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MBastieK
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 MBastieK Verfasst am: 28. Jan 2024 12:30 Titel: |
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Guten Tag!
Danke für die Ausführungen.
Mit welchem Krümmungs-Skalar bildet man denn die Geodäten ab bzw. erzeugt sie bei normalen Himmels-Körpern? Wie z.B. die Geodäten auf der dimensions-vereinfachten Krümmung im unteren Bild.
Nette Grüsse
| Beschreibung: |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 28. Jan 2024 14:09 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: |
Wieso werde ich von einer Raumkrümmung im mm-Bereich deutlich auf die Erdoberfläche gepresst? Oder liegt das eher an der Zeitkoordinate? |
ich habe jetzt in eine Vorlesung über ART reingeschnuppert...
youtube.com/watch?v=JRZgW1YjCKk
Was ich meine, verstanden zu haben (bitte um Korrektur):
Die Frage, ob ein Gravitationsfeld vorliegt oder nicht entspricht der Frage, ob die auftretenden Beschleunigungen durch eine geeignete Koordinatentransformation wegtransformiert werden können, oder nicht.
Mathematisch ist ein Raum gekrümmt, wenn man den nicht in einen flachen Raum "transformieren" kann.
Diese beiden Probleme sind äquivalent.
Der Grund, warum man die Beschleunigung durch ein Gravitationsfeld nicht wegtransformieren kann, ist, dass real exisitierende Gravitationsfelder eben nicht homogen sind und eher radialsymmetrisch.
Das hört sich für mich so an, als würde die Krümmung vor allem die Inhomogenität von Gravitationsfeldern verantwortlich sein und die Kräfte, die eventuell direkter mit der Krümmung zusammenhängen sind Gezeitenkräfte.
Frage:
was bedeutet das für die Situation auf der Erdoberfläche, bzw. oben zitierter Frage:
Offenbar ist die Krümmung so klein, dass das Gravitationsfeld als homogen angenommen werden kann. Ich hätte auch Schwirigkeiten, es durch Messungen der Gezeitenkräfte von der Fahrt in einem konstant beschleunigten Aufzug zu unterscheiden.
Dann müsste die Raumzeit ja lokal ziemlich flach sein, dennoch bestimmt die Gravitation mein Leben nicht unwesentlich.....
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 28. Jan 2024 14:27 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Darüberhinaus ist das Konzept der Kraft nicht anwendbar! |
Ja, vielleicht sollten wir Abstand nehmen vom nicht-relativistischen Konzept der (Gravitations-)Kraft.
Raumzeit-Krümmung und Zeit-Dilatation ist ja auch nicht allgemeingültig bijektiv zueinander. Da dies ja für mich den selben interessanten oder faszinierenden Aspekt hat, würde es mir reichen, wenn man die nicht-allgemeingültige Bijektivität von Raumzeit-Krümmung und einem semantisch naheliegendem Faktor oder Konzept anhand der Zeit-Dilatation erläutern würde.
So würde man in den Konzepten der Relativitäts-Theorie bleiben.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 18:12 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Mit welchem Krümmungs-Skalar bildet man denn die Geodäten ab bzw. erzeugt sie bei normalen Himmels-Körpern? |
Krümmungs-Skalare charakterisieren die Raumzeit und haben noch nichts mit Geodäten zu tun. Im vorliegenden Fall gibt es genau einen relevanten und nicht-verschwindenden Krümmungs-Skalar K; alle anderen sind Null bzw. können durch diesen ausgedrückt werden.
Die Geodäten folgen jedoch aus dem Objekt D, nicht aus K. Beides hängt zusammen, aber nicht-trivial.
Und wie schon gesagt, die Schwarzschild-Raumzeit ist die eindeutige Lösung für alle sphärisch symmetrischen Masseverteilungen und gilt daher nicht nur für SLa (außerhalb des EH) sondern auch für Sterne und Planeten (außerhalb des Himmelskörpers).
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 18:19 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage, ob ein Gravitationsfeld vorliegt oder nicht entspricht der Frage, ob die auftretenden Beschleunigungen durch eine geeignete Koordinatentransformation wegtransformiert werden können, oder nicht. |
Kannst du mir ca. die Stelle im Video sagen.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Mathematisch ist ein Raum gekrümmt, wenn man den nicht in einen flachen Raum "transformieren" kann. |
Für die Krümmung ist das falsch.
Der Raum ist in einem gewissen Bereich flach, wenn und nur wenn der Krümmungstensor (kurz "die Krümmung) dort identisch Null ist. Wenn er identisch Null ist, dann ist er das in allen Koordinatensystemen. Man kann ihn nicht "zu Null transformieren".
