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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
Beiträge: 96
Wohnort: Wuppertal
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 Gimel Verfasst am: 23. Okt 2008 22:26 Titel: Lokales Potential |
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Heyho Physiker,
Ich habe Probleme bei einer Aufgabe aus dem Bereich der Theo. Physik.
Genauer gesagt bereitet mir der Begriff Lokales Potential Probleme.
Hier ist die Aufgabenstellung:
Ein Teilchen bewege sich in einer Ebene, von der der Ursprung ausgenommen sei, in einem Kraftfeld
=\frac{1}{r²} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} )
Dabei sei 
Naja, das ganze ist quasi eine Kraft, die gegen den Uhrzeigersinn um den Urpsrung kreist und radial mit 1/r² abnimmt. Aus diesem Grund verrichtet sie keine Arbeit an einem Teilchen, welches sich radial vom Ursprung wegbewegt, da das Feld immer orthogonal zur Bewegungsrichtung wäre ( Dadrum ging's im ersten Aufgabenteil ).
Der zweite Punkt dieser Aufgabe ist, zu zeigen dass es unmöglich ist für das Feld global ein Potential zu finden.
Das habe ich gezeigt, indem ich mich einmal auf dem Einheitskreis bewegt habe und die Arbeit ungleich 0 war.
Allerdings verlängt diese Aufgabe von mir auch noch, dass ich ein lokales Potential angebe.
Damit komme ich aber überhaupt nicht zurecht. Was soll dieses lokale Potential sein?
"Schneide" ich mir einfach ein Stück aus der Ebene raus und betrachte das?
Und noch viel wichtiger:
Wie komme ich auf ein lokales Potential.
Es muss ja aufjedenfall irgendwie möglich sein, denn sonst würde es keine weitere Folgeaufgabe geben, die von mir verlangt, dass ich mit Hilfe des lokalen Potentials die Arbeit berechne, die das Feld an einem Teilchen verrichtet, welches sich auf einer beliebigen Bahn bewegt ( wegen 1/r² ist wahrscheinlich der Nullpunkt aber weiterhin ausgeschlossen ). |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Okt 2008 22:36 Titel: Re: Lokales Potential |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: | Was soll dieses lokale Potential sein?
"Schneide" ich mir einfach ein Stück aus der Ebene raus und betrachte das?
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Einverstanden  Und zwar gerne sogar ein infinitesimal kleines Stück.
| Zitat: |
Und noch viel wichtiger:
Wie komme ich auf ein lokales Potential.
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Wie bei normalen Potentialen auch. Welchen Zusammenhang kennst du zwischen einem Kraftfeld an einem Ort und dem zugehörigen Potentialfeld?
| Zitat: |
( wegen 1/r² ist wahrscheinlich der Nullpunkt aber weiterhin ausgeschlossen ). |
Einverstanden. Beim Rechnen mit so einem lokalen Potential wird man dann sicher darauf achten wollen, dass dieser Nullpunkt dann nicht mit zu so einer Bahn, (und, wenn man so will, auch nicht zu so einem "lokal herausgeschnittenen" Flächenstück von oben) gehören dürfen soll. |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
Beiträge: 96
Wohnort: Wuppertal
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| Gimel Verfasst am: 23. Okt 2008 22:53 Titel: Re: Lokales Potential |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
[...]
Wie bei normalen Potentialen auch. Welchen Zusammenhang kennst du zwischen einem Kraftfeld an einem Ort und dem zugehörigen Potentialfeld?
[...]
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 )
Da ich hier sonst nichts weiter gegeben habe, müsste ich wohl F(x) über x integrieren und für den beliebigen Weg dann über alle infinitesimalen Stücke, durch die das Teilchen kommt, integrieren (Wegintegral). Fragezeichen. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Okt 2008 23:00 Titel: Re: Lokales Potential |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: |
Da ich hier sonst nichts weiter gegeben habe, müsste ich wohl F(x) über x integrieren und für den beliebigen Weg dann über alle infinitesimalen Stücke, durch die das Teilchen kommt, integrieren (Wegintegral). Fragezeichen. |
Das wäre die eindimensionale Variante "in x-Richtung".
