Ab welchem Winkel fallen Pakete auf den Boden

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Hallo!

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
Pakete mit einer Masse von 2 kg werden mit einer Geschwindigkeit

von einem Transportband auf einen kreisförmigen Abhang geführt. Der Radius des Abhangs ist 0,5m. Bestimme ab welchem Winkel die Pakete vom kreisförmigen Abhang loskommen. (Vorgebene Antwort: 42,7°) (Berechnung ohne Reibungswiderstand)

Ich habe schon ein bisschen probiert:

Und dann weiß ich nicht mehr weiter.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Weißt du schon, was mit dem kreisförmigen Abhang gemeint ist? Könnte es sein, dass das ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt unter dem Ende des Laufbandes liegt, und die Pakete rutschen den Kreisbogen hinunter?

Dann würde ich mit der Bedingung arbeiten, dass die Komponente der Gewichtskraft, die zum Kreismittelpunkt zeigt, größer oder gleich der Zentripetalkraft sein muss, solange die Pakete auf dem kreisförmigen Abhang gleiten. Dazu brauchst du die Geschwindigkeit der Pakete am jeweiligen Punkt, die bekommst du aus der Anfangsgeschwindigkeit plus der Geschwindigkeit, die durch Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie am Abhang dazugekommen ist.

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich habe ein bißchen weitergeschaut in den Übungsblättern. Diese Frage wird 2mal gestellt. Das erste Mal sollen wir die Aufgabe lösen ohne Energie-Theorem. grübelnd

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Und dieses Mal ist das erste Mal, so dass das hier ohne Energieerhaltungssatz gemacht werden soll?

Dann musst du hier wohl berechnen, wie die Tangentialkraft das Paket entlang der kugelfürmigen Oberfläche beschleunigt, um so die Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Pakets (die tangential zur Oberfläche des Abhangs zeigt) von der Position des Pakets auf dem kreisförmigen Abhang (diese Position kannst du mit einem Winkel kennzeichnen) zu ermitteln. Diese Beziehung für v(alpha) kannst du dann in die Bedingung für die Zentripetalkraft einsetzen.

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich habe einem Komillitonen über die Schulte geschaut und folgende Ansätze gesehen:

(1)

(2)

(3)

(4)

(4) in (2) einsetzen:
(5)

(6)

Bevor ich jetzt weiter schreibe, wollte ich fragen, ob bisher alles richtig ist?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich tue mich da ein bisschen schwer damit, das nachzuvollziehen:

* Da fehlen mindestens noch in (1) und (2) ein paar Einheiten. Das macht es für mich schwieriger, das ganze nachzuvollziehen, denn dann sieht man nicht mehr die physikalischen Größen (Gewichtskraft G, Masse m, Radius r), sondern nur noch irgendwelche einheitenlosen Zahlen. Spätestens wenn dann danach (3) folgende weitere Ansätze gemacht werden, wird es deshalb ein bisschen mühsam für mich zu verstehen.

* Ist das

in (3) ein Tippfehler?

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

So ich habe jetzt korrigiert und das richtige Ergebnis heraus. Am Schluss des Beitrags habe ich noch paar Fragen.

Bewegungsgleichungen:
(1)

N_B ist die Stützkraft.
(2)

Das Paket verlässt die Bahn als

Kinematik
Weil (3a)

und (3b)

bekommen wir (4)

(4) in (2) einsetzen:
(5)

(6)

(7)

(8)

(8) in (1):

1. Die Formeln aus (3a) und (3b) woher kommen die eigentlich.

2. In (6) wird mit Integralen gearbeitet, warum? Damit das dv weggekommt?[/latex]

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was dein Kommilitone gedacht hat, als er (3a) aufgestellt hat,
würde ich mit Hilfe einer Energiebetrachtung als richtig bestätigen:

Er schreibt (3a)

Das ist eine differentielle Schreibweise für die Energieerhaltung

"F*s = (1/2)mv^2"

die sich ergibt, wenn man die zugehörigen Integrale ausrechnet:

-----------

Wie du siehst, ist (3a) stückweise gemeint, daher wird am Ende in (6) noch integriert, um die Ergebnisse für die gesamte Bewegungsphase zu erhalten..

(3b) ist einfach der geometrische Zusammenhang zwischen zurückgelegter Strecke und zurückgelegtem Winkel auf einer Kreisbahn mit Radius r.

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

So, nun will ich die Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz lösen.

Die Formel lautet ja:

Der Ansatz lautet:

Im Buch steht (wie im anderen Thread gesagt)

Wie kann dann daraus das

werden? Und wie kommt man auf

?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

v_1 kennst du. und die Potentialdifferenz ist die potentielle Energie m*g*h, die freiwird, wenn sich das Paket um die Höhe h nach unten bewegt.

Kannst du damit schon eine Formel für v_2 aufstellen?

Wie die Höhe h und der Winkel am runden Abhang miteinander zusammenhängen, kannst du dabei aus einer Skizze ablesen.

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich habe eine Skizze erstellt aber noch nicht begriffen, warum die Höhe

sein muss. Ich könnte verstehen, warum die Höhe

sein müsste, das ergibt sich aus einem rechtwinkligen Dreieick, wo die 0,5m die Hypotenuse ist, aber was die 1- da zu suchen hat, ist mir schleierhaft.

Die Gleichung für v_2 übernehme ich mal von meiner ersten Rechnung:

Danach kann ich das auch alles ausrechnen. Nur die 1-cos(theta) verwirrt mich.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was bezeichnest du in deiner Skizze als Höhe h?

Ich vermute, du hast hier von der Höhe gesprochen, um die das Paket über dem Mittelpunkt des Kreises des kreisförmigen Abhangs ist.

Die Höhe, die für die potentielle Energie wichtig ist, ist aber die Höhe zwischen Anfangspunkt des Paketes und momentanem Ort des Paketes. Und ich glaube, damit kommst du genau auf das "1 - " in der Formel, das dir noch fehlte.