Was man ggf. zu Null transformieren kann sind die Christoffel-Symbole, nämlich genau dann, wenn der Krümmungstensor identisch Null ist; man wählt eben kein ungeschicktes Koordinatensystem (z.B. Polarkoordinaten, ein rotierendes System). Anders gesagt, auch bei verschwindender Krümmung können die Christoffel-Symbole ungleich Null sein; sie transformieren nicht wie ein Tensor. Und sie sind zur Diskussion, ob die Krümmung verschwindet, eher ungeeignet.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Der Grund, warum man die Beschleunigung durch ein Gravitationsfeld nicht wegtransformieren kann, ist, dass real exisitierende Gravitationsfelder eben nicht homogen sind und eher radialsymmetrisch. |
Das ist ein Spezialfall. Aber dazu müsste auch gesagt werden, was denn dieses Gravitationsfeld ist, im mathematischen Sinne.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Das hört sich für mich so an, als würde die Krümmung vor allem die Inhomogenität von Gravitationsfeldern verantwortlich sein … |
Nö. Das würde auch für homogene Felder gelten, wobei die etwas pathologisch sind, da man eine unendlich ausgedehnte massive Platte betrachten müsste.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Offenbar ist die Krümmung [auf der Erde] so klein, dass das Gravitationsfeld als homogen angenommen werden kann. |
Die räumliche Krümmung ist sehr klein.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Dann müsste die Raumzeit ja lokal ziemlich flach sein, dennoch bestimmt die Gravitation mein Leben nicht unwesentlich. |
Der Raum ist lokal in guter Näherung flach.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 28. Jan 2024 19:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Darüberhinaus ist das Konzept der Kraft nicht anwendbar! Im vorliegenden Spezialfall funktioniert das mittels der oben berechneten Schubkraft F. Jedoch resultiert dieses F aus dem komplizierteren Gebilde D, was i.A. nicht auf einen Kraft-Vektor führt. |
Ich schätze mal, Sie meinen die Rakete am EH.
Die Atmosphären missachtend oder wegdenkend:
Wenn man leicht oberhalb der Mars-Oberfläche eine relevante* nicht-verschwindende Raumzeit-Krümmung wählt und dort eine Rakete schweben lässt, dann findet man ja weit oberhalb der Erd-Oberfläche irgendwo die selbe Raumzeit-Krümmung, wo man ebenfalls eine gleiche Rakete schweben lassen und dann die beiden Schubkräfte vergleichen kann, die ja ebenfalls verschieden sein sollen.
Das wirkt wie ein adäquates Mittel oder Herangehensweise für die Gravitations-Kraft-Bestimmung bei regulären Himmels-Körpern. Aber wieso ist es das nicht?
* eine der skalaren Raumzeit-Krümmungen, die für so einen Fall relevant ist
Edit:
Oder gibt es sowas wie 'selbe Raumzeit-Krümmung' nicht, weil es mehrere Raumzeit-Skalare gibt und niemals zweimal die selbe Konstellation existiert, bei verschieden-massigen Himmels-Körpern?
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 28. Jan 2024 20:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage, ob ein Gravitationsfeld vorliegt oder nicht entspricht der Frage, ob die auftretenden Beschleunigungen durch eine geeignete Koordinatentransformation wegtransformiert werden können, oder nicht. |
Kannst du mir ca. die Stelle im Video sagen.
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klar
nachdem er ein paar Beispiele gebracht hat, sagt er bei 35:44
"Wie kann ich bestimmen, ob es [ein gegebenes "Gravitationsfeld"] nur eine Art Fake-Gravitationsfeld ist, aufgrund einer Koordinatentransformation, dem Benutzen eines Referenzrahmens, mit verschiedenen Arten von Beschleunigungen drin, oder ist es ein reales genuines Gravitationsfeld?"
youtube.com/watch?v=JRZgW1YjCKk&t=2144s
Antwort in newtonscher Gravitation => Gezeitenkräfte [von fei fallenden Objekten] berechnen
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Mathematisch ist ein Raum gekrümmt, wenn man den nicht in einen flachen Raum "transformieren" kann. |
Für die Krümmung ist das falsch.
Der Raum ist in einem gewissen Bereich flach, wenn und nur wenn der Krümmungstensor (kurz "die Krümmung) dort identisch Null ist. Wenn er identisch Null ist, dann ist er das in allen Koordinatensystemen. Man kann ihn nicht "zu Null transformieren".
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Falsch ist wohl eher meine obige Widergabe.
Die Behauptung war nicht, dass das mathematische Objekte "Krümmungstensor" zu Null tranformiert werden könne (der war noch nicht eingeführt), sondern es war die Frage, wie man erkennt, ob ein Raum Flach ist oder nicht, auch wenn in einem bestimmten Koordinatensystem der metrische Tensor nicht diagonalisiert ist [das ist wieder meine Ausdrucksweise und kein direktes Zitat]
Ausgehend vom metrischen Tensor, den er eingeführt hat, um die Berechnung des Quadrats des Längenelement ds auf nichteuklidische Räume zu verallgemeinern.
Er sagt, dass der metrische Tensor in verschiedenen (beliebig gewählten) Koordinatensystemen unterschiedlich aussieht, mit unterschiedlichen Komponenten. [z.B. ab 1:08:04]
Bei einem gegebenen Koordinatensystem und einem gegebenen metrischen Tensor könne man feststellen, ob ein Raum flach ist, oder nicht, wenn man eine Koordinatentranformation findet, die den metrischen Tensor in das Kronecker-Delta [bzw. das mathematische Objekt, für das das steht] überführt.
"Was es bedeutet, flach zu sein [wenn der metrische Tensor in einem bestimmten Koordinatensystem nichtverschwindende Diagonalelemente hat]:
Was es bedeutet flach zu sein, ist, dass Du eine Koordinatentransformation finden kannst, einen anderen Satz von Koordinaten, so dass, die Abstandsformel gerade x1^2 + x2^2 + .......... ist, wie es in der euklidischen Geometrie wäre."
Um das zu verstehen, müsse man verstehen, wie Dinge unter Koordinatentrasnformationen transformieren und dazu brauche man Tensoranalysis (die er wohl nicht bei allen seinen Zuhörern voraussetzt)
Dann kommt ein Schnitt und er sagt (ab ca. 1.17), dass die Analogie zwischen Gezeitenkräften und Krümmung.. er korrigiert dann Analogie auf "sehr präzise Äquivalenz" und sagt, dass:
In der ART ist der Weg, Gezeitenkräfte zu berechnen, den Krümmungstensor zu berechnen. Der Weg, einen flachen Raum zu definieren, ist ein Raum, wo der Krümmungstensor überall 0 ist.
