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Tensorprodukt & Vielteilchensystem
 
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Corbi



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Beiträge: 278

Beitrag Corbi Verfasst am: 29. Jul 2023 15:59    Titel: Tensorprodukt & Vielteilchensystem Antworten mit Zitat

Warum verwendet man in der Quantenmechanik das Tensorprodukt um ein Vielteilchensystem zu beschreiben und nicht die direkte Summe zweier Hilberträume?

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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 31. Jul 2023 09:21    Titel: Antworten mit Zitat

Das hat nur etwas damit zu tun, was man mit dem resultierenden Raum physikalisch anstellen welche Struktur man darauf implementieren möchte. Man muss also eher die Operatoren auf dem jeweiligen Raum betrachten.

Ein System, das man in zwei orthogonale Subsysteme aufteilen möchte, z.B. gebundene und Streuzustände, unter Parität gerade und ungerade Zustände, in der QFT Zustände mit unterschiedlicher Gesamtladung …







vs.

verschiedene Freiheitsgrade, mehrere (verschränkte) Teilchen A,B,C… oder verschiedene Teilchenarten







Im ersten Fall hast du einfach Operatoren H, P … , die auf dem gesamten Raum wirkt, während im zweiten Fall die Operatoren eine zusätzliche Struktur haben, z.B. am Beispiel des Hamiltonians H








Allerdings hängen beide Operationen eng zusammen, wie man am Beispiel zweier Spin-1/2-Teilchen erkennt:



wobei das Tensorprodukt zweier Spin-1/2-Darstellung in die direkte Summe des Spin-0-Singulets und des Spin-1-Triplets zerlegt werden kann. Hier gilt



also




Für endlich-dimensionale Vektorräume (und vermutlich auch für separable Hilberträume) und deren endlich Summen oder Produkten kann man aufgrund der Isomorphie aller endlich-dimensionalen Vektorräume (aller separablen Hilberträume) über dem selben Körper immer Bijektionen für sämtliche Zustände und Operatoren Bijektionen konstruieren. Im Falle von Drehimpulsen ist dies bekannt und nützlich, in anderen Fällen nicht. Betrachte zwei zwei-Zustands-Systeme, d.h. zwei System A, B mit Basen



und der Basis



Natürlich kann man dieses System auch mittels einer Basis



beschreiben. Die Operatoren wären dann nicht 2*2-Matrizen von 2*2-Matrizen sondern 4*4-Matrizen.

Der Nachteil wäre, dass man dem System die intuitiv klare Struktur nicht mehr ansehen würde.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jul 2023 12:45, insgesamt 10-mal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 31. Jul 2023 09:39    Titel: Antworten mit Zitat

Dann gibt es noch einen zweiten, formalen Grund, nämlich dass der Zustandsraum im strengen Sinne kein Hilbertraum sondern nur ein projektiver Hilbertraum ist, bei dem kollineare Vektoren



mit



identifiziert werden. Das ist verwandt mit Dichtematrizen, wobei die Basis gerade Projektoren auf den Unterräume sind.

Das funktioniert mit dem Tensorprodukt



jedoch nicht für die direkte Summe.

Anhand von Dichtematrizen kann man sich auch überlegen, dass die Konstruktion der Bornschen Regel mit direkten Summen nicht durchgeht.

Siehe hier Ray Representations: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_theorem

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jul 2023 12:46, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 31. Jul 2023 10:55    Titel: Antworten mit Zitat

Es gibt übrigens ein Beispiel, in dem beide Konstruktionen vorkommen, nämlich den Fockraum der Quantenfeldtheorie.

Man betrachtet dazu die Zustände des harmonischen Oszillators in unendlich-vielen Dimensionen, d.h. Zustände der Form





mit den Teilchenzahloperatoren je Position i






und







Zustände mit festem n bilden den n-Teilchen-Hilbertraum. Dieser entspricht n Produkten des Einteilchen-Hilbertraumes, d.h.



Prinzipiell muss man noch symmetrisieren bzw. anti-symmetrisieren



wobei dies in der o.g. Konstruktion mittels bosonischer bzw. fermionischer Erzeuger und Besetzungszahldarstellung implizit bereits berücksichtigt ist.

