Trägheitsmomente berechnen? Ein Tipp?

fit_for_fun · Anmeldungsdatum: 22.11.2007 Beiträge: 39

Hallo zusammen,
ich habe ein grosses Problem:
Ich soll auf meinem jetzigen Übungsblatt einige Trägheitsmomente berechnen. Kugeln, Zylinder, Steinerscher Satz.....usw.

Ich weiss man soll sich infinitesimale Massenelemente ansehen und integrieren. Dichte vor das Integral ziehen und nach dm integrieren. SO weit ist glaube ich die Theorie.

Das Problem ist jetzt, das ich den Schritt von Theorie ins Rechnung nicht verstehe. Mir fehlt das Handfeste, besser gesagt, ich weiss nicht wirklich was ich machen soll unglücklich

Könntet ihr mir bitte Tipps geben? Keine endgültige Lösung, da ich nichts fertiges nehmen möchte, (gibt es ja sicher genug im Netz), aber in der Prüfung zum Schein hat man ja kein Internet ^^

Merci,
Grüsse,
fit_for_fun

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo fit_for_fun.

Die Berechnung von Trägheitsmomenten hat eine gewisse Verwandschaft mit der Volumenberechnung von Körpern:

Beim Trägheitsmoment hat man praktisch eine Gewichtung der Volumenelemente (eigentlich Masseelemente) mit

in Bezug auf die gewählte Drehachse. Das rechnerische Geschick liegt darin, das Volumenelement

derart zu wählen, daß die Integration leicht zugänglich ist. Häufig wählt man dazu Zylinder- oder Kugelkoordinaten.

Das nur als kurzer Hinweis, wie man Trägheitsmomente angehen kann. Stelle einfach mal eine Aufgabe ins Forum, sage welchen Ansatz Du machen würdest und wo Du Probleme siehst. Dann kann man Dir konkreter helfen.

fit_for_fun · Anmeldungsdatum: 22.11.2007 Beiträge: 39

Hallo,
danke für die Antwort.
Das hier wäre die erste Aufgabe des Blattes:

http://farm3.static.flickr.com/2382/2073159623_74df1bdd71_o.jpg

Das mit der Aufsummierung der Volumenelemente habe ich glaube ich verstanden, aber ich komme mit dem "jetzt konkret berechnen" irgendwie nicht klar. Auch weil ich noch nie wirklich mit Kugelkoordinaten gerechnet habe. (Wurden nur kurz in der Vorlesung eingeführt und fertig) Ist meine erste Übung mit Kugelkoordinaten....

Ich weiss jetzt nicht, was ich konkret mit der Aufgabe anstellen soll unglücklich

Wäre super wenn ich noch nen Tipp bekommen würde^^
Aber bitte keine totale durchgerechnete Lösung. Wäre mir nicht recht.
Ich sehe zwar in meinen Vorlesungen wahnsinnig viele Leute, die einfach nur abschreiben, aber das rächt sich bestimmt, wenn es dann um die Prüfung zum Schein geht...

danke euch smile

Grüsse,
fit_for_fun

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Für den ersten Teil ist es unerläßlich, daß Du nähere Bekanntschaft mit den Kugelkoordinaten machst; diese sind die erste Wahl zum Lösungsansatz:

In der Rechenvorschrift des Trägheitsmoments steht der Abstand

zur Drehachse. Versuche diesen in Kugelkoordinaten auszudrücken. Finde heraus, wie das Volumenelement lautet und welche Grenzen bei der Integration der drei Koordinaten gesetzt werden müssen.

Ich empfehle Dir außerdem eine anschauliche Skizze von der Kugel zu machen und die beteiligten Größen einzuzeichnen.

Beim dritten Teil bin ich mir nicht sicher, welche Achse genommen werden soll, entlang der dünnen Seite oder Senkrecht dazu grübelnd

? Ersteres ist einfach zu rechnen, letzteres etwas unangenehmer. Kannst Du das klären?

Kommst Du mit den Hinweisen erst einmal zurecht?

fit_for_fun · Anmeldungsdatum: 22.11.2007 Beiträge: 39

Hi,
danke für die Tipps. Ich habe mich jetzt sehr intensiv damit auseinandergesetzt und habe jetzt nur noch zwei konkrete Probleme, bei denen ich nicht weiter weiss...

1.)
Das Volumenelement

ist so wie ich das verstanden habe, eigentlich auch nur das Produkt der infinititesimalen Fläche

mal infinitesimale Dicke

.
Das

die Dicke ist verstehe ich, aber das

kapiere ich nicht. Habe aus meinem Mathematikbuch gelesen, dass

ist. Exakt das verstehe ich nicht. Wieso ergibt sich das für das Flächenstück? Ich habe zwar viele Skizzen der Kugelkoordinaten gesehen, werde aber daraus trotzdem nicht schlau unglücklich

2.)
Mein zweites Problem sind die Integrationsgrenzen unglücklich

Mir ist bewusst, dass ich ein Dreifachintegral lösen muss. Bei kartesischen Koordinaten sind mir alle drei Integrationsgrenzen vollkommen klar, aber bei den Kugelkoordinaten werde ich da nicht schlau draus.
Die Grenze des äussersten Integrals, dass als letztes Berechnet wird ist mir logisch. Von

bis

macht Sinn.
Aber beim mittleren und inneren Integral verstehe ich es nicht.

Das innere hat ja die Grenze

bis

Ist mit

evtl. der Kreisumfang gemeint? Wenn ja, weshalb hat dann das mittlere Integral nur die Grenze

bis

?

Hier habe ich noch das Bild dazu:

http://farm3.static.flickr.com/2271/2077814464_752a1b80bb_o.jpg

Wäre echt super, wenn ihr mir bei den zwei Fragen helfen könntet.
merci,
Grüsse,
fit_for_fun

P.S.
Das war mein aller erster Versuch mit Latex in meinem Leben smile

Sorry wenn es evtl. nicht ganz korrekt gemacht wurde

http://www.kampfkunst-board.info/forum/images/smilies/redface.gif

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Es ist lange her, daß ich mir darüber Gedanken gemacht habe, wo der Auddruck zum Flächen-/Volumenelement eigentlich herkommt. Ich habe dazu selbst nocheinmal ein paar Bildchen erstellt.

Der Breitenkreis hat den Radius

. Damit ist ein Bogenstück auf dem Breitenkreis

.

Der Längenkreis hat immer den Radius

. Also ergibt sich für das Bogenstück auf dem Längenkreis

.

Das ergibt dann für das Flächenelement:

Für die Vollkugel muß man die Schalen Integrieren:

Nun zu den Grenzen der Winkel. Der Azimutwikel

muß natürlich einen Vollkreis beschreiben um einmal um den Breitenkreis herumzugehen. Der Polarwinkel

wird derart gewählt, daß der Radiusvektor von der +z-Achse bis zur -z-Achse verläuft (Anschaulich geht man dabei vom Nordpol über den Äquator zum Südpol). Würde man den Polarwinkel ebenfalls im Vollkreis wählen, dann zählte man zuviel. Dazu dreht man ja Azimutwinkel um mehr als 180° um auf die andere Seite der Kugel zu kommen.

fit_for_fun · Anmeldungsdatum: 22.11.2007 Beiträge: 39

Hi,
danke, ist einiges klarer geworden. Funktionsdeterminante ist mir jetzt völlig klar. Habe auch das Blatt komplett berechnet smile

Damit ist das Kapitel bis nächstes Semester beendet. Trägheitstensoren kommen in Theo II erst nächstes Halbjahr dran.

merci für die Hilfe,
Grüsse,
fit_for_fun