Weiter bin ich noch nicht gekommen....
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Was man ggf. zu Null transformieren kann sind die Christoffel-Symbole, nämlich genau dann, wenn der Krümmungstensor identisch Null ist; man wählt eben kein ungeschicktes Koordinatensystem (z.B. Polarkoordinaten, ein rotierendes System). Anders gesagt, auch bei verschwindender Krümmung können die Christoffel-Symbole ungleich Null sein; sie transformieren nicht wie ein Tensor. Und sie sind zur Diskussion, ob die Krümmung verschwindet, eher ungeeignet.
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Der Zeichenfolge "Christoffel-Symbole" kann ich nicht unmittelbar eine Bedeutung zuordnen und ich bin mir nicht sicher, ob es MBastieK kann.;-)
Wie aber oben dargestellt, geht es nicht darum, dass etwas 0 wird.
Es geht darum, dass der metrische Tensor eine Form annimmt, wie in einem kartesischen Koordinatensystem in einem euklidischen Raum.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Der Grund, warum man die Beschleunigung durch ein Gravitationsfeld nicht wegtransformieren kann, ist, dass real exisitierende Gravitationsfelder eben nicht homogen sind und eher radialsymmetrisch. |
Das ist ein Spezialfall. Aber dazu müsste auch gesagt werden, was denn dieses Gravitationsfeld ist, im mathematischen Sinne.
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Keine Ahnung, was ein Gravitationsfeld im mathematischen Sinne ist.
Susskind spricht nach meinem Eindruck von Gravitationsfeldern im physikalischen Sinn und meint, dass die eben - zumindest auf großen Skalen - Gezeitenkräfte hervorrufen.
Ein reales Gravitationsfeld erkenne man dann eben daran, dass man diese Gezeitenkräfte nicht durch Koordinatentransformationen wegbekäme.
Das ist dann äquivalent zu einem tatsächlich gekrümmten Raum, der nicht nur deshalb gekrümmt erscheint, weil man komische Koordinaten gewählt hat.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Das hört sich für mich so an, als würde die Krümmung vor allem die Inhomogenität von Gravitationsfeldern verantwortlich sein … |
Nö. Das würde auch für homogene Felder gelten, wobei die etwas pathologisch sind, da man eine unendlich ausgedehnte massive Platte betrachten müsste.
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Eine unendlich ausgedehnte massive Platte krümmt die Raumzeit?
Dann ist die von Susskind behauptete Analogie falsch?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18168
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 20:33 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Darüberhinaus ist das Konzept der Kraft nicht anwendbar! Im vorliegenden Spezialfall funktioniert das mittels der oben berechneten Schubkraft F. Jedoch resultiert dieses F aus dem komplizierteren Gebilde D, was i.A. nicht auf einen Kraft-Vektor führt. |
Ich schätze mal, Sie meinen die Rakete am EH. |
Nein, ich meine in beiden Threads immer das Konzept der Gravitationskraft [das nicht existiert bzw. nicht anwendbar ist]. Das sollte doch langsam klar sein.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man leicht oberhalb der Mars-Oberfläche eine relevante* nicht-verschwindende Raumzeit-Krümmung wählt und dort eine Rakete schweben lässt, dann findet man ja weit oberhalb der Erd-Oberfläche irgendwo die selbe Raumzeit-Krümmung, wo man ebenfalls eine gleiche Rakete schweben lassen und dann die beiden Schubkräfte vergleichen kann, die ja ebenfalls verschieden sein sollen. |
Bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Das wirkt wie ein adäquates Mittel oder Herangehensweise für die Gravitations-Kraft-Bestimmung bei regulären Himmels-Körpern. Aber wieso ist es das nicht? |
Woran genau zweifelst du? An der Möglichkeit, die Kraft zu bestimmen, oder daran, die Gravitationskraft zu bestimmen? Letzteres scheitert daran, dass es diese in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht gibt.
In der Geodätengleichung steht rechts eine Kraft, links nicht. Wenn das noch nicht klar ist, sollten wir uns darauf konzentrieren.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18168
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 20:39 Titel: |
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@Aruna –
Der Raum ist flach, genau dann, wenn der Krümmungstensor Null ist. Das ist trivialerweise dann der Fall, wenn die Metrik nur konstante Koeffizienten hat. D.h. aber, dass wenn letzteres in einem System der Fall ist (in anderen nicht), der Krümmungstensor dennoch in allen Systemen Null ist.
Wäre dies nicht der Fall, würden die Transformationen zwischen Systemen nicht nur die Metrik in nicht-trivialer Weise ändern (was möglich ist), sondern auch einen verschwindenden Krümmungstensor in nicht-trivialer Weise ändern, d.h. zu ungleich Null ändern (was nicht möglich ist; weil dann auch Skalare ungleich Null werden müssten, aber diese ändern sich bekanntermaßen nicht).
Daraus folgen zwei Möglichkeiten der Prüfung auf Flachheiten:
1) Metrik in einem geeigneten System konstant
2) Krümmungstensor in irgendeinem System Null
Das "Gravitationsfeld", das in der Geodätengleichung auftritt und die Orbits bestimmt, entspricht den Christoffel-Symbolen Gamma. Das "Fake-Gravitationsfeld" entspricht Christoffel-Symbolen, die nur aufgrund einer Koordinatentransformation ungleich Null sind; Christoffel-Symbole transformieren anders als Tensoren. Zwei Beispiele sind Polarkoordinaten für die flache Ebene, oder ein mitrotierendes Bezugsystem; in beiden Fällen sind Geodäten in diesen Koordinatensystemen keine Gerade.
