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Fadenpendel und Federschwinger
 
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sniper278



Anmeldungsdatum: 31.01.2007
Beiträge: 23

Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 15:16    Titel: Fadenpendel und Federschwinger Antworten mit Zitat

Hallo!

Bin gerade dabei ein Praktikumsprotokoll zur Thema Schwingsdauer eines Fadenpendels und eines Federschwingers anzufertigen.
Ich komme beim Belegen nicht weiter.

1.
Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist nur von der Pendellänge abhängig, aber warum?
Wir haben unterschiedliche Pendellänge, mit gleiche Amplitude verglichen und zusätzlich auch den Versuch mit unterschiedlichen Massen durchgeführt.

Ein Grund muss die Massenträgheit, sonst würde das Pendel in der Gleichgewichtslage stehen bleiben. Aber was bremst dann ein Pendel mit großer Masse, dass ein zweites gleichlanges Pendel mit kleiner Masse, genau dieselbe Schwingungsdauer besitzt?

2.
Die Schwingungsdauer eines Federschwingers ist von seiner Masse abhängig.
Die Amplitude ist auch hier immer gleich. Die Schwingsungsdauer aber unterschiedlich. Das liegt an der Gewichtskraft, oder? Je schwerer der Körper, desto träger reagiert das Pendel und die Schwingung wird länger, oder?
Ich soll den Zusammenhang mit mathematischen methoden genauer untersuchen und überlegen was passiert wenn m -> 0 läuft. Ohne Gewichtskraft gibt es keine Gegenkraft, also müsste es auch keine Schwingung geben.

War die letzten paar Stunden nicht im Unterricht, weil ich krank war. Harmonsiche Schwingung und die Bewegungsgesetze waren die letzten Themen.

Wär nett wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte.
mfg
sniper278

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 15:23    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Wie ist den die Schwingungsdauer/-frequenz eines harmonischen Schwingers? Hast Du das schon gelernt? Da kommen zwei Größen vor, nur eine davon ist die Masse. Die andere hat mit der rücktreibenden Kraft zu tun. Von was hängt diese beim Federpendel ab? Von was beim Fadenpendel?

Gruß
Marco
sniper278



Anmeldungsdatum: 31.01.2007
Beiträge: 23

Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 15:42    Titel: Antworten mit Zitat

Eine harmonische Schwingung ist doch eine Sinusschwingung.
Speziell beim Federpendel wirkt die Federkraft und die Gewichtskraft. Beim Fadenpendel weis ich es nicht. Die Gewichtskraft ist auch vorhanden, aber die wirkt ja Richtung Erde und das Pendel schwingt ja horizontal.

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 16:03    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!
sniper278 hat Folgendes geschrieben:
Eine harmonische Schwingung ist doch eine Sinusschwingung.

Ja, das schon. Habt Ihr da auch eine Formel gelernt? Du müsstest eine haben, bei der Du die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit ausrechnen kannst. Da kommen zwei (oder auch drei...) Konstanten drin vor. Kennst Du die Formel?
sniper278 hat Folgendes geschrieben:
Speziell beim Federpendel wirkt die Federkraft und die Gewichtskraft.

Ja, im Prinzip ist das soweit richtig.
Bei einer harmonischen Schwingung ist wichtig, dass die rücktreibende Kraft linear zur Auslenkung ist. Also, je stärker die Auslenkung, desto stärker die Kraft entgegen der Auslenkung. Als Formel schreibt man dafür:

Es stimmt zwar, dass bei dem Federpendel sowohl die Federkraft als auch die Gewichtskraft auf die Masse wirken, aber wenn man sich das genauer anschaut, ist die Gewichtskraft für die Schwingung eigentlich gar nichts so besonders wichtig. Die führt nur dazu, dass der Punkt, um den die Masse schwingt, weiter nach unten versetzt ist. Die rücktreibende Kraft hängt davon eigentlich nicht mehr wirklich ab, wenn man das x (also die Auslenkung) immer ausgehend von diesem Nullpunkt (oder Ruhelage) aus nimmt. Der Linearitätsfaktor D wird immer nur von der Federhärte abhängen, genauer gesagt mit ihr identisch sein.
sniper278 hat Folgendes geschrieben:
Beim Fadenpendel weis ich es nicht. Die Gewichtskraft ist auch vorhanden, aber die wirkt ja Richtung Erde und das Pendel schwingt ja horizontal.

