Additivität der Partialdrücke & partielle Ableitungen

Mr. Sheesha · Anmeldungsdatum: 01.09.2007 Beiträge: 5

Hallo an Alle,

Ich habe eine Frage zur reversiblen adiabatischen Entmischung (Stoffe sind chemisch inert, es finden also keine Reaktionen statt).
Dort gilt laut Skript:

und

p ist der Druck der Mischung, die

die Partialdrücke der einzelnen Komponenten, ebenso für G (Gibbs'sche freie Energie). N steht für die Teilchen- bzw. Molzahl. Aus der Additivität kann man jetzt für die chemischen Potentiale folgern:

Wieso ergibt denn die Summe 0? Es ist mir klar dass alle Summanden mit

Null sind da

für

nicht von

abhängt, aber der i-te Summand - also

müsste doch ungleich Null sein, oder macht man hier was ganz anderes? Hoffe es kann mir jemand helfen.

Liebe Grüsse
Mr. Sheesha

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo Mr. Sheesha.

Mr. Sheesha · Anmeldungsdatum: 01.09.2007 Beiträge: 5

Hi Magneto,

Danke dir erst mal für die Antwort. Ich denke die Antwort auf deine Frage ist nein. Da wurde einfach die verallgemeinerte Kettenregel verwendet, also im Stil von:

Sei

. Dann gilt:

(Die Variable im Index wird bei der partiellen Ableitung festgehalten)

Und ist ist es ja dasselbe da die Gibbs'sche freie Energie G(T,p,N) eine Funktion des Druckes ist und dieser wiederum von der Teilchen- bzw. Molzahl abhängt. Es muss was anderes sein, aber ich komme leider auch nach längerem studieren nicht drauf warum die angesprochene Summe Null ergibt.

Liebe Grüsse
Sheesha

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Mr. Sheesha · Anmeldungsdatum: 01.09.2007 Beiträge: 5

Wär super wenn dir noch was einfällt, ich schlag mich schon seit Tagen damit rum. Wahrscheinlich ist es was ganz einfaches und ich komm einfach nicht drauf.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Bei nur einer Teilchensorte lautete deine Gleichung, da

Unabhängig vom physikalischen Hintergrund kann doch da was mit der Notation nicht stimmen, oder ? Bringst Du da nicht totale und partielle Ableitung durcheinander oder sonst was ?

Ich kenne den Prozess dahinter zwar nicht, aber was ist mit der Temperatur ?

Mr. Sheesha · Anmeldungsdatum: 01.09.2007 Beiträge: 5

Hallo schnudl,

Ja bei nur einer Teilchensorte würde es so stehen wie du es geschrieben hast. Ich glaube schon dass ich das richtig aufgeschrieben habe, denn wir leiten ja hier nur partiell nach der Teilchenzahl ab und die totale Ableitung wäre eine Ableitung nach allen Variablen, also auch nach T und p. Die Summe in der Formel tritt auf, weil der Druck ebenfalls von der Teilchenzahl abhängt (wir benutzen also die verallgemeinerte Kettenregel, wie oben beschrieben).
Zu deiner Frage zum Prozess: es handelt sich um eine ideale Mischung beliebiger chemisch inerter Stoffe (also keine Reaktionen) und der Vorgang der Mischung verläuft isotherm.

mfg
Sheesha

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Bei einem Satz von Zustandsvariablen (T, P, N) ist die partielle Ableitung von G(T, P, N) nach N wohldefiniert. Wieso soll noch da noch ein Term dazukommen, wenn man schon nach N abgeleitet hat und die Ableitung schon dort steht?

Die "Gleichung" für n=1 führt das ja schon ad absurdum...(sorry, aber ich muss es klar sagen)

Was möchtest du denn eigentlich zeigen ? grübelnd

Dass das chemische Potential die partielle Ableitung der freien Entalpie bei festgehaltenem T und P ist, kann man anders zeigen und hat auch nichts mit einer adiabatischen Entmischung zu tun.

Das ideale Gas hat z.B. die Freie Entalphie

Daher

Was du machst, ist, dass du nun sagst, dass bei einer Änderung von N sich auch P ändert. ZB wäre es denkbar, für das ideale Gas eine isochor/isotherme Zustandsänderung zu haben, wo sich aufgrund der Änderung von N auch P ändert, gemäss

Daher könnte man nun geneigt sein,

als zusätzliche Änderungsmöglichkeit von G anzunehmen, und zu sagen

Dies führt auf

was aber sicher falsch ist (das chemische Potential hängt nicht von der extensiven Größe N ab), und mit der gewünschten partiellen Ableitung nichts mehr zu tun hat. Es handelt sich hier eher um eine totale Ableitung unter Berücksichtigung der Zustandsgleichung, aber dann stimmt etwas mit deiner Schreibweise nicht, wie ich schon sagte.

Mr. Sheesha · Anmeldungsdatum: 01.09.2007 Beiträge: 5

Hallo Schnudl,

Nach eingehender Ueberlegung glaube ich nun auch, dass du recht hast, und es sich um die totale Ableitung nach N bei festgehaltenem T,p handelt, also die Summe wuerde dann natuerlich gar nicht auftreten, da ja p=const. Diese Formel stand so bei uns im Skript und zwar ging es darum, den Zusammenhang zwischen den chemischen Potentialen der reinen Stoffe und denen in der Mischung aufzuzeigen.

Adiabatische Entmischung ist nur ein Beispiel eines reversiblen Prozesses. Im Skript steht, den benoetige man um auszurechnen, wie gross die Entropie in der Mischung ist (weil man dann einfach die Entropien der reinen Stoffe addieren kann). Damit wurde dann die Freie Energie in der Mischung hergeleitet und aus deren Ableitung nach dem Volumen die Additivitaet der Partialdruecke, was wiederum ergab, dass die Freie Enthalpie der Mischung sich ebenfalls als Summe der freien Enthalpien der reinen Stoffe darstellen laesst.

Eventuell habe ich hier etwas falsch verstanden und wir brauchen fuer die Herleitung des Zusammenhangs der chemischen Potentiale gar keinen reversiblen Prozess der Entmischung? Bin gerade etwas verwirrt...
Auf jeden Fall vielen Dank fuer deine Antwort, damit ist zumindest das Problem geklaert weshalb die Summe gleich Null ist.

mfg
Sheesha