Die Erklärung mittels Gezeitenkräften finde ich irgendwie künstlich, weil diese selbst nicht ganz einfach zu verstehen sind. Ich halte Überlegungen mittels Invarianten für einfacher.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 28. Jan 2024 22:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Aruna –
Der Raum ist flach, genau dann, wenn der Krümmungstensor Null ist.[...]. D.h. aber, dass wenn letzteres in einem System der Fall ist (in anderen nicht), der Krümmungstensor dennoch in allen Systemen Null ist.
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dem hat niemand widersprochen
(Der Krümmungstensor wird nach meinem Eindruck in Lektion 3 aus der von mir skizzierten Anforderung an den metrischen Tensor hergleitet.)
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die Erklärung mittels Gezeitenkräften finde ich irgendwie künstlich, weil diese selbst nicht ganz einfach zu verstehen sind. Ich halte Überlegungen mittels Invarianten für einfacher. |
Susskind fängt - orientierend an Einstein - mit dem Äquivalenzprinzip an.
"Dinge, die ein Kind verstehen kann."
Die Gezeitenkräfte sind dann die Abweichung (bzw. bestimmen die Gültigkeitsgrenzen)
Und seine Behauptung ist, dass man in der ART die Gezeitenkräfte mit dem Krümmungstensor berechnen kann.
Wenn der Krümmungstensor verschwände, verschwänden auch die Gezeitenkräfte*.
Dann würden die Gezeitenkräfte unmittelbarer (eindeutiger?) mit der Krümmung zusammenhängen, als die Kraft, die man braucht, um der Bewegung auf einer Geodäte zu verhindern, z.B. wenn ich auf der Erdoberfläche auf einer Waage stehe.**
*) Da stellt sich eben die Frage, ob bei Deinem Beispiel mit der unendlich ausgedehnten Platte a.) Gezeitenkräfte auftreten, b.) der Krümmungstensor von 0 verschieden ist.
**) oder ist der Fall am EH eines schwarzen Loches nur eine Ausnahme, weil da die Kraft zum lokalen verharren divergiert, aber für Fälle, wo die Kraft endlich bleibt, gibt es eine eindeutige Beziehung? (Ich denke, in diese Richtung zielen die Fragen von MBastieK)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18168
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 22:45 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Erklärung mittels Gezeitenkräften finde ich irgendwie künstlich, weil diese selbst nicht ganz einfach zu verstehen sind. Ich halte Überlegungen mittels Invarianten für einfacher. |
Susskind fängt - orientierend an Einstein - mit dem Äquivalenzprinzip an.
"Dinge, die ein Kind verstehen kann."
Die Gezeitenkräfte sind dann die Abweichung (bzw. bestimmen die Gültigkeitsgrenzen)
Und seine Behauptung ist, dass man in der ART die Gezeitenkräfte mit dem Krümmungstensor berechnen kann.
Wenn der Krümmungstensor verschwände, verschwänden auch die Gezeitenkräfte.
Dann würden die Gezeitenkräfte unmittelbarer (eindeutiger?) mit der Krümmung zusammenhängen, als die Kraft, die man braucht, um der Bewegung auf einer Geodäte zu verhindern, z.B. wenn ich auf der Erdoberfläche auf einer Waage stehe. |
Ok, guter Punkt, können wir uns ansehen.
Ich hatte diese Kraft eingeführt,
1. da sie uns vertraut ist, und
2. da es sich um eine tatsächliche Kraft handelt.
Es ging auch darum, zu argumentieren, warum das Kraftkonzept in der ART nicht mehr (in bekannter Weise) zutrifft; und da hilft es nicht, eine Gezeitenkraft einzuführen ;-)
* Die unendliche homogene Platte ist ziemlich seltsam; lassen wir das.
** Es gibt keine allgemeine und eindeutige Beziehung zwischen einer Kraft, die es so in der ART nicht gibt, und irgend etwas anderem ;-) In Einzelfällen ist es natürlich hilfreich.
Aber du hast recht, vielleicht verstehe ich die Frage noch nicht richtig.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 28. Jan 2024 23:03 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | **) oder ist der Fall am EH eines schwarzen Loches nur eine Ausnahme, weil da die Kraft zum lokalen verharren divergiert, aber für Fälle, wo die Kraft endlich bleibt, gibt es eine eindeutige Beziehung? (Ich denke, in diese Richtung zielen die Fragen von MBastieK) |
Naja, vor dem Ereignishorizont sind sie ja diese Verharrens-Kräfte endlich und stetig. Und da ja die Raumzeit-Krümmung bei größer werdenden schwarzen Löchern dort geringer wird, kann es ja keine eindeutige, d.h. keine allgemeingültige bijektive, Beziehung oder Abbildung von Raumzeit-Krümmung zur Verharrens-Kraft geben. Oder anders: Diese Verharrens-Kraft kommt ja jedes mal aus dem Unendlichen, während die Raumzeit-Krümmung dort bei verschiedenen schwarzen Löchern bei einem jeweils verschieden endlichen Wert startet und sinkt mit Abstand zum EH, also ist die Zuordnung der Werte jedes mal individuell, d.h. nicht allgemeingültig. So verstehe ich das mathematisch.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 23:18 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | … kann es ja keine eindeutige, d.h. keine allgemeingültige bijektive, Beziehung oder Abbildung von Raumzeit-Krümmung zur Verharrens-Kraft geben. |
Formal geht das schon, aber es ist irgendwie sinnlos.
