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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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 Corbi Verfasst am: 29. Jul 2023 15:59 Titel: Tensorprodukt & Vielteilchensystem |
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Warum verwendet man in der Quantenmechanik das Tensorprodukt um ein Vielteilchensystem zu beschreiben und nicht die direkte Summe zweier Hilberträume?
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 31. Jul 2023 09:21 Titel: |
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Das hat nur etwas damit zu tun, was man mit dem resultierenden Raum physikalisch anstellen welche Struktur man darauf implementieren möchte. Man muss also eher die Operatoren auf dem jeweiligen Raum betrachten.
Ein System, das man in zwei orthogonale Subsysteme aufteilen möchte, z.B. gebundene und Streuzustände, unter Parität gerade und ungerade Zustände, in der QFT Zustände mit unterschiedlicher Gesamtladung …
vs.
verschiedene Freiheitsgrade, mehrere (verschränkte) Teilchen A,B,C… oder verschiedene Teilchenarten
Im ersten Fall hast du einfach Operatoren H, P … , die auf dem gesamten Raum wirkt, während im zweiten Fall die Operatoren eine zusätzliche Struktur haben, z.B. am Beispiel des Hamiltonians H
Allerdings hängen beide Operationen eng zusammen, wie man am Beispiel zweier Spin-1/2-Teilchen erkennt:
wobei das Tensorprodukt zweier Spin-1/2-Darstellung in die direkte Summe des Spin-0-Singulets und des Spin-1-Triplets zerlegt werden kann. Hier gilt
 = \text{dim} \, \mathcal{H}_\text{0, tot} \oplus \text{dim} \, \mathcal{H}_\text{1, tot} )
also
Für endlich-dimensionale Vektorräume (und vermutlich auch für separable Hilberträume) und deren endlich Summen oder Produkten kann man aufgrund der Isomorphie aller endlich-dimensionalen Vektorräume (aller separablen Hilberträume) über dem selben Körper immer Bijektionen für sämtliche Zustände und Operatoren Bijektionen konstruieren. Im Falle von Drehimpulsen ist dies bekannt und nützlich, in anderen Fällen nicht. Betrachte zwei zwei-Zustands-Systeme, d.h. zwei System A, B mit Basen
und der Basis
Natürlich kann man dieses System auch mittels einer Basis
beschreiben. Die Operatoren wären dann nicht 2*2-Matrizen von 2*2-Matrizen sondern 4*4-Matrizen.
Der Nachteil wäre, dass man dem System die intuitiv klare Struktur nicht mehr ansehen würde.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jul 2023 12:45, insgesamt 10-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 31. Jul 2023 09:39 Titel: |
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Dann gibt es noch einen zweiten, formalen Grund, nämlich dass der Zustandsraum im strengen Sinne kein Hilbertraum sondern nur ein projektiver Hilbertraum ist, bei dem kollineare Vektoren
mit
identifiziert werden. Das ist verwandt mit Dichtematrizen, wobei die Basis gerade Projektoren auf den Unterräume sind.
Das funktioniert mit dem Tensorprodukt
 \otimes \psi_2 = \psi_1 \otimes (c \, \psi_2) = c \, (\psi_1 \otimes \psi_2) )
jedoch nicht für die direkte Summe.
Anhand von Dichtematrizen kann man sich auch überlegen, dass die Konstruktion der Bornschen Regel mit direkten Summen nicht durchgeht.
Siehe hier Ray Representations: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_theorem
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. Jul 2023 12:46, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 31. Jul 2023 10:55 Titel: |
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Es gibt übrigens ein Beispiel, in dem beide Konstruktionen vorkommen, nämlich den Fockraum der Quantenfeldtheorie.
Man betrachtet dazu die Zustände des harmonischen Oszillators in unendlich-vielen Dimensionen, d.h. Zustände der Form
^{n_1} \left( a_2^\dagger \right)^{n_2} \ldots |0 \rangle)
mit den Teilchenzahloperatoren je Position i
und
Zustände mit festem n bilden den n-Teilchen-Hilbertraum. Dieser entspricht n Produkten des Einteilchen-Hilbertraumes, d.h.
Prinzipiell muss man noch symmetrisieren bzw. anti-symmetrisieren
wobei dies in der o.g. Konstruktion mittels bosonischer bzw. fermionischer Erzeuger und Besetzungszahldarstellung implizit bereits berücksichtigt ist.
Der Fockraum entsteht dann als direkte Summe über alle n-Teilchen-Hilberträume, d.h.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 02. Aug 2023 12:49 Titel: |
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Kannst du eine etwas physikalischere Motivation geben?
