| Autor |
Nachricht |
Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
|
 Thor Verfasst am: 15. Jan 2008 10:25 Titel: Funktion als Fourierreihe |
 |
|
Hallo,
ich will grad diese Aufgabe bearbeiten:
Gegeben sei die periodische Funktion:
y(t) = + a für 0 t < T/2 und y(t) = - a für T/2  t < T
im Periodenintervall T.
Schreiben Sie diese Funktion als Fourierreihe !
Skizzieren Sie das zugehörige Fourierspektrum !
Nur habe ich keine Schimmer, was mit +a und -a gemeint ist. Die Definition einer Fourierreihe hab ich mal bei wiki nachgelesen.
Nach wiki gilt:
= \frac{a_{0}}{n}+ \sum_{k=1}^{n}{(a_{k}\cos(k\omega t)+b_{k}\sin(k \omega t))})
hier ist mein n ja 2. was aber jetzt zu tun ist weiß ich leider nicht. kann mir jemand weiterhelfen??
[as_string: Wenn Du vor Funktionen wie sin und cos einen Backslash machst, dann stellt es Latex nicht kursiv dar, so wie es für Funktionen gebräuchlich ist] |
|
 |
sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
|
| sax Verfasst am: 15. Jan 2008 10:49 Titel: |
|
|
Hallo Thor,
mit +a bzw -a ist eine Konstante gemeint, die Funktion nimmt den Wert
+a an wenn die Zeit kleiner als T/2, die halbe Periodendauer ist, und -a wenn die Funktion groesser als T/2 ist.
Wenn zum Beispiel T= 1s waere und a =1 dann waere vin der Zeit von 0s bis 1/2 s der Wer der Funktion gleich 1 und im Zeitraum von 1/2s bis 1s gleich -1, danach gehts wieder mit 1 los.
Die Definition der Foriereihe solltest du nochmal nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
Eine Reihe ist ja gerade eine Summe mit unendlich vielen Koeefizienten, n=2 ist falsch. Wie bestimmt man die Koeffizienten einer Fourierreihe ? |
|
|
Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
|
| Thor Verfasst am: 15. Jan 2008 13:37 Titel: |
|
|
hi sax
danke für die schnelle antwort. den ersten teil hab ich verstanden und
ich habs mir bei wiki nochmal durchgelesen. doch weiß ich immer noch nicht wie ich die koeffizienten einer fourrierreihe bestimmen kann. |
|
|
sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
|
| sax Verfasst am: 15. Jan 2008 16:41 Titel: |
|
|
Hmm, okay, ich hoffe du hast die richtige Fouriereihe in der Form
=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_n cos(k \omega t) + b_n \sin(k \omega t) )
gesehen. Hierbei ist 
Jede Periodische Funktion laesst sich auf diese Art und Weise darstellen.
Wenn du bei Wiki zwei Zeilen weiter unten schaust findest du die folgenden Gleichungen:
 \cos(n \omega t) )
 \sin(n \omega t) )
(die konstante c die bei wiki angefuehrt wird ist beliebig und kann daher zu Null gesetzt werden)
Nun ist f(t) ja gerade:
=\left\{ \begin{matrix} a & t<T/2 \\ -a & t>T/2 \end{matrix} \right. )
Jetzt must du nur noch die Integrale loesen. Dazu wuerde ich vorschlagen, das Integrationsintervall in die bereiche 0..T/2 und T/2..T aufzuteilen.
Kommst du jetzt weiter ?
_________________
Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
|
|
Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
|
| Thor Verfasst am: 15. Jan 2008 20:11 Titel: |
|
|
danke sax
hab  und  bestimmt. wenn ich sie aber jetzt in =\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{a_{n}....} ) einsetzten will, bekomme ich ein problem, da
(1-cos(n\pi)) ) ist und für n=0 hab ich im Nenner dann eine Null
für  hab ich )
der gebrauch und nutzen von fourrierreihen ist mit noch unklar. mit ihnen kann man alle periodischen schwingungen darstellen. meine ausgangsfunktion bestimmt jedoch das aussehen der mit fourrier erstellten schwingung. ich packe also eine funktion rein und erhalte eine schwingung. somit kann ich z.b. mit periodisch digitalen signalen eine periodisch analoge schwingung erzeugen?? es ist also ein "hilfsmittel" um periodische funktionen erstellen zu können, die jedoch von der ausgangsfunktion abhängig ist?
sind diese gedanken richtig?? |
|
|
sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
|
| sax Verfasst am: 15. Jan 2008 22:48 Titel: |
|
|
Das sieht doch schon ganz gut aus. Setze doch mal n=0 direkt ins Integral ein, dann siehst du das  gilt.
Es gilt sogar, dass alle  sind, da =0 ) . Mit ein wenig Übung sieht man das auch ohne Rechnen, da der Kosinus symmetrisch bezüglich T/2 ist und die Funktion f antisymmetrisch. Damit ist der Ausdruck unter dem Intgral als ganzes antisymmetrisch und das Integral wird ergibt Null.
Bei  weicht mein Ergebnis um
einen Faktor zwei von deinem ab. Hast du beide Terme
 - \int_{T/2}^T a \sin(n \omega t) \right) = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} a \sin(n \omega t)=\frac{2a}{n \pi} \left( \cos (n \pi) -1 \right) )
richtig mitgenommen ?
Auf jeden Fall ist =(-1)^n ) .
Für gerade n ist das 1 und für ungerade -1. Das bedeutet der Ausdruck in der Klammer ist Null wenn n gerade ist und 2 wenn n ungerade ist.
Was eingesetzt dabei Rauskommt findest du übrigens bei Wiki ganz unten bei den Beispielen, da ist der Rechteckimpuls dabei.
Deine Gedanken zum Sinn des ganzen sind richtig, aber man kann noch viel mehr damit machen. Wenn man zum Beispiel eine Funktion die man nicht explizit kennt misst, kann man mithilfe numerischer Integration die Fourierkoeffizieten bestimmen und erhaelt dann die Frequenzanteile dieser Funktion. Das wurde zum Beispiel frueher mit zur Gezeitenvorhersage genutzt, man hat die höhe des Pegelstandes gemessen der ja einigermassen periodisch ist und hat möglichst viele Fourierkoeffizienten bestimmt.(hab ich ziumindest gehört).
Als Theoretiker fällt mir noch der Nutzen ein, das man manchmal was ausrechnen will, und nur weiss das eine periodische Anregung besteht, ohne das man weiss wie diese genau aussieht. Indem man eine allgemeine Fouriereihe Ansätzt lässt sich oft dann doch noch was vernünftiges ausrechnen. Oder man nimmt Fouriereihen als Lösungsansatz etc. , es gibt noch einen hafen anderer Anwendungen.
_________________
Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
