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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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 Gargy Verfasst am: 09. Dez 2007 21:23 Titel: Trägheitstensor Hohlzylinder |
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Hallo, ich brauche mal Hilfe bei einer Aufgabe...
Ich soll den Trägheitstensor eines Holzylinders berechnen.
Der Hohlzylinder hat die Länge l, Masse m, Außenradius  und Innenradius  . Die Dichte ist homogen. Als Koordinatensystem soll ein KS gewählt werden, in dem der Schwerpunkt im Ursprung liegt und die Symmetrieachse mit z zusammenfällt.
Irgendwie weiß ich aber trotzdem nicht, wie ich anfangen soll. Ich habe noch die Formel für den Tensor
 )
wobei  wenn i=k
Aber irgendwie  will's nicht funktionieren. Egal, was ich versuche, kommt nur Kram bei raus. Kann mir jemand helfen und sagen, wie ich da anfange? (Bitte nicht sagen, ich soll einfach einsetzen - ich steh da echt auf dem Schlauch  ) |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 10. Dez 2007 09:03 Titel: |
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Hallo Gargy.
Wenn Du die Symmetrie des Hohlzylinders ausnutzt, reduziert sich die Zahl der zu bestimmenden Trägheitsmomente auf zwei. Der Trägheitstensor besteht dann nur aus den Diagonalelementen - den Hauptträgheitsmomenten -  . Der Ausdruck für  sollte nicht problematisch sein (oder?).
Weiterhin gilt, daß  sein muß. Der Ansatz für das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse ist:
Dabei ist  der Abstand des Volumenelements zur x-Achse (nicht zum Ursprung!). Das Volumenelement  wählt man in Zylinderkoordinaten.
Reicht das, damit Du weiterkommst? |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Dez 2007 12:04 Titel: |
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Hallo nochmal, ich habe mal etwas probiert und wüsste gern, ob's vielleicht richtig ist.
~dV=\rho \int (r²-z²)r~dr~d \varphi~ dz=\rho \int (r³-z²r)~dr~d \varphi~ dz)
= \frac{\rho}{4} (r_{a}^{4}-r_{i}^{4}) \int \int~d \varphi~ dz- \frac{\rho z²}{2} (r_{a}^{2}-r_{i}^{2}) \int \int~d \varphi~ dz )
 \int_{0}^{l} dz - 2 \rho \pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2}) \int_{0}^{l} z²~dz)
 - \frac{2}{3} \rho \pi l^{3} (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})= \rho \pi l (r_{a}^{2}-r_{i}^{2}) \cdot ( (r_{a}^{2}+r_{i}^{2})-\frac{2}{3}l²))
-\frac{2}{3}l²))
Stimmt das? Wenn ja, wie berechne ich also die anderen beiden? Wenn nein  |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 10. Dez 2007 13:45 Titel: |
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Hallo Gargy.
Die einfachste Definition des Trägheitsmoments eines Körpers bezüglich einer beliebigen Drechachse ist
Es ist wichtig die Bedeutung der Größe r zu verstehen. Dies ist der Abstand des betrachteten Masselements von der Drehachse.
Die Tensordefinition, die Du angegeben hast, enthält ebenfalls ein r. Hiermit ist der Ortsvektor gemeint. Also die zum Masseelement  gehörige Koordinate ) . Schreibt man Deine Formel für die neun Matrixelemente des Tensors aus erhält man die Darstellung von Wikipedia:
Die Verwirrung wird komplett, wenn Du auch noch Zylinderkoordinaten einführst. Auch hier taucht die Größe r auf. Dies beschreibt natürlich den Abstand eines Punktes von der z-Achse des gewählten Koordinatensystems. Ist die Drehachse nicht gleich der z-Achse, hast Du jetzt drei unterschiedliche Bedeutungen für eine einzelne Buchstabenbezeichnung!
Wenn Du keine Unterscheidung triffst und alle rs gleich behandeltst, ist jeglicher Rechenansatz zum scheitern verurteilt. Ich schlage vor, daß Du bei der obigen Matrix startest. Drücke die kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten aus; Das Masse- bzw. Volumenelement kennst Du bereits; die Grenzen des Radius hast Du auch richtig gewählt. Bei der z-Achse mußt Du wieder aufpassen: der Ursprung soll durch den Schwerpunkt des Körpers gehen.