 = 1 - \frac{r_\text{s}}{r} )
 = g(r) = \frac{1}{2} \frac{r_\text{s}}{r^2 f} )
 = \frac{12 \, r^2_\text{s}}{r^6} )
Letzte Gleichung nach r auflösen und in die beiden anderen einsetzen liefert
 = \ldots )
 = \ldots )
Kann man machen, aber bringt irgendwie nix.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 28. Jan 2024 23:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zurück zur Krümmung – siehe oben: diese geht am EH für zunehmende Masse gegen Null |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Formal geht das schon, aber es ist irgendwie sinnlos. |
Allgemeingültig?
Allgemeingültig kann das doch schon allein deswegen nicht gehen, weil bei verschiedenen schwarzen Löchern, der Krümmungs-Wert am EH bei einem individuellen Wert startet (und dann sinkt mit Abstand zum EH), d.h. dieser Start-Wert wird in der Definitions-Menge (oder Werte-Menge, abhängig was auf was abgebildet wird) nicht überschritten, weil er das Supremum oder eher Maximum ist. D.h. höhere Werte existieren nicht in der Definitions-Menge, während sie bei kleineren schwarzen Löchern in der Definitions-Menge existieren. So kann es keine allgemeingültige bijektive Abbildung oder Zuordnung geben.
Das Ganze (nur) weil oder wenn man die Verharrens-Kraft innerhalb des Ereignishorizontes als nicht definierbar oder komplex ansieht und deshalb nicht behandelt.
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 29. Jan 2024 00:49, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2024 00:03 Titel: |
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Folge-Beitrag.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Geodätengleichung steht rechts eine Kraft, links nicht. Wenn das noch nicht klar ist, sollten wir uns darauf konzentrieren. |
Ja, wir könnten in der Nähe dieser Formel bleiben:
mit 
bzw.
)
Wobei ich mich frage warum
oder
hier nicht 0 sind beim Verharren.
Edit:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Woran genau zweifelst du? An der Möglichkeit, die Kraft zu bestimmen, oder daran, die Gravitationskraft zu bestimmen? Letzteres scheitert daran, dass es diese in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht gibt. |
Naja, da das eine das andere da beim Verharren ausgleicht, habe ich Verharrens-Kraft und Gravitations-Kraft mal salopp gleichgesehen, obwohl ich weiss, dass Gravitations-Kraft in der ART nicht existiert (und die Verharrens-Kraft vorzeichentechnisch negiert ist).
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2024 06:23 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Geodätengleichung steht rechts eine Kraft, links nicht. Wenn das noch nicht klar ist, sollten wir uns darauf konzentrieren. |
Ja, wir könnten in der Nähe dieser Formel bleiben:
mit
bzw.
Wobei ich mich frage warum
oder
hier nicht 0 sind beim Verharren. |
Weil es sich um eine Vierergeschwindigkeit handelt, deren Zeitkomponente u° nicht Null sein kann.
Rechnung siehe hier:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nochmal zur Kraft:
Die Geodätengleichung eines kräftefreien Körpers der Masse m > 0 mit Vierergeschwindigkeit u lautet
Die Berücksichtigung einer Kraft – z.B. der Schubkraft eines Raumschiffs – liefert
Das ist letztlich die Entsprechung der Newtonschen Gleichung
wobei der Effekt der Krümmung der Raumzeit im zweiten Term der linken Seite steckt und eben gerade keine Kraft darstellt.
Eine invariante Größe zur Charakrerisierung der Größe der Kraft ist
Das Raumschiff sei nun stationär in der Schwarzschild-Geometrie mit Zentralmasse M, an einem Punkt
außerhalb des Schwarzschild-Radius', d.h.
Damit reduziert sich die Berechnung der Kraft auf
Die Berechnung mittels der Christoffel-Symbole Gamma liefert ausschließlich eine Beitrag von
nämlich
Die o.g. invariante Größe lautet dann
Für die Metrik g und die Vierergeschwindigkeit u gilt
} )
}} )
 = 1 - \frac{2M}{r} )
Einsetzen liefert
^2 = m^2 M^2 \frac{1}{r^4 \, f(r)} ) |
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Woran genau zweifelst du? An der Möglichkeit, die Kraft zu bestimmen, oder daran, die Gravitationskraft zu bestimmen? Letzteres scheitert daran, dass es diese in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht gibt. |
Naja, da das eine das andere da beim Verharren ausgleicht, habe ich Verharrens-Kraft und Gravitations-Kraft mal salopp gleichgesehen, obwohl ich weiss, dass Gravitations-Kraft in der ART nicht existiert. |
Das ist der Fall des Verharrens, dabei ist die Kraft zunächst mal die Schubkraft der Rakete. In der Newtonschen Mechanik ist die Gravitationskraft jedoch die Kraft, die auf einen (auf einer mit-fallenden Waage gemessenen) kräftefrei fallenden Körper wirkt. Schon die Logik sollte einem zeigen, dass da irgendwas ziemlich künstlich ist.
Nochmal:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Der wesentliche Unterschied ist, dass der Newtonsche Kraftbegriff nicht mehr gilt.
Newton 1: Ein kräftefreier Körper bewegt sich geradlinig und gleichförmig, d.h. mit konstanter Geschwindigkeit.
Nun bewegt sich aber ein Körper im Gravitationsfeld offenbar nicht geradlinig und gleichförmig im Sinne Newtons, sondern auf einer Wurfparabel, die einen kleinräumigen Ausschnitt aus einem Kepler-Orbit darstellt. Also muss eine Kraft wirken, die Newtonsche Gravitationskraft. Andererseits spürt ein auf einer Wurfparabel oder einem Keplerorbit bewegter Körper offensichtlich keine Kraft (bei einem Parabelflug oder in der ISS fühlt man sich schwerelos) weswegen man mit Zentrifugalkräften und Kräftegleichgewicht argumentieren muss.
