Stoß mit einer Hantel

ak!!53 · Anmeldungsdatum: 12.01.2024 Beiträge: 51

An den Enden eines starren masselosen Stabs der Länge l
sind zwei gleiche Kugeln der Masse m befestigt. Der Stab
liegt auf einem reibungslosen Tisch und wird, wie in der
Skizze dargestellt, von einer Kugel mit der Masse m und
der Geschwindigkeit v0 getroffen. Nach dem Stoß bewegt
sich die freie Kugel in die entgegengesetzte Richtung mit
der Geschwindigkeit vf . Der Stoß zwischen den Kugeln ist
elastisch.

a) Welche größen bleiben bei diesem Stoß erhalten ?
b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der zwei, durch den Stab verbundenen,
Kugeln für eine Drehung um den Schwerpunkt. Die Drehachse steht senkrecht auf der Tischebene.
c)Benutzen Sie die Erhaltungssätze aus Teilaufgabe (a), um
– die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes um seinen Schwerpunkt,
– die Schwerpunktsgeschwindigkeit vs des Stabes
– und die Geschwindigkeit vf der freien Kugel nach dem Stoß
zu bestimmen.

Zu a) da es sich um einen elastischen Stoß handelt habe ich gesagt, dass Impuls erhalten bleibt und E_kin erhalten bleibt.
Vektorieller Impuls wurde rausgenommen*
Ekin wurde bearbeiten*

b) wird unten Ergänzt.
c) wird unten diskutiert.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Nur ein paar Bemerkungen:

Neben Impuls und kin. Energie ist noch eine weitere Grösse erhalten. Da nach dem Stoss 3 Grössen unbekannt sind, ist auch noch eine dritte Gleichung notwendig, damit alle Grössen bestimmt sind.

Der Impuls ist noch nicht richtig. In y-Richtung gibt es keine Impulse, wenn sich die Masse m vor dem Stoss parallel zur x-Achse bewegt. Zur kinetischen Energie kommt ein weiterer Term hinzu (an Drehung denken).

Für das Trägheitsmoment musst Du nicht integrieren, Du kannst einfach das Massenträgheitsmoment für einen starren Körper aus Massenpunkten nehmen, siehe hier.

ak!!53 · Anmeldungsdatum: 12.01.2024 Beiträge: 51

novae · Gast

ak!!53 · Anmeldungsdatum: 12.01.2024 Beiträge: 51

novae · Gast

ak!!53 · Anmeldungsdatum: 12.01.2024 Beiträge: 51

So, nach etwas recherche und den Antworten hier. Bin ich zu folgenden Ideen gekommen.
a) Impuls wird erhalten, Ekin wird erhalten (+ Erot) und der Drehimpuls wird erhalten.
Da sich die Hanteln vorher nicht bewegen/drehen ist beim Impuls die Geschwindigkeit der Hantel =0, die kin. Energie = 0 und der Drehimpuls vor der dem Stoß =0.
Das heisst im Umkehrschluss folgendes.
1.

2.

3.

So nun denke ich mir, dass es noch nicht ganz vollständig ist, ich stelle mir folgendes vor, dass die Drehimpulse sich hier zu 0 aufaddieren lassen. Im Umkehrschluss heisst es, dass zb das eine Ende der Hantel einen positiven Drehimpuls hat und die andere Seite einen negativen Drehimpuls.
Selbst wenn ich die einzelnen Drehimpulse versuche zu bestimmen, laufe ich darauf hinaus am Ende zu sagen, dass der eine Drehimpuls gleich dem anderen ist..
Ich finde das hilft mir nicht sonderlich weiter, beachte ich noch etwas nicht ? Oder stelle ich mir dies zu kompliziert vor ?
Zu b)

mit Roh = M/L=dm/dx erhalte ich für das Trägheitsmoment

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Die Gleichungen für die Impuls- und Energieerhaltung sind richtig.

Weiter ist richtig, dass der Drehimpuls erhalten bleibt. Es kommt nun darauf an, wie man das Koordinatensystem festlegt. Legt man es so fest, dass die einlaufende, freie Kugel sich entlang der x-Achse bewegt, so hat diese Kugel vor und nach dem Stoss keinen Drehimpuls (immer bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems). Der Gesamtdrehimpuls vor dem Stoss ist also gleich null. Der Drehimpuls der Hantel nach dem Stoss kann man in diesem Fall als Summe des Drehimpulses des Schwerpunkts plus des Drehimpulses der Drehung um den Schwerpunkt schreiben. Die Gleichung für die Drehimpulserhaltung wird dann

Eine andere Möglichkeit ist, den Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Hantel vor dem Stoss zu legen, wobei sich die einlaufende Kugel parallel zur x-Achse bewegt. Dann wird die Gleichung für den Drehimpuls

Dabei bezeichnet b jeweils den "Stossparameter", d.h. den Abstand der Bahnkurve der freien Kugel vom Schwerpunkt der Hantel, also

Es mag etwas seltsam erscheinen, dass die freie Kugel einen Drehimpuls hat. Das ist aber der Fall, wenn man sich die Definition

anschaut.

Zum Massenträgheitsmoment: Dein Ergebnis ist noch nicht ganz richtig. Für einen starren Körper bestehend aus Punktmassen gilt

Dabei bezeichnet r_i den senkrechten Abstand der Masse i zur Drehachse, in diesem Fall den Abstand zum Schwerpunkt der Hantel.

ak!!53 · Anmeldungsdatum: 12.01.2024 Beiträge: 51

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Das ist doch völlig OK.

Für den Fall, dass Du später nochmals auf diese Aufgabe zurückkommen möchtest: Ich denke, was hier etwas Schwierigkeiten bereiten kann, ist die Gleichung für die Drehimpulserhaltung. Man verbindet den Begriff Drehimpuls vielleicht nur mit Drehbewegungen. Aber ein Massenpunkt kann auch bei einer beliebigen anderen Bahnkurve einen Drehimpuls haben.

Wenn sich die freie Kugel aus der Aufgabe vor dem Stoss bewegt wie in der angehängten Skizze gezeigt, so würde der Drehimpuls

aus der Zeichenebene herauszeigen. Bei einer geradlinigen Bewegung ist der Betrag des Drehimpulses einfach das Produkt aus Impuls und Abstand der Bahnkurve vom Ursprung (in den Gleichungen oben und in der Skizze ist dieser Abstand mit b bezeichnet).

Es ist nun wahrscheinlich am besten, das Koordinatensystem so zu wählen, dass der Hantelschwerpunkt vor dem Stoss im Ursprung liegt. Dann ergibt sich die obige Gleichung

Der letzte Term ist der Drehimpuls der Hantel nach dem Stoss, die beiden anderen sind der Drehimpuls der einzelnen Kugel vor und nach dem Stoss. Das Vorzeichen von v_f ist dabei so gewählt, dass v_f positiv ist bei einer Bewegung entgegengesetzt zu v_0, vgl. Aufgabentext.

Isaac Newton · Gast

Hallo zusammen

Ich habe eine Frage.
Hätte Newton diese Aufgabe lösen können?

Denn Newton kannte soweit ich weiß die Energieerhaltung nicht.
Diese ist aber anscheinend notwendig um die Aufgabe zu lösen.

MfG