Wenn Du richtig gerechnet hast solltest Du merken, daß die Nichtdiagonalelemente (die Deviationsmomente) null sind und  ist. |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Dez 2007 19:04 Titel: |
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Aha, ich bin also verwirrt 
Also ist meine Berechnung falsch????
Wegens der Integration: Die Grenzen von z sind  und  . Ich habe gleich mal 2 genommen und dann bis... ach Mist, dann muss ich ja von Null bis . 
Okay, aber mein Problem sind gerade die x und y Koordinaten. Kann ich dann einfach  bzw.  einsetzen? Und z?
Zylinderkoordinaten sind  , oder?
Meine Güte, soviele r's |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 10. Dez 2007 20:14 Titel: |
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In Deiner Rechnung war schon in der ersten Zeile das r-Problem aufgetreten. Beim Ausdruck ) ist der Ortsvektor, bei  der Abstand zur z-Achse gemeint. Der Rest konnte da schon nicht mehr stimmen.
Mit der Verwendung der Zylinderkoordinaten liegst Du jetzt richtig. Du hörst es vielleicht nicht gerne, aber setz doch einfach mal ein . |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Dez 2007 22:30 Titel: |
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Hm, also ich habe jetzt mal  berechnet mit dem Ansatz
r ~dr~d \varphi~dz)
Nach etlichen Rechenschritten komme ich auf
 \pi l \cdot (\frac{r_{a}^{2}+r_{i}^{2}}{8}+\frac{l²}{12})=m \cdot (\frac{r_{a}^{2}+r_{i}^{2}}{8}+\frac{l²}{12}))
wobei mich daran noch das Achtel stört . Oder ist es vielleicht doch richtig? Ich kann überhaupt nichts finden in den Bücher oder Internet, was da rauskommen soll.
Ich habe das Moment für x noch nicht ausgerechnet, allerdings sieht man während der Rechnung, dass es für x das gleiche sein muss, weil dann einmal cosx mal sinx gibt, was auf jeden Fall Null wird für 0 und 2  .
Und jetzt nochmal wegen z...
Wenn das r in der Klammer der Ortsvektor ist und das r dahinter der Abstand, dann ist doch das ganze Gerechne da oben auch umsonst, oder? |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Dez 2007 22:35 Titel: |
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Weil letzlich habe ich eben ja auch  gesetzt, nicht? Denn, wenn  und y , dann ist 
D.h. doch aber, dass ich das r hinter der Klammer falsch verwende. Wie also ersetze ich den Abstand durch etwas plausibles in Zylinderkoordinaten? Geht das überhaupt?
edit\\ Nee, ich mache irgendwas anderes falsch, denn ich muss ja über den Abstand integrieren. Also ist das r in der Klammer falsch. Jetzt bin ich wieder total verwirrt. |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 10. Dez 2007 23:01 Titel: |
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Schon nicht schlecht gerechnet. Bis auf einen Lapsus: es muß 1/4 heißen, nicht 1/8. Du hast irgendwo einen Faktor 2 verbummelt. Ich habe das Ergebnis sowohl mit dem Kuchling als auch mit dem Dubbel verifiziert.
Für die Berechnung von  hast Du richtig erkannt, daß die Integration über das Quadrat von Sinus oder Cosinus dasselbe ergeben muß. Man kann sich also die Arbeit ersparen.
Der Cosinus mal Sinus taucht beim Deviationsmoment  auf und führt dazu daß das Integral null wird.
Du brauchst Dir bei der jetzigen Rechnung keine Sorgen um unterschiedliche rs zu machen. Hier ist immer der Radius eines Zylinders gemeint (Zylinderkoordinate). |
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 10. Dez 2007 23:06 Titel: |
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Kuchling! Den hab ich doch auch! Mensch, da guck ich gleich mal. Aber soweit bin ich ja fertig (den Fehler find ich noch) - DANKE SCHÖN!
Wird auch Zeit,  |
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