Nach Einstein bewegt sich ein kräftefreier Körper geodätisch bzgl. einer bestimmten Geometrie der Raumzeit, was einer mathematischen Verallgemeinerung von "geradlinig und gleichförmig" entspricht. |
Der letzte Satz ist der Schlüssel: Ein frei fallende Körper ist laut Messung (auf einer mit dem Körper gemeinsam fallenden Waage) kräftefrei, also soll der Kraftbegriff gerade so definiert sein, dass er dies respektiert. Aber der Körper bewegt sich im 3-dim. Raum offenbar nicht geradlinig und gleichförmig. Also betrachten wir die 4-dim. Raumzeit und finden, dass die geodätische Bewegung gerade die korrekten Orbits reproduziert, ohne dass wir dazu überhaupt keinen Kraftbegriff benötigen (eine nicht-gravitative Kraft kommt erst dann ins Spiel, wenn die Bahn des Körpers von einer Geodäten abweicht).
Mathematisch wird das dann leider ziemlich kompliziert, aber konzeptionell deutlich einfacher und klarer als bei Newton. Ich behaupte, dass wenn man Schülern von vornherein diesen Zugang (ohne Formeln) erklären würde, wäre es nahezu trivial, dass keine Kraft vorliegt, wenn man keine misst.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2024 13:10 Titel: |
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Hallo!
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Weil es sich um eine Vierergeschwindigkeit handelt, deren Zeitkomponente u° nicht Null sein kann. |
Ok, damit verstehe ich auch das
und den Weg zur letzten Formel besser.
Um das Thema so langsam abzuschliessen.
Ich schätze mal, man kann sagen:
Neben der lokalen Raumzeit-Krümmung zählt auch der Abstand zum Masse-Mittelpunkt. Man kann die Verharrens-Kraft oder die nötige Schub-Kraft zum Verharren nicht allein auf den Raumzeit-Krümmungs-Wert vor Ort reduzieren bzw. nicht allein dadurch ermitteln.
Das selbe, denke ich, gilt dann auch für die Zeit-Dilatation.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2024 13:26 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Neben der lokalen Raumzeit-Krümmung zählt auch der Abstand zum Masse-Mittelpunkt. Man kann die nötige Schub-Kraft zum Verharren nicht allein auf den Raumzeit-Krümmungs-Wert vor Ort reduzieren bzw. nicht allein dadurch ermitteln. |
Es ist ganz einfach:
Die Krümmung und hier in der Rechnung Gamma folgen aus der durch die Masse M verursacht Geometrie der Raumzeit. Diese Geometrie weiß sozusagen, wo die Masse M sitzt.
Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P, also aus Gamma(P).
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2024 13:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die Krümmung und hier in der Rechnung Gamma folgen aus der durch die Masse M verursacht Geometrie der Raumzeit. Diese Geometrie weiß sozusagen, wo die Masse M sitzt.
Die am Punkt P notwendige Schubkraft folgt aus der Geometrie am Punkt P, also aus Gamma(P). |
D.h. auch die transversalen Eigenschaften der Geometrie an so einem Punkt P und nicht nur die skalare Raumzeit-Krümmung hin zum Masse-Mittelpunkt!?!
Edit:
D.h. die Geometrie-Eigenschaften senkrecht zum Schubkraft-Vektor?
Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2024 17:38 Titel: |
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Ich verstehe die Frage nicht.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2024 18:10 Titel: |
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Also ich habe bis jetzt mit Raumzeit-Krümmung die Tangente in Bild 1 gemeint. D.h. die Stärke der Steigung der Tangente bzw. des dazugehörigen Raumpunktes, wie sie in 1-dimensionaler Darstellung oder Projektion vereinfacht dargestellt ist.
Mit transversalen Eigenschaften an so einem Punkt, meine ich z.B. quasi die Stärke der Biegung, wie sie ungefähr* in Bild 2 gelb dargestellt ist. Diese Biegung existiert ja quasi senkrecht oder transversal zu dieser Tangente.
D.h. man muss anscheinend die Geometrie auch transversal bzw. in mehreren Dimensionen (bitte bitte in diesem Erklärungs-Kontext richtig verstehen) betrachten.
* Ich nutze da mal vorteilhaft einen Teil der Geodäte, um meinen Gedanken nahezubringen
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 29. Jan 2024 21:31 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Also ich habe bis jetzt mit Raumzeit-Krümmung die Tangente in Bild 1 gemeint. D.h. die Stärke der Steigung der Tangente bzw. des dazugehörigen Raumpunktes, wie sie in 1-dimensionaler Darstellung oder Projektion vereinfacht dargestellt ist.
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1. Wäre eine Krümmung nicht mindestens zweite Ableitung?
2. Ist dieser Schnitt überhaupt gekrümmt im Sinne der hier verwendeten Defintion?
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2024 21:49 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | 1. Wäre eine Krümmung nicht mindestens zweite Ableitung? |
Weiß ich nicht. Würde ich gerne wissen.
Von TomS kommt dazu sicherlich doppelt codierte Information.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | 2. Ist dieser Schnitt überhaupt gekrümmt im Sinne der hier verwendeten Defintion? |
Hier? Wo? Welche denn?
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 29. Jan 2024 22:01 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | 1. Wäre eine Krümmung nicht mindestens zweite Ableitung? |
Weiß ich nicht. Würde ich gerne wissen.