Der Fockraum entsteht dann als direkte Summe über alle n-Teilchen-Hilberträume, d.h.


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Corbi



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Beiträge: 278

Beitrag Corbi Verfasst am: 02. Aug 2023 12:49    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du eine etwas physikalischere Motivation geben?

Warum addiert man die Zustandsräume (Phasenräume) der einzelnen Teilchen in der klassischen Mechanik aber multipliziert die Zustandsräume (Hilberträume) der einzelnen Teilchen in der Quantenmechanik?

Wie wurde die Verschränkung eigentlich theoretisch vorhergesagt? Hängt das nicht auch mit der Notwendigkeit des Tensorprodukts zusammen?

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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 13:19    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Warum addiert man die Zustandsräume (Phasenräume) der einzelnen Teilchen in der klassischen Mechanik aber multipliziert die Zustandsräume (Hilberträume) der einzelnen Teilchen in der Quantenmechanik?

Du meinst, warum für zwei Teilchen



gilt? Das ist doch nur Konvention. Wie wär's mit



Wie gesagt, es geht darum, was man mit den Zuständen macht. In der klassischen Mechanik wirken keine Operatoren darauf, man nutzt einfach Funktionen



In der Quantenmechanik wirken dagegen Operatoren, da muss man etwas Gehirnschmalz reinstecken.

Betrachten wir der Einfachheit halber zwei unterscheidbare Teilchen, z.B. ein Elektron und ein Photon, wovon eines einer weiteren Wechselwirkung unterliegt, z.B. der Spin des Elektrons mit einem externen Magnetfeld.

Also



wobei jeder der beiden Kets rechts bereits ein Tensorprodukt ist, und jeweils ein Element eines unendlich-dimensionalen Hilbertraumes darstellt.

Nun die Wechselwirkung:





Für die Darstellung mittels Basen wäre dies zunächst



Wie anders soll das funktionieren?

Du kannst die zweimal unendlich vielen Basisvektoren auch irgendwie mischen, das wäre äquivalent, jedoch nicht sinnvoll.

Du könntest dir außerdem überlegen, all dies einschließlich der Operatoren mittels Komponentenvektoren und Matrizen zu schreiben - lass es.


Corbi hat Folgendes geschrieben:
Wie wurde die Verschränkung eigentlich theoretisch vorhergesagt? Hängt das nicht auch mit der Notwendigkeit des Tensorprodukts zusammen?

Was genau meinst du? Die Überlegung, wie man überhaupt zu Mehrteilchen-Zuständen gelangt? Das weiß ich nicht, ich denke, irgendjemand hat in den 20er Jahren (zusammen mit einem Mathematiker) darüber gegrübelt und dann erkannt, dass das Tensorprodukt ein sinnvoller Ansatz ist.

Oder meinst du, dass die Verschränkung - wenn man die Mathematik mal akzeptiert hat - zu konkreten Vorhersagen führt? Ich denke, Wolfgang Pauli hat sehr früh zu Atomen und Spins gearbeitet. Mehrelektronensysteme hat Slater 1929 formalisiert: https://en.wikipedia.org/wiki/Slater_determinant

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 16:52    Titel: Antworten mit Zitat

Evtl. nochmal anhand einer einfachen Konstruktion mittels Vektorraumbasen.

Gegeben seien drei Vektorräume A, B, C mit den Basen




Die Basis der direkten Summe lautet



Für die Dimension gilt



d.h. hier 2 + 2 + 3 = 7.

In Komponenten erhielte man für die Basis z.B.





Das Skalarprodukt zweier Basisvektoren aus den 7 möglichen i,k = 1..7 lautet




Die Basis des Tensorproduktes lautet



Für die Dimension gilt



hier also 2 * 2 * 3 = 12.

In Komponenten erhielte man z.B.



Das Skalarprodukt zweier Basisvektoren aus den 12 möglichen mit



lautet




Für endlich-dimensionale Vektorräume über dem selben Körper kann man natürlich eine bijektive Abbildung konstruieren. Das entspricht letztlich der Idee, eine mehrdimensionale Tabelle auf eine Liste abzubilden.

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