Poincaré Gruppe und allgemeine Relativitätstheorie

Quantumdot · Gast

In der speziellen Relativitätstheorie ist die Poincaré-Gruppe die Isometrie-Gruppe der Raumzeit und nach dem Relativitätsprinzip überträgt sich die Symmetrie auf die Bewegungsgleichungen klassischer Massenpunkte.

Wie überträgt sich dieses Konzept auf die allgemeine Relativitätstheorie? Wird die Poincaré-Gruppe durch das Konzept der Killing-Vektoren abgelöst?
Meines Wissens nach gilt die Symmetrie der Bewegungsgleichungen in der ART aber für eine viel größere Menge an Transformationen. Sollen die Gleichungen nicht invariant gegenüber ALLEN Diffeomorphismen zwischen Raumzeitpunkten sein?

Mich interessiert wie sich die Formulierung der SRT mit der Poincaré Gruppe, der Homogenität der Raumzeit, des Relativitätsprinzips etc. auf die ART überträgt.

Eine weiterführende Frage wäre welche Auswirkungen das auf das Vorhandensein von Erhaltungsgrößen wie Energie und Impuls hat.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18196

Da die Raumzeit in der ART dynamisch ist und keine vorgegebene Geometrie existiert, funktioniert eine derartige globale Symmetrie nicht.

Die allgemeine Symmetrie der Theorie ist zunächst mal die unter Diffeomorphismen.

Lösungen = Raumzeiten können spezielle Symmetrien aufweisen, diese sind kodiert in den von dir genannten Killing-Vektoren, die auch mit Erhaltungssätzen verknüpft sind.

Betrachtet man Vierbeine auf den Tangentialräumen je Punkt der Raumzeit, so erhält man eine Lorentz-Symmetrie; daraus folgt eine lokale Eichsymmetrie.

Quantumdot · Gast

Quantumdot · Gast

Ah sorry, ich hab was vergessen
Diese Frage "Wieso beschränken sich die Symmetrien der Bewegungsgesetze dann auf die Raumzeitsymmetrien?"
bezog sich auf die SRT. Ich meinte wieso sich die Symmetrien der Bewegungsgesetze in der SRT auf die Raumzeitsymmetrie (in dem Fall die Poincare Gruppe) beschränkt.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 297

Die Allgemeine Relativitätstheorie lässt sich im Vielbein-Formalismus auch als Eichtheorie der Poincare-Gruppe verstehen (allerdings nicht als Yang-Mills-Eichtheorie, da die Lagrangedichte hier anders konstruiert wird).

Im Vielbein Formalismus wird das Gravitationsfeld durch das Vielbein-Feld e codiert, wobei e durch

definiert wird. Hier hat man nun offenbar eine lokale Eichfreiheit, da zwei Vielbein-Felder die sich nur um eine Poincare-Transformation unterscheiden physikalisch offenbar äquivalent sind. (Translationen sind dabei als Translationen in jedem Tangentialraum zu verstehen und nicht auf der Mannigfaltigkeit).

Die Einstein-Hilbert-Wirkung ist dann in diesem Formalismus invariant unter lokalen Poincare-Transformationen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18196

👍

Ein guter Startpunkt ist evtl. dieser Artikel: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tetradic_Palatini_action

Diese Fornulierung wird oft mittels des ADM-Formalismus weiterentwickelt; wesentliche Anwendungen findet man in der LQG, Stichwort Ashtekar-Variablen: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ashtekar_variables

Wichtig ist, dass dieser Ansatz bereits klassisch zwingend notwendig für die Beschreibung von Spinorfeldern ist: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spin_connection

Dies führt automatisch auf die Einstein-Cartan-Theorie: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0606062

Zu verschiedenen Formulierungen der ART plus deren Erweiterungen als Eichtheorie hat Hehl viel veröffentlicht: https://arxiv.org/search/gr-qc?searchtype=author&query=Hehl,+F+W

Quantumdot · Gast

Danke euch beiden. Ich werde mich mal dort einlesen. Thumbs up!