Beim Fadenpendel ist es so, dass man die Gewichtskraft ähnlich wie bei einer schiefen Ebene in einen Anteil in Richtung es Fadens und einen in Richtung der Ruhelage, also nach schräg unten. Je größer die Auslenkung, desto größer die rücktreibende Kraft auch hier. Man kann jetzt wieder ausrechnen, wie groß hier der Linearitätsfaktor D wäre, also wie stark die Kraft mit der Auslenkung ansteigt. Und damit kann man wieder eine Formel für die Schwingungsdauer und -Frequenz angeben. Da müsstet Ihr im Unterricht auch was dazu gelernt haben.

Gruß
Marco
sniper278



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Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 16:29    Titel: Antworten mit Zitat

Die Auslenkung ist s = s^*sin wt
meinst du die?

Also wenn ich dich richtig verstanden habe, spielt die Gewichtskraft keine besondere Rolle, weil die Feder trotzdem schwingt. Entscheident ist dann ja nur die Amplitude.
Im Buch steht das D = mw² ist - ist das der Zusammenhang?
F = -mw²*s
Und F ist die Kraft die zur Gleichgewichtslage gerichtet ist, kann das sein?

Fadenpendel haben wir noch nicht durchgenommen. Schätze mal das wir uns dass im Praktikum selbst erarbeiten sollen.

Ich glaub so langsam begreif ich das ganze. Ich starte mal einen Versuch:
Wenn die Schwingung über die Gleichgewichtslage hinaus geht, dann baut sich eine Gegenkraft zur Bewegungsrichtung auf, bis die beiden gleich groß sind. Anschließend läuft das ganze umgekehrt. Deswegen spielt die Gewichtskraft auch keine Rolle.

Das haben dann auch Feder- und Fadenpendel gemeinsam.

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ja, ich denke, wir kommen der Sache schon etwas näher! smile
Also: Wenn die Gewichtskraft (nach unten) gleich der Federkraft (nach oben) ist, dann ist das die Gleichgewichtslage. Dort wirkt also in Summe keine Kraft auf den Körper --> also auch keine Beschleunigung. Das bedeutet dann aber auch, dass er dort nicht abgebremst wird, sondern seine Geschwindigkeit beibehält.
Nur, wenn er weiter oben ist, ist die Gewichtskraft größer als die Federkraft und wenn er weiter unten ist umgekehrt die Federkraft größer als seine Gewichtskraft. Weiter oben wird er also zurück nach unten in Richtung Gleichgewichtslage getrieben und weiter unten auch, nur nach oben. Dadurch entsteht die Pendelbewegung.

Wichtig ist die Formel (die Du auch schon geschrieben hattest, nur nach Omega aufgelöst):

Weißt Du, was dieses Omega bedeutet? Wie kannst Du das in eine Frequenz umrechnen?

Gruß
Marco
sniper278



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Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 19:26    Titel: Antworten mit Zitat

das omega ist die kreisfrequenz.


Ich dachte bisher immer das D experimentell bestimmt werden muss.

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

OK, sehr gut: Das ist die Kreisfrequenz und Du kommst damit auf die Schwingungsfrequenz, indem Du einfach durch 2Pi teilst:

Du kannst also immer die Frequenz von so einem harmonischen Osz. ausrechnen, wenn Du irgendwie dieses D raus bekommst und wenn Du die Masse kennst.
Bei dem Federpendel ist die Sache recht einfach. Da ist nämlich das D einfach die Federhärte der verwendeten Feder. Du kannst da also direkt einsetzen und siehst, dass wenn Du immer die selbe Feder verwendest (also D gleich bleibt), die Frequenz von der Masse so abhängt:


Jetzt aber zum Fadenpendel. Nehmen wir mal an, dass wir die Masse m hier schon kennen (keine Sorge, die wird sich nachher hoffentlich weg kürzen... Augenzwinkern ) Wir müssen also nur noch die Rückstellkraft in Abhängigkeit der Auslenkung irgendwie rausbekommen. Dazu malen wir uns erstmal so ein Pendel auf (s. Skizze).
Ich hab da schon ein Dreieck eingezeichnet. Kannst Du in diesem Dreieck die Rückstellkraft F in Abhängigkeit der Gewichtskraft und dem Winkel ausdrücken? Versuch das mal! smile