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Schulmathe:
Die Tangente gibt die Steigung der Kurve in einem Punkt an.
Wenn sich diese Tangente nicht ändert, hat man eine gerade Linie mit der Steigung der Tangente.
Daher müsste man für eine Krümmung einer Kurve die Änderung der Steigung, eben die zweite Ableitung berechnen.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | 2. Ist dieser Schnitt überhaupt gekrümmt im Sinne der hier verwendeten Defintion? |
Hier? Wo? Welche denn?
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Schau mal hier: extrinsische vs. intrinsische Krümmung am Beispiel eines Blatt Papiers:
youtube.com/watch?v=5VKyRVLMMQ4&t=113s
Dein Schnitt könnte auch die Seitenansicht eines extrinsisch gekrümmten, aber intrinsisch flachen Blatt Papiers sein, bzw. man könnte die Linie einfach gerade ziehen, ohne die Metrik zu verändern, wenn man annimmt, dass das nur eine eindimensionale Linie ist
Der Trichter ist natürlich intrinsisch gekrümmt, da man den nicht Flach hinlegen kann, ohne die Fläche zu beschädigen oder zu verformen.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 29. Jan 2024 23:01 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Schulmathe:
Die Tangente gibt die Steigung der Kurve in einem Punkt an.
Wenn sich diese Tangente nicht ändert, hat man eine gerade Linie mit der Steigung der Tangente.
Daher müsste man für eine Krümmung einer Kurve die Änderung der Steigung, eben die zweite Ableitung berechnen. |
Das klingt plausibel und ist nachvollziehbar. Aber ob diese Terminologie bzw. Denkweise auch so für die Raumzeit-Krümmung gilt, würde ich gerne 100%ig bestätigt bekommen.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 01:05 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Also ich habe bis jetzt mit Raumzeit-Krümmung die Tangente in Bild 1 gemeint. D.h. die Stärke der Steigung der Tangente bzw. des dazugehörigen Raumpunktes, wie sie in 1-dimensionaler Darstellung oder Projektion vereinfacht dargestellt ist.
Mit transversalen Eigenschaften an so einem Punkt, meine ich z.B. quasi die Stärke der Biegung, wie sie ungefähr* in Bild 2 gelb dargestellt ist. Diese Biegung existiert ja quasi senkrecht oder transversal zu dieser Tangente.
D.h. man muss anscheinend die Geometrie auch transversal bzw. in mehreren Dimensionen (bitte bitte in diesem Erklärungs-Kontext richtig verstehen) betrachten. |
Der 4*4*4*4 Krümmungstensor hat 20 unabhängige Komponenten. Speziell in der Schwarzschild-Metrik sind 24 der insgs. 256 Komponenten ungleich Null.
Die 4*4*4 Christoffel-Symbole Gamma haben 40 unabhängige Komponenten. Speziell in der Schwarzschild-Metrik sind 13 der insgs. 64 Komponenten ungleich Null, davon sind noch 9 unabhängig d.h. 4 durch Symmetrien festgelegt.
Was ich damit sagen will ist, dass extrem unanschaulich ist.
Die Bilder zeigen leider nicht, was mathematisch "wirklich" passiert.
Sorry.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 30. Jan 2024 05:13 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | Schulmathe:
Die Tangente gibt die Steigung der Kurve in einem Punkt an.
Wenn sich diese Tangente nicht ändert, hat man eine gerade Linie mit der Steigung der Tangente.
Daher müsste man für eine Krümmung einer Kurve die Änderung der Steigung, eben die zweite Ableitung berechnen. |
Das klingt plausibel und ist nachvollziehbar. Aber ob diese Terminologie bzw. Denkweise auch so für die Raumzeit-Krümmung gilt, würde ich gerne 100%ig bestätigt bekommen.
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Die KI ist auch der Meinung, dass eine eindimensionale Linie keine intrinsische Krümmung hat:
"Ein eindimensionaler Riemannscher Mannigfaltigkeit hat keine intrinsische Krümmung. Es ist immer lokal isometrisch zu einer geraden, “flachen” Linie1. Formal gesehen hat der Riemannsche Krümmungstensor nur eine einzige Komponente R1111, aber dieses Element muss 0 sein, zum Beispiel aufgrund der Schiefsymmetrie von Rijkl1. Daher ist die Krümmung in einer Dimension immer null."
Allgemein enthält der Krümmungstensor Ableitungen der Christoffelsymbole/Gammas und die sind selbst Ableitungen, daher enthält der auch zweite Ableitungen, aber wohl wesentlich komplizierter, als es uns die Schulanalysis tränen lässt:
youtube.com/watch?v=cyW0LWEACfI&t=5914s
Laut Susskind (1.41.16) entspricht der Krümmunstensor konzeptionell der Berechnung des Differenzvektors beim Paralleltransport, den man auch auf Wikipedia im findet:
de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_Relativitätstheorie#Raumzeitkrümmung
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18168
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 06:33 Titel: |
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Hat er eine Idee der Visualisierung?
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 30. Jan 2024 07:32 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hat er eine Idee der Visualisierung? |
für den Krümmungstensor?
Für ihn ist das eine Repräsentation der Gezeitenkräfte und er veranschaulicht das durch ein kleines zweidimensionales Objekt, das in einem zweidimensionalen Raum "lebt", der an den Rändern flach ist und in der Mitte gekrümmt (Hügel). Wenn das Objekt in den gekrümmten Bereich bewegt, kann es der Krümmung nur folgen, indem es sich verformt oder "gestresst" wird, weil es den Raum nicht verlassen kann.