Wie würdest du die mehrdimensionale Variante derselben Sache (mit Gradient statt Ableitung) machen? Findest du ein Feld V, dessen Gradient mit negativem Vorzeichen davor das gegebene Kraftfeld ergibt? (An allen "braven" Stellen, die also nicht ausgerechnet im Ursprung liegen) |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
Beiträge: 96
Wohnort: Wuppertal
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| Gimel Verfasst am: 23. Okt 2008 23:26 Titel: |
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Ich meinte eigentlich schon den Gradienten, war nur schreibfaul 
Also habe bei der Bestimmung das 1/r² in den vektor reingezogen und dann erhalte ich:
=- \begin{pmatrix} -atan(\frac{x}{y}) \\ atan(\frac{y}{x}) \end{pmatrix} )
Kann ich denn nun annehmen, dass auf diesen infinitesimalen Stücken meine Kraft konservativ ist und somit nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt, damit ich die Arbeit über } - \vec{V} \vec{(x_2)} = W) bestimmen kann ? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 24. Okt 2008 01:27 Titel: |
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Wenn der (negative) Gradient von  gleich dem Kraftfeld sein soll, dann darf das Feld ) kein Vektorfeld ) sein, sondern muss ein skalares Feld sein.
Um dieses skalare Feld zu bestimmen, musst du also etwas anderes rechnen als das, was du eben probiert hast. Vielleicht wird diese Rechnung ja einfacher, wenn du dir überlegst, in welche Richtung die Pfeile des Kraftfeldes zeigen, und ob sich das ganze folglich noch leichter rechnen lässt, wenn man zum Beispiel Polarkoordinaten wählt?
| Gimel hat Folgendes geschrieben: |
Kann ich denn nun annehmen, dass auf diesen infinitesimalen Stücken meine Kraft konservativ ist und somit nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt, damit ich die Arbeit über bestimmen kann ? |
Ja, das wirst du dann annehmen können, wenn du ein passendes skalares Vektorfeld gefunden hast. (Dass dein bisheriger Ausdruck  keinen Sinn ergeben kann, siehst du ja direkt daran, dass da "Vektor minus Vektor gleich Skalar" steht.) |
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aVague
Anmeldungsdatum: 04.10.2008
Beiträge: 186
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| aVague Verfasst am: 24. Okt 2008 16:46 Titel: |
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Endlish eine gute Aufgabe
Erstens will ich mich interessieren , sind Sie mit Stoks-Formel bekannt?
es wird  wo  sein .Fur PotentialFeld muss es  sein. Punkt (0,0) ist ein Diskontinuitätspunkt fur Vektorfeld  . So als Sie  berechnen wird es  sein, nicht 0. |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 24. Okt 2008 17:03 Titel: |
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| aVague hat Folgendes geschrieben: | | |
Gefällt mir nicht.
Stokes Integralsatz ist hier wie du sagst gefragt, aber das die Rotation des Kraftfeldes das Potential ergeben soll halte ich für ziemlich falsch.
Gruß |
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wishmoep
Anmeldungsdatum: 07.09.2008
Beiträge: 1342
Wohnort: Düren, NRW
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| wishmoep Verfasst am: 24. Okt 2008 17:08 Titel: |
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Ist nicht eher die Divergenz eines Kraftfeldes ein Potential? |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 24. Okt 2008 17:19 Titel: |
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| wishmoep hat Folgendes geschrieben: | | Ist nicht eher die Divergenz eines Kraftfeldes ein Potential? |
Die Divergenz ist ein Skalar welcher etwas über die Quellstärke sagt.
Das Potential, präziser Potentialdifferenz ist die Kraft im Wegintegral.
Daher ist die Kraft auch der negative Gradient des skalaren Potentials.
Die Rotation des Kraftfeldes ergibt ein Vektorfeld und dieses entspricht im konservativen Fall dem Nullvektor, man nennt das wirbelfrei.
Das ist eine Bedingung, dass man z.b. die Kraft als -grad V schreiben darf. Wenn zum Beispiel in die Elektrodynamik siehst, dann darfst das E Feld nur dann als - grad Phi schreiben, wenn es statisch ist. Bewegt sich die Ladung, dann ist es nicht mehr wirbelfrei.
