar_variables

Wichtig ist, dass dieser Ansatz bereits klassisch zwingend notwendig für die Beschreibung von Spinorfeldern ist: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spin_connection

Dies führt automatisch auf die Einstein-Cartan-Theorie: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0606062

Zu verschiedenen Formulierungen der ART plus deren Erweiterungen als Eichtheorie hat Hehl viel veröffentlicht: https://arxiv.org/search/gr-qc?searchtype=author&query=Hehl,+F+W

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 04. Mai 2024 13:24    Titel: Antworten mit Zitat

Danke euch beiden. Ich werde mich mal dort einlesen. Thumbs up!
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik