Rotation: Drehmoment, Trägheitsmoment, Rotationsenergie

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Aaalso: habe einige Fragen zu den im Titel genannten Größen:

Drehmoment:
man bezeichnet es als "Drehkraft" und spricht daher auch von einem Analogon zur Kraft bei Translationsbewegungen. Es ist das Kreuzprodukt aus angreifender Kraft und dem Hebelarm, der von der Drehachse ausgeht. Soweit so gut.
1. Wieso ist es das Kreuzprodukt und nicht das Skalarprodukt wie bei den Skalaren Arbeit und Energie? Bzw. wieso steht das Drehmoment als Vektor senkrecht zur Kraft F und dem Hebelarm r? schließlich haben Arbeit, Energie und Drehmoment dieselbe Einheit! Warum spricht man denn dann nicht eher von einem Analogon zur Arbeit?

Trägheitsmoment:
2. Wieso werden bei der Bestimmung des Trägheitsmoments die einzelnen Masseteilchen summiert und warum nicht beim Drehmoment? Ich meine, eine Kraft greift doch nicht immer nur an einigen Stellen an! z.B. die Gewichtskraft greift bei einem eine schiefe Ebene herunterrollenden Körper sicherlich an unendlich vielen Masseteilchen des Körpers an oder nicht? Irgendetwas verstehe ich da nicht....
3. Versuch: Vollzylinder und Hohlzylinder gleicher Ausmaße rollen eine Schiefe Ebene herunter. Vollzylinder kommt schneller unten an, weil sein Dreh- sowie Trägheitsmoment kleiner ist als beim Hohlzylinder.
Wieso denn das? Nach der Formel fürs Trägheitsmoment (I= Summenzeichen: m*r^2) müsste doch der Körper je mehr Masseteilchen er besitzt, ein umso größeres Trägheitsmoment besitzen! Vergleicht man nämlich beide Zylinder, so besitzen sie doch dieselbe "Hülle" außen. Der Vollzylinder allerdings hat noch ZUSÄTZLICHE Masseteilchen in der Nähe der Achse, die zwar weniger zum Trägheitsmoment beitragen, allerdings ja immer noch zusätzlich da sind im Gegensatz zum Hohlzylinder!

Rotationsenergie: habe in meiner Mitschrift folgenden Satz gefunden: bei der Rotation liegt deswegen keine kinetische Energie wie bei der Translation vor, weil der Impuls hier keine Rolle spielt.-- Warum?
Ich selbst nehme mal an, das hat was damit zu tun, dass der Impuls am Schwerpunkt des Körpers angreift... aber ich verstehe das Ganze irgendwie nicht....

Bin grad absolut am Verzweifeln!!! Hoffe daher sehr auf eure Hilfe!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hilft dir schon dazu eine knappe Antwort wie folgt?

1. Das Drehmoment gibt an, in welche Richtung die Rotation beschleunigt wird. Also muss es ein Vektor sein, und kann damit weder ein Skalarprodukt noch eine Energie sein. Die Richtung kannst du dir mit einer Rechte-Hand-Regel merken: Wenn das Drehmoment in Richtung des ausgestreckten Daumens der rechten Hand zeigt, dann wird die Rotation des Körpers in Richtung der gekrümmten Finger der rechten Hand beschleunigt.

2. Die verschiedenen Masseteilchen eines Körpers hängen miteinander zusammen. Und zwar bei vielen Körpern in guter Näherung so starr, dass man den Körper als einen starren Körper betrachten kann. Also werden Kräfte und Drehmomente, die an diesem Körper angreifen, gleichmäßig an alle Masseteilchen weitergegeben, da sich der starre Körper nur als ganzes in Bewegung setzen kann.

3. Bei diesem Vergleich nimmt man an, dass beide Zylinder die gleiche Gesamtmasse haben sollen. Das Material des Hohlzylinders hat also eine höhere Dichte als das des Vollzylinders, mit dem er verglichen wird.

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

@dermarkus: vielen Dank für deine schnellen Antworten Augenzwinkern

Zu meinen Fragen:
1. Das mit diesen axialen Vektoren verstehe ich nicht: wie kann das Drehmoment in eine Richtung beschleunigen, in die sich der Körper ja nicht dreht?? Dasselbe ist ja der Fall bei der Winkelbeschleunigung und dem Drehimpuls... --glaube aber ich werde das sowieso nicht verstehen, weil ich schon wieder die Hälfte meiner Kenntnisse in Vektorrechnung vergessen habe und so wichtig ist das nun eigentlich auch wieder nicht.... mir fällt es nur dummerweise immer schwer Dinge einfach so hinzunehmen...

2. D.h. also, dass bei meinem Beispiel mit der Gewichtskraft und der Schiefen Ebene die Kräfte am Schwerpunkt angreifen?

3. tja, nach deiner Antwort ist ja natürlich alles logisch. Ich habe nur soeben diese ganzen Mediziner-Bücher, die ich habe, aus dem Fenster geworfen. Da stand doch tatsächlich kein Wort darüber, dass die Zylinder gleiche Masse, geschweige denn unterschiedliche Dichte haben!! Man hätte sich nur das Bildchen gut anssehen sollen: die zwei Zylinder haben unterschiedliche Farben!! Big Laugh

Der Satz mit der Rotationsenergie war glaub ich nicht so gemeint. Denn dass der Impuls was anderes ist als der Drehimpuls hab ich damals denke ich schon verstanden. Habe nur brav alles mitgeschrieben, was unser Prof. gesagt hatte und der hat sich bestimmt was gedacht dabei:-) Außerdem war zu diesem Zeitpunkt der Drehimpuls noch nicht eingeführt worden, wenn ich mich recht erinnere!
Ich schaue mir glaub ich nochmal den genauen Wortlaut an...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

zu 2.: Ja genau smile

zu 1.: Um Dinge wie das Drehmoment oder die Winkelgeschwindigkeit als Vektor angeben zu können, braucht man ja irgendeine Richtung, die sich bei der Drehung nicht ändert.

Und die momentane Richtung der Bahngeschwindigkeit eines Punktes auf der Oberfläche eines rotierenden Körpers wäre da nicht besonders praktisch, weil sich dessen Richtung ja beim Drehen ständig ändert.

Also gibt man Drehrichtungen wie die Richtung einer Winkelgeschwindigkeit oder die Richtung eines Drehmomentes als Vektoren an, die in Richtung der Drehachse zeigen.

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Dass es Vektoren gibt, die man als axiale Vektoren bezeichnet, und Vektoren, die man als polare Vektoren bezeichnet, braucht dich in diesem Zusammenhang nicht zu stören Augenzwinkern

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Zu 1: Deine Erklärung klingt plausibel. Dann belasse ichs dabei.
Das mit den axialen Vektoren: ist das denn nicht richtig? Habe nur in einem Buch gelesen, dass es neben den "normalen Vektoren" (Ausdruck kommt nicht von mir!) auch "axiale Vektoren" gibt. Habe keine Ahnung von polaren Vektoren... Aber wenn da so viel mehr hinter diesen Bezeichnungen steckt, dann werde ich den Ausdruck natürlich nicht mehr benutzen....:-)

Zur letzten Frage: der Drehimpuls war zu dem Zeitpunkt tatsächlich noch nicht eingeführt worden. Der Satz hieß: "Drehung liefert Rotationsenergie (nur deswegen keine kinet. Energie, weil der Impuls hier keine Rolle spielt)"- Der Versuch war folgender: eine Kugel rollt eine Schiefe Ebene herunter. Daneben folgende Formel: E = m∙g∙h = m/2 ∙ v^2 + E(rot).
Ich nehme an, damit sollte einfach gesagt werden, dass deswegen, weil hier noch zusätzlich eine Kraft außerhalb des Schwerpukts angreift, die potentielle Energie nicht nur in kinet. Energie, sondern auch in Rotationsenergie umgewandelt wird. Schließlich gibt es da doch noch so einen Schwerpunktsatz im Zusammenhang mit dem Impuls, glaube ich... oder nicht? Den hatte ich aber nicht verstanden...

(Übrigens: gibt es auch eine einfachere Art hier Formeln einzufügen als sie mit Word zu erstellen und sie dann hier einzufügen? Habe es mit dem Formel-Editor versucht, klappt aber nicht.... sorry, kenne mich damit nicht aus....) Ich hätte da nämlich noch eine Frage, bei der ich einige Formeln benützen müsste.... Hilfe

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ob ein Vektor polar oder axial ist, das ist eine Aussage über das Verhalten des Vektors bei einer Raumspiegelung.

Polare Vektoren ändern ihre Richtung bei einer Raumspiegelung in die entgegengesetzte Richtung;
axiale Vektoren (das sind zum Beispiel Vektoren, die sich als Kreuzprodukt aus zwei polaren Vektoren berechnen) behalten ihre Richtung bei einer Raumspiegelung.

Diese Bezeichnungen "polar" und "axial" brauchst du also nur dort, wo du dich für die Symmetrieeigenschaften der Vektoren interessierst.

Agnodice · Anmeldungsdatum: 16.03.2007 Beiträge: 37

Wieder was dazugelernt!
Danke für die Mühe smile