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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 6
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 rakete007 Verfasst am: 16. Dez 2023 12:04 Titel: Trägheitstensor von vier Punktmassen |
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Meine Frage:
Vorab: Mir ist bewusst, dass eine sehr ähnliche Frage bereits existiert. Trotzdem hilft mir diese leider nicht weiter.
Ich habe die Ortsvektoren von vier Punktmassen gegeben, die als Rechteck angeordnet sind. Nun soll ich den Trägheitstensor der Anordnung im kartesischen Koordinatensystem (x,y,z) berechnen. Der Schwerpunkt liegt im Ursprung.
Da es sich ja um Punktmassen handelt, benötigt man kein Integral, sondern kann die einzelnen Komponenten der Matrix per Summe (?) berechnen. Nun zu meinem Problem: ich habe keine Ahnung welche Formel man für die einzelnen Komponenten benutzt.
Meine Ideen:
Im Internet habe ich beispielsweise sowas wie I_{xx}=m*(y^2+z^2) gefunden, jetzt weiß ich aber nicht was ich wo überhaupt einsetzen soll...
Ich glaube, es würde mir bereits helfen, wenn ich das Vorgehen für eine Komponente verstehe. Ich hoffe, jemand kann weiterhelfen.
LG
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3401
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| ML Verfasst am: 16. Dez 2023 12:29 Titel: Re: Trägheitstensor von vier Punktmassen |
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Hallo,
wenn Du  Massepunkte hast, geht es so:
(Ich muss sowas auch nachschauen, das hab ich nicht im Kopf.)
)
Du addierst letztlich 3x3-Matrizen, die als Vorfaktor/Wichtung die Masse des jeweiligen Massenpunktes haben.
x,y,z sind die Komponenten des Ortsvektors zum Massenpunkt. Falls Du ganz konkrete Hilfe brauchst, gib die Koordinaten der Massepunkte und ihre Masse an.
Viele Grüße
Michael
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 6
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| rakete007 Verfasst am: 16. Dez 2023 13:37 Titel: |
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Dankeschön für die Antwort. Meine Punkte haben die Koordinaten (25a, 0, 0), (7a, 24a, 0), (-7a, -24a, 0) und (-25a, 0, 0) und jeweils die Masse m.
Wenn ich nun die erste Komponente berechnen will, von welchem Punkt nehme ich dann die y- und z- Koordinaten? Oder berechnet man je eine Matrix pro Massepunkt? Ich weiß leider nicht, wie man hier weitermacht.
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3401
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| ML Verfasst am: 16. Dez 2023 14:07 Titel: |
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Hallo,
| rakete007 hat Folgendes geschrieben: | Dankeschön für die Antwort. Meine Punkte haben die Koordinaten (25a, 0, 0), (7a, 24a, 0), (-7a, -24a, 0) und (-25a, 0, 0) und jeweils die Masse m.
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Ok. Also gilt
| Zitat: |
Wenn ich nun die erste Komponente berechnen will, von welchem Punkt nehme ich dann die y- und z- Koordinaten? Oder berechnet man je eine Matrix pro Massepunkt? |
Die Summenbildung geht von  . Also hast Du pro Massepunkt eine Matrix.
Die Rechnung geht dann so:
 + ... + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
<br />
{y_4^2 + z_4^2}&{ - {x_4}{y_4}}&{ - {x_4}{z_4}} \\
<br />
{ - {y_4}{x_4}}&{x_4^2 + z_4^2}&{ - {y_4}{z_4}} \\
<br />
{ - {z_\nu }{x_4}}&{ - {z_\nu }{y_4}}&{x_4^2 + y_4^2}
<br />
\end{array}} \right)
<br />
)
Natürlich kannst Du die Summation auch in den einzelnen Komponenten notieren. Wenn ich mich nicht verrechne, erhalten wir dann (ich speichere zwischen):
^2 + (24a)^2 + 0}&{ - [25a\cdot 0 + 7a\cdot 24a -7a\cdot 24a - 25a\cdot 0 ]}&{ 0 } \\
<br />
{ - [25a\cdot 0 + 7a\cdot 24a -7a\cdot 24a - 25a\cdot 0 ]}&{(25a)^2+(7a)^2+(-7a)^2+(-25a)^2}&{ 0} \\
<br />
{ 0 }&{ 0 }&{(25a)^2+[(7a)^2+(24a)^2] + [(-7a)^2+(24a)^2] + (-25a)^2}
<br />
\end{array}} \right)
<br />
)
<br />
)
Die Matrix ist erfreulicherweise schon in Diagonalform gegeben, so dass Du die Hauptachsen nicht mehr finden musst.
Viele Grüße
Michael
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 6
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| rakete007 Verfasst am: 16. Dez 2023 14:52 Titel: |
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Ich bin auf dieses Ergebnis gekommen, hoffe es ist richtig. Muss man eigentlich die vier Massen auch summieren, also hat man am Ende *4m, oder reicht ein m?
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3401
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| ML Verfasst am: 16. Dez 2023 15:54 Titel: |
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Hallo,
| rakete007 hat Folgendes geschrieben: | Ich bin auf dieses Ergebnis gekommen, hoffe es ist richtig.
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Du kannst es ja mal mit meiner Lösung vergleichen. Dort siehst Du die einzelnen Matrizen ja noch.
Worauf Du achten solltest ist, dass die Quadrate der negativen Zahlen positiv sind. Du musst ja erst quadrieren und dann summieren. Mit dem Quadrieren fallen die Vorzeichen weg.
Konkret: ^2 + (-7a)^2 = 98a^2) und nicht etwa null.
| Zitat: | | Muss man eigentlich die vier Massen auch summieren, also hat man am Ende *4m, oder reicht ein m? |
Das m wird nicht mit 4 multipliziert.
Viele Grüße
Michael
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rakete007
Anmeldungsdatum: 01.12.2023
Beiträge: 6
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| rakete007 Verfasst am: 17. Dez 2023 16:00 Titel: |
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Perfekt, ich hab's jetzt verstanden! Vielen lieben Dank 
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