Der Krümmungstensor ist dann ein Maß dafür, wie sehr das Objekt gestresst wird, bzw. sagt einem, wie es sich verformt.
youtube.com/watch?v=cyW0LWEACfI&t=6214s
Eine IMO ähnliche Idee, wie die von der "gebogenen Tangente" im zweiten Bild von MBastieK:
Wenn man statt der eindimensionalen Linie ein zweidimensionales Objekt nimmt, das von von dem flachen Bereich an den Rändern kommt, wird es sich in der Kuhle verformen müssen, wenn es nicht (wie eine wirkliche Tangente) aus dem Raum rausragen kann.
(ist natürlich immer noch ein zweidimensionaler Raum, der in einen dreidimensionalen eingebettet ist, aber anders sind Krümmungen, wohl schwer vorstellbar...)
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 08:16 Titel: |
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Ich meinte die Christoffel-Symbole.
Von der Idee her ist das Gamma ja eine Maschine, in die man Objekte hineinsteckt und aus der andere herauspurzeln. Bei Gamma wären letzteres die Analoga zu Kräften, für Teilchen und deren Geodäten, aber auch für Felder.
Das sollte die Leitlinie sein.
Geodätische Abstände wären z.B. eine Idee.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 12:35 Titel: |
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Hallo!
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Bilder zeigen leider nicht, was mathematisch "wirklich" passiert. |
Aber kann man nicht anhand dieser Bilder oder Erläuterung oder Denkweise eine Isomorphie in niederen visualisierbaren Dimensionen oder Projektion aufbauen? Bei denen die Wirkmechanismen der nicht-visualisierbaren Faktoren, die in diesen Projektionen übrig bleiben, kommunizierbar bleiben, weil sie ergänzend das Geschehen beschreiben.
Ich meine, so eine Gewebs- oder Tuch-Krümmungs-Beschreibung (Bild 2) deckt ja schon einiges ab an Erläuterung. Ich möchte nicht ausschliessen, dass weitere Faktoren des Krümmungs-Tensors nicht auch ihren Platz finden können in dieser anschaulichen Erläuterung, die wirkt als hätte sie Potential für eine isomorphe Beschreibung.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 12:52 Titel: |
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Also isomorph ganz sicher nicht.
Wenn das funktionieren könnte, würden die Mathematiker dies nutzen.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 12:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Also isomorph ganz sicher nicht.
Wenn das funktionieren könnte, würden die Mathematiker dies nutzen. |
Nicht einmal in Projektionen? D.h. niederen Erklärungs-Dimensionen?
Und wenn nicht; wo versagt die Tuch-Analogie bzw. wo lässt sie sich nicht mehr erweitern?
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 13:07 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | aber intrinsisch flachen Blatt Papiers sein, bzw. man könnte die Linie einfach gerade ziehen, ohne die Metrik zu verändern, wenn man annimmt, dass das nur eine eindimensionale Linie ist
Der Trichter ist natürlich intrinsisch gekrümmt, da man den nicht Flach hinlegen kann, ohne die Fläche zu beschädigen oder zu verformen. |
Hmm. Ok. Interessant.
Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 13:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Also isomorph ganz sicher nicht.
Wenn das funktionieren könnte, würden die Mathematiker dies nutzen. |
Weil noch keine gefunden wurde, existiert keine?
Ist eine Nicht-Isomorphierbarkeit bewiesen?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 15:41 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Also isomorph ganz sicher nicht.
Wenn das funktionieren könnte, würden die Mathematiker dies nutzen. |
Weil noch keine gefunden wurde, existiert keine?
Ist eine Nicht-Isomorphierbarkeit bewiesen? |
Letzteres.
Abbildungen zwischen verschiedenen Dimensionen können nicht isomorph sein, es gehen immer Informationen verloren.
1. Die Anzahl der unabhängigen Komponenten des Krümmungstensors in d Dimensionen ist
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \char"0023_d = \frac{d^2 \, (d^2 - 1)}{12})
Für d = 2, 3, 4, 5 … liefert dies # = 1, 6, 20, 50 …
Nachdem du eine – nämlich die dritte – Dimension nutzt, um die Deformation der Fläche darzustellen, kannst du nur genau ein Information unterbringen. D.h. genau die eine Information für die Krümmung einer 2-dim. Fläche. Wir benötigen jedoch i.A. 20 – hier wg. Symmetrien weniger – aber immer noch zu viele.
2. Wir betrachten einen Orbit. Dafür liefert die Newtonsche Mechanik eine Zentralkraft in radialer Richtung, d.h. letztlich eine Komponente. Unser Spezialfall eines bei konstantem Radius stationären Teilchens liefert eine tatsächlich messbare Kraft, in radialer Richtung. Kann man einzeichnen, scheint zu passen. Bei einem nicht-stationären, Kepler-artigen Orbit in der Äquatorebene enthält die Geodätengleichung jedoch fünf nicht-verschwindende Christoffelymbole mit resultierenden Beiträgen in t-, r- und phi-Richtung. Einen Beitrag für die r-Richtung haben wir im stationären Fall analysiert, er würde zu einer Korrektur der Krümmung der Fläche führen *). Andere Beiträge sind neu und lassen sich anhand einer Fläche nicht darstellen.
Generell benötigst du die Beiträge in t-Richtung. Dazu reicht eine Fläche nicht aus, du müsstest einen Flächenstapel betrachten, je Zeit eine Fläche.
3. Noch schlimmer: wir haben festgestellt, dass die Krümmung am Ereignishorizont endlich bleibt, die berechnete Kraft jedoch divergiