Gravitationspotential einer homogenen Kugel

Saxophon · Anmeldungsdatum: 05.12.2008 Beiträge: 35

Hallo,
tut mir leid, dass ich hier ein eigenes Thema eröffne, obwohl diese Thematik schon öfter hier angesprochen wurde. Ich möchte das Gravitationspotential im Inneren einer (Voll-)kugel mit konstanter Dichte bestimmen. Bei Wikipedia bin ich auf die Poisson-Gleichung gestoßen; da wir diese aber noch nicht behandelt haben, gehe ich davon aus, dass auch ein elementarer Weg zum Ziel führt.
Mein Ansatz: (r : Abstand vom Kugelmittelpunkt M; R betrachteter Ort)
Ich betrachte die Ebene, die senkrecht auf der Verbindungslinie MR steht und durch R geht. Sie teilt die Kugel in zwei Hälften. Dann berechne ich den Schwerpunkt des einen Kugelsegments und den des anderen und zusammen mit den Massen der beiden Kugelsegmente bekomme ich dann die Beschleunigung. Auf ein Objekt im Punkt R wirkt dann die Differenz der beiden Beschleunigungen.

Kann man das so machen? Ich hab mich noch nicht an die Berechnung der Schwerpunkte gewagt, weil sie etwas abschreckend ist und wollte mich nun erst einmal erkundígen, ob der Ansatz überhaupt stimmt.

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Saxophon · Anmeldungsdatum: 05.12.2008 Beiträge: 35

(Gut, ich habe mir auch fast gedacht, dass der Ansatz etwas aufwändig und unschön ist.)

Zur Geometrie: Mein Problem ist im Grunde eindimensional, da sich die Kräfte, die nicht parallel zu r (Vektor) sind, aufgrund der Symmetrie gegenseitig aufheben.

Zur Integration: Ich möchte die Masse über den Abstand zu R integrieren, wobei ich immer nur die Massenprojektion auf die Gerade RM betrachten muss (etwas unverständlich ausgedrückt). Allerdings weiß ich nicht, wie das mein Problem vereinfachen sollte, läuft doch im Grunde auf das gleiche hinaus oder?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich sehe nicht, wie man dieses Problem irgendwie auf ein eindimensionales vereinfachen könnte.

Ich würde vorschlagen, über alle Massenelemente dreidimensional zu integrieren, indem man ihre Beiträge zum Gravitationspotential im gewünschten Punkt aufaddiert.

Als einzige mögliche "Vereinfachung" der Rechnung würde ich dabei (wie auch schon von Herbststurm angesprochen) die Wahl von Koordinaten vorschlagen, in denen sich am leichtesten über so eine Kugel integrieren lässt. Welche würdest du da nehmen?