Trägheitsmoment Vollzylinder mit (Voll)Halbkugel

Gimel · Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 96 Wohnort: Wuppertal

Hallo Physiker,
Wie der Titel schon verrät habe ich eine Frage zu einem Trägheitsmoment.
Mein Aufgabe ist es, das Trägheitsmoment eines stehenden Vollzylinders mit einer (Voll)Halbkugel oben drauf zu berechnen ( Rotation um z-Achse, ja, sehr gnädig;) ). Die Höhe des Zylinders ist dabei h und der Radius des Zylinders ist gleich dem der Halbkugel ( also kein Pilz ).
Anfangs hatte ich mir gedacht, dass ich einfach beide Trägheitsmomente einzeln berechne, aber bin dann eigentlich direkt auch darauf gekommen, dass das schwachsinnig wäre. Denn das Trägheitsmoment muss hier ja kleiner sein als bei einem Zylinder alleine, da wegen der Halbkugel oben drauf weniger Masse weiter weg von der Rotationsachse ist.
Ich habe es bereits in Zylinder-Koordinaten und in Kugel-koordinaten versucht, aber jedesmal fehlt mir einfach die obere Grenze für r. Wobei ich diese schon bestimmen kann, allerdings würde ich mir damit immer eine weitere Variable einfügen bzw. hätte in der Grenze die Intergrationsvariable selber drinne -.-

Ein anderer Gedanke von mir war auch, da es sich hierbei um einen Rotationssymmetrischen Körper handelt, über den "Randgraphen" ( kA wie man das nennt ) zu integrieren. Allerdings würde ich dabei eine Funktion brauchen, die zunächst grade verläuft und dann plötzlich den Bogen der Halbkugel beschreibt, was mich hier also nicht viel weiter bringt.

Ich hoffe mal, dass jemand hier einen Tip für mich hat. Bitte keinen großen, denn ich ärger mich grün und blau, dass ich bei dieser Aufgabe ( die ich für recht elementar halte ) nicht weiterkomme.

PS:
kA ob es was nützte, aber es ist aus der th. Physik.

PPS:
Ich hab es hier noch nicht mit kartesischen Koordinaten versucht, weil ich das bei Zylindern und Kugeln für sehr umständlich halte, aber meint ihr, dass das hier vllt des Rätsels Lösung ist ?

Sry, so viel text für so etwas -.-

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Warum addierst du nicht die beiden Anteile von Zylinder und Kugel, bzw. meinst, dass das nicht zulässig wäre?

Für das Trägheitsmoment ist nur der Abstand der Massepunkte von der Drehachse relevant; falls die Massepunkte parallel zur Drehachse verschoben sind (obere und untere Kugel), so ändert das nichts an den Summen.

Gimel · Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 96 Wohnort: Wuppertal

Ok, dann habe ich mir vllt nur etwas falsches eingeredet, weil ich es seltsam fand, so eine simple Aufgabe in der theoretischen Physik zu bekommen.

Ja, ich weiß jetzt auch wo mein Denkfehler war. Hab nur jemanden gebraucht, der es einfach mal ausspicht.

Dankeschön smile

EDIT: Erklärung meines Denkfehlers
Das Trägheitsmeoment gibt einem ja auf eine Weise die Massenverteilung im Bezug auf die Rotationsachse an.
Nun dachte ich mir, dass bei einem Zylinder ja mehr Masse weiter weg ist von der Z-Achse als bei einer Kugel.
Also dachte ich mir, dass das gesamte Trägheitsmoment kleiner sein muss als bei einem Vollzylinder alleine.
Und jetzt kam der falsche Gedanke:
I_Zylinder + I_Halbkugel > I_Zylinder
Wobei ich einfach nicht bedacht habe, dass der Zylinder rechts ja die gleiche Gesamtmasse hätte wie das Gebilde links, wodurch sich die Relation umkehren würde.
Es war ein sehr sbtruser Denkfehler... ich schäme mich geschockt

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Gimel · Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 96 Wohnort: Wuppertal

Es geht um das Trägheitsmoment um die Symmetrieachse. Und das ist ja in diesem Fall die z-Achse.
Aber selbst wenn es jetzt eine andere Achse wäre, fände ich es nicht so schwierig vergl. mit anderen Aufgaben der th. Physik. Insbesondere jetzt, da der Denkfehler behoben wurde.
Bei einer anderen Achse würde ich einfach zunächst das Trägheitsmoment des Zylinders berechnen und dann auf die Halbkugel den Steinerschen Satz anwenden.