Warum addiert man die Zustandsräume (Phasenräume) der einzelnen Teilchen in der klassischen Mechanik aber multipliziert die Zustandsräume (Hilberträume) der einzelnen Teilchen in der Quantenmechanik?
Wie wurde die Verschränkung eigentlich theoretisch vorhergesagt? Hängt das nicht auch mit der Notwendigkeit des Tensorprodukts zusammen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 13:19 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Warum addiert man die Zustandsräume (Phasenräume) der einzelnen Teilchen in der klassischen Mechanik aber multipliziert die Zustandsräume (Hilberträume) der einzelnen Teilchen in der Quantenmechanik? |
Du meinst, warum für zwei Teilchen
 \to (q_1, q_2, p_1, p_2))
gilt? Das ist doch nur Konvention. Wie wär's mit
 \to ((q_1, p_1), (q_2, p_2)))
Wie gesagt, es geht darum, was man mit den Zuständen macht. In der klassischen Mechanik wirken keine Operatoren darauf, man nutzt einfach Funktionen
)
In der Quantenmechanik wirken dagegen Operatoren, da muss man etwas Gehirnschmalz reinstecken.
Betrachten wir der Einfachheit halber zwei unterscheidbare Teilchen, z.B. ein Elektron und ein Photon, wovon eines einer weiteren Wechselwirkung unterliegt, z.B. der Spin des Elektrons mit einem externen Magnetfeld.
Also
wobei jeder der beiden Kets rechts bereits ein Tensorprodukt ist, und jeweils ein Element eines unendlich-dimensionalen Hilbertraumes darstellt.
Nun die Wechselwirkung:
_e \otimes 1_\gamma)
_e \, |p, s\rangle_e \otimes 1_\gamma \, |p, s\rangle_\gamma)
Für die Darstellung mittels Basen wäre dies zunächst
Wie anders soll das funktionieren?
Du kannst die zweimal unendlich vielen Basisvektoren auch irgendwie mischen, das wäre äquivalent, jedoch nicht sinnvoll.
Du könntest dir außerdem überlegen, all dies einschließlich der Operatoren mittels Komponentenvektoren und Matrizen zu schreiben - lass es.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wie wurde die Verschränkung eigentlich theoretisch vorhergesagt? Hängt das nicht auch mit der Notwendigkeit des Tensorprodukts zusammen? |
Was genau meinst du? Die Überlegung, wie man überhaupt zu Mehrteilchen-Zuständen gelangt? Das weiß ich nicht, ich denke, irgendjemand hat in den 20er Jahren (zusammen mit einem Mathematiker) darüber gegrübelt und dann erkannt, dass das Tensorprodukt ein sinnvoller Ansatz ist.
Oder meinst du, dass die Verschränkung - wenn man die Mathematik mal akzeptiert hat - zu konkreten Vorhersagen führt? Ich denke, Wolfgang Pauli hat sehr früh zu Atomen und Spins gearbeitet. Mehrelektronensysteme hat Slater 1929 formalisiert: https://en.wikipedia.org/wiki/Slater_determinant
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 16:52 Titel: |
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Evtl. nochmal anhand einer einfachen Konstruktion mittels Vektorraumbasen.
Gegeben seien drei Vektorräume A, B, C mit den Basen
Die Basis der direkten Summe lautet
Für die Dimension gilt
 = \text{dim} \, A + \text{dim} \, B + \text{dim} \, C)
d.h. hier 2 + 2 + 3 = 7.
In Komponenten erhielte man für die Basis z.B.
)
)
Das Skalarprodukt zweier Basisvektoren aus den 7 möglichen i,k = 1..7 lautet
Die Basis des Tensorproduktes lautet
; \; (a_1, b_1, c_2) \ldots (a_2, b_2, c_3)\})
Für die Dimension gilt
 = \text{dim} \, A \cdot \text{dim} \, B \cdot \text{dim} \, C)
hier also 2 * 2 * 3 = 12.
In Komponenten erhielte man z.B.
 = ((1, 0); \; (0, 1); \; (1, 0, 0)))
Das Skalarprodukt zweier Basisvektoren aus den 12 möglichen mit
lautet
 \, (b_{j_e} \cdot b_{j_f}) \, (c_{k_e} \cdot c_{k_f}) = \delta_{i_e, i_f} \, \delta_{j_e, j_f} \, \delta_{k_e, k_f} )
Für endlich-dimensionale Vektorräume über dem selben Körper kann man natürlich eine bijektive Abbildung konstruieren. Das entspricht letztlich der Idee, eine mehrdimensionale Tabelle auf eine Liste abzubilden.
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