Gruß
Marco



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sniper278



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Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 20:09    Titel: Antworten mit Zitat

Am Punkt der maximal Auslenkung muss doch gelten:
Dann muss für einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen gelten

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 20:24    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ja, genau! Sehr gut! Thumbs up!
Also haben wir schon mal:


Gut, weiter: Der Winkel ist ja ein Winkel im Bogenmaß (machen wir einfach mal so smile ). So ein Winkel im Bogenmaß gibt ja die Länge des Kreisbogens im Einheitskreis an. Wir haben hier zwar keinen Einheitskreis, sondern einen mit einem Radius, der der Länge des Fadens l entspricht, aber das ist ja auch schon was. Wenn wir nämlich einfach die Länge des Kreisbogens als Auslenkung x betrachten, dann ergibt sich für den Winkel:

das ist vielleicht etwas ungewohnt, aber eigentlich nicht so wahnsinnig schwer, denke ich.
Also haben wir als Rückstellkraft:

Bei dem letzten Schritt habe ich eine Näherung verwendet, die man häufig bei kleinen Winkeln machen kann. Da ist dann nämlich der Sinus eines Winkel ungefähr gleich dem Winkel selbst (im Bogenmaß). Das ist auch der Trick hier. Nur mit dieser Näherung wird die Schwingung nämlich zu einer harmonischen, weil dafür immer die Voraussetzung ist, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist. Und Sinus ist ja nicht linear...

Also haben wir die Rückstellkraft für ein Fadenpendel und vergleichen diese mit unserer allgemeinen Formel für eine Rückstellkraft in einem harmonischen Osz.:

Naja, wir sind jetzt mit dem Vorzeichen etwas durcheinander gekommen. Genau genommen müssten wir auch bei unserer Kraft oben noch ein Minus einfügen, weil die Kraft ja auch beim Fadenpendel entgegen der Auslenkung wirkt... Da muss man also immer vorsichtig sein.
Kannst Du, wenn Du die beiden Formeln vergleichst, sehen wie man in der allgemeinen Formel das D wählen müsste, damit gerade die Rückstellkraft für das Fadenpendel raus kommt, die wir oben ausgerechnet haben (bis auf das Vorzeichen natürlich)? Wenn Du das D hast, kannst Du das dann mal testweise in die Formel für die Kreisfrequenz einsetzen, die mit der Wurzel aus D/m?

Gruß
Marco
sniper278



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Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 20:42    Titel: Antworten mit Zitat

Also soll ich jetzt die beiden Rückstellkräft gleichsetzen?


Dann ergiebt sich für die Rückstellkraft
Das heißt für ergibt das ganze die Wurzel aus

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 21:03    Titel: Antworten mit Zitat

Genau!

Die Kreisfrequenz bei einem Fadenpendel ist also:

Die Frequenz hängt also gar nicht mehr von der Masse ab (weil die sich weggekürzt hat). Wenn man davon ausgeht, dass wir uns auf der Erde befinden, ist g konstant und die Frequenz hängt dann nur noch von der Länge des Fadens ab, also:


Gruß
Marco
sniper278



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Beitrag sniper278 Verfasst am: 04. Apr 2007 21:23    Titel: Antworten mit Zitat

Das heißt aber das das nur für kleine Amplituden gilt.

Danke, du hast mir sehr geholfen. Ich denke den Rest bekomme ich selbst hin. Thumbs up!

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Beitrag as_string Verfasst am: 04. Apr 2007 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

sniper278 hat Folgendes geschrieben:
Das heißt aber das das nur für kleine Amplituden gilt.

Ja, sonst isses keine harmonische Schwingung mehr. Wenn man das komplett mit sinus rechnen wollte, wär's irrsinnig kompliziert. Ich selbst kann das gar nicht. Also sei froh, dass wir das mit kleinen Amplituden gemacht haben! Augenzwinkern
Allerdings ist die Näherung ganz gut. Wenn Du einen Faden mit vielleicht 1m Länge hast und Ausschlage von ein paar Zentimetern, dass ist das mit der Näherung schon ok. Bei einem realen Fadenpendel gibt es noch einige andere Effekte, die da noch zu größeren Abweichungen führen, auch wenn man immer noch die Klein-Winkel-Näherung benutzt.

Gruß
Marco
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