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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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 shadow07 Verfasst am: 04. Okt 2007 15:29 Titel: Fadenpendel |
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Hallo,
wenn ich eine Masse m an einem Faden habe und die Fadenlänge während der Bewegung veränderbar ist, habe ich dann zwei generalisierte Koordinaten (Auslenkwinkel und Fadenlänge l(t))? |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
Beiträge: 417
Wohnort: Nieder-Wöllstadt
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| Patrick Verfasst am: 04. Okt 2007 18:49 Titel: |
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Du hast zwei generalisierte Koordinaten: den Winkel und die Länge!
Dabei lauten die Lagrangegleichungen:
Dies sind die Bestimmungsgleichungen und dann setzst du die Zeitabhängige Funktion l(t) ein! |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 04. Okt 2007 20:34 Titel: |
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Ja, genau so hatte ich es vermutet, war mir aber nicht sicher. Dann erhält man 2 Bewegungsgleichungen.
Was würdest du für die y-Koordinate wählen? Ich bin mir nicht sicher, ob  ausreicht, aufgrund der veränderbaren Fadenlänge.
| Patrick hat Folgendes geschrieben: |
Dies sind die Bestimmungsgleichungen und dann setzst du die Zeitabhängige Funktion l(t) ein! |
Was meinst du damit? |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
Beiträge: 417
Wohnort: Nieder-Wöllstadt
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| Patrick Verfasst am: 05. Okt 2007 09:03 Titel: |
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Ja, die y-Richtung wählst du so:
 * cos \Phi)
denn die Hypotenuse (hier l(t)) verändert zeitlich nur ihren Betrag und
nicht ihre Richtung! Genauso bei der x-Richtung gilt:
 * sin \Phi) |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 05. Okt 2007 12:01 Titel: |
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Was meinst du mit zeitabhängige Funktion l(t) einsetzen? Das verstehe ich noch nicht.
Ich stell ja über die kinetische und potentielle Energie meine Lagrangefunktion auf und berechne dann die zwei Bewegungsgleichungen nach den zwei Koordinaten l(t) und phi(t). Was soll ich dann wo einsetzen? 
Für y ist auch immer die Frage ob man  cos \phi) wählt oder -l(t) cos \phi) . Normalerweise ist zweiteres richtiger, meiner Meinung nach. Ich sehe in Lehrbüchern auch immer wieder beide Varianten. Bei der potentiellen Energie sucht man ja den Höhenunterschied zwischen der Ruhelage und der Auslenkung. Das wäre dann Gesamtlänge minus der aktuellen Höhe, also . |
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 05. Okt 2007 13:22 Titel: |
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Hi shadow07
Ich versuch mal zu helfen
| shadow07 hat Folgendes geschrieben: |
Ich stell ja über die kinetische und potentielle Energie meine Lagrangefunktion auf und berechne dann die zwei Bewegungsgleichungen nach den zwei Koordinaten l(t) und phi(t). Was soll ich dann wo einsetzen?
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Nicht ganz... Problem ist, dass ein ) vorgegeben sein muss. Stell Dir vor, das wäre beliebig, dann macht deine Kugel einfach einen freien Fall nach unten und das is ja nicht Sinn der Aufgabe...
Das ist in diesem Fall kein Freiheitsgrad des Systems (sonst wärs ja ein Teilchen im Schwerefeld und das kennt man ja schon), sondern eine Zwangsbedingung des System, die du mit dem Koordinatenwechsel in Polarkoordinaten "relativ" einfach eliminieren kannst.
| shadow07 hat Folgendes geschrieben: |
Für y ist auch immer die Frage ob man wählt oder . Normalerweise ist zweiteres richtiger, meiner Meinung nach. Ich sehe in Lehrbüchern auch immer wieder beide Varianten. Bei der potentiellen Energie sucht man ja den Höhenunterschied zwischen der Ruhelage und der Auslenkung. Das wäre dann Gesamtlänge minus der aktuellen Höhe, also . |
Kommt drauf an, wo man den Ursprung des Koordinatensystems legt und/oder wie man's dreht, aber nur wenn diese Interialsysteme sind (Da es sich bei den zweiten um ein beschleunigtes KS handelt bin ich mir da nicht sicher ob das richtig ist).
Deshalb einfach mal den Ursprung Fix im Anhängepunkt des Pendels wählen, so dass das Pendel in Ruhe entlang der y-Achse hängt. Der Massenpunktsortsvektor hat dann einen negativen y-Wert. Jetzt die Transformation auf die Pol-Koordinaten... dann erhällst du als kinetische Energie
^2+\dot{l}^2))
Die potentielle Energie hängt nur von der y-Koordinate ab und da man den Nullpunkt des Potentials beliebig wählen kann (vielleicht =0) ) ist diese einfach durch
\cdot l)
mit der Länge des Fadens ) und dem Auslenkwinkel des Pendels ) .
Und wahrscheinlich schon erkannt ist die karthesische y-Koordinate dann durch
\cdot l) zu berechnen. edit: Vozeichenfehler korrigiert
Mit würde ich nicht rechnen da du dich hier in einem zum Pendel bewegten Bezugssystem befindest (ausser =const) ) und da komische Sachen passieren können 
Hoffe ich konnte helfen
Gruß
Zuletzt bearbeitet von t.t. am 05. Okt 2007 14:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 05. Okt 2007 13:41 Titel: |
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Hallo t.t.,
genau so würde ich es auch rechnen. Ich war mir nur nicht sicher wie ich y wählen muss.
Wenn ich jetzt eine feste Fadenlänge hätte, dann könnte ich auch mit  rechnen? Oder generell besser mit  ? |
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t.t.
Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz
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| t.t. Verfasst am: 05. Okt 2007 14:31 Titel: |
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Bei einer festen Fadenlänge ist das kein Problem. Da legst du dann halt einfach den Ursprung deines System um  nach unten. Das macht keine Probleme, weil der Lagrange-Formalismus auch bei einer zeitunabhängigen additiven Verschiebung des Systems die gleichen Bahnen liefert.
Man erhält halt als Lösung der EL-Gleichung die Bahn im aufgestellten KS. Aber ein bisschen aufpassen mit dem Vorzeichen...
Ups... Vorzeichenfehler, aber gemerkt...
Die potentielle Energie \cdot l) und ) passen nicht. Minus hin und es passt wieder... 
Also es muss heisen ) und dann macht eine Verschiebung um ein (konstates) nichts aus.
Kann man ja mal aus Spass machen. Sagen wir mal:
l) .
Die kinetische Energie bleibt die gleiche, nur das Potential ändert sich zu
l)m\cdot g=U+m\cdot g\cdot l)
Leitet man das Potential nach dem Winkel ab, so fällt der Faktor einfach raus, da
Es entsteht also die gleiche Bewegungsgleichung...
Welchen Ursprung (bzw welches Interial-System) man wählt ist für die analytische Mechanik meistens unerherblich und man kann's sich aussuchen... In dem Fall führen viele Wege nach Rom
Gruß |
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shadow07
Anmeldungsdatum: 08.04.2007
Beiträge: 371
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| shadow07 Verfasst am: 05. Okt 2007 14:39 Titel: |
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Cool, vielen Dank  |
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