Gruß |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
Beiträge: 96
Wohnort: Wuppertal
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| Gimel Verfasst am: 24. Okt 2008 17:36 Titel: |
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Mir ist jetzt klar, dass das Potential ein Skalarfeld sein soll, aber dann verstehe ich nicht, wieso in der Aufgabenstellung verlangt wird, dass ich ein Potential zu  und nicht zu  finden soll.
Zudem verstehe ich dann auch nicht wie ich ein Potential finden sollte, welches ein Skalar ist, wenn doch das Kraftfeld ein Vektorfeld ist.
Soll ich etwa F imaginär darstellen? o_O
Oder gibt es da eine andere Möglichkeit der "Umwandlung"?
@aVague:
Mir ist jetzt der Begriff "Stoks-Formel" nicht bekannt, allerdings habe ich wie oben beschrieben quasi auch das gleiche gemacht, nämlich einen geschlossenen Weg abgelaufen und festgestellt, das die Arbeit ungleich 0 ist, sondern 2Pi und somit das Feld (global) nicht konservativ sein kann. |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 24. Okt 2008 17:39 Titel: |
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Was ich oben schrieb Gimel war nicht an dich gerichtet. Sorry wenn jetzt etwas falsch verstanden hast. Damit habe ich nur die beiden Aussagen über meiner kommentiert. |
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aVague
Anmeldungsdatum: 04.10.2008
Beiträge: 186
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| aVague Verfasst am: 24. Okt 2008 17:43 Titel: |
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Entshuldigung , ich meinte ob  da wird  sein ,  ist ein Potential |
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aVague
Anmeldungsdatum: 04.10.2008
Beiträge: 186
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| aVague Verfasst am: 24. Okt 2008 17:47 Titel: |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: | | habe ich wie oben beschrieben quasi auch das gleiche gemacht, nämlich einen geschlossenen Weg abgelaufen und festgestellt, das die Arbeit ungleich 0 ist, sondern 2Pi und somit das Feld (global) nicht konservativ sein kann. |
und was willst du weiter machen?
arbeit =  , weil  da wird 
Zuletzt bearbeitet von aVague am 24. Okt 2008 19:24, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
Beiträge: 96
Wohnort: Wuppertal
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| Gimel Verfasst am: 24. Okt 2008 17:52 Titel: |
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Hab gefunden, wonach ich gesucht hab und läuft wohl doch auf integrieren hinaus:
 = - \int_{x_a}^{x_b}~\vec {F}~\vec {dx} ) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 24. Okt 2008 18:30 Titel: |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: | Hab gefunden, wonach ich gesucht hab und läuft wohl doch auf integrieren hinaus:
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So könnte man das formulieren.
Noch etwas genauer würde ich vorschlagen, dafür zu schreiben:
-U(\vec x_a) = - \int_{\vec x_a}^{\vec x_b}~\vec {F}~\vec {dx})
Das ist gleichbedeutend mit:
)
Das ist aber nun erst der Ansatz, und die Aufgabe bleibt nach wie vor, ein ) zu finden, das diese Gleichungen erfüllt (zumindest lokal, denn für den Nullpunkt muss das ja wie gesagt nicht gelten.)
Magst du das mal probieren? Wie würdest du das angehen? |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
Beiträge: 96
Wohnort: Wuppertal
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| Gimel Verfasst am: 24. Okt 2008 19:03 Titel: |
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Also ich bin jetzt nicht von
ausgegangen, sondern von:
Da wir es so in der Vorlesung hatten und ich auch nicht mit Grenzen Integriert habe.
Damit erhalte ich:
)
(An sich hatte ich 2 Summanden atan(...), die ich dann mit dem Additionstheorem zusammengefasst hab)
Da gilt: W=U(x_1,y_1) - U(x_2,y_2), kann ich nun meine Arbeit auf einem beliebigen Weg bestimmen |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 24. Okt 2008 19:30 Titel: |
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Einverstanden
Dabei meinst du dann mit das Potential an der Stelle  , wenn man das Potential an der Stelle  als Potentialnullpunkt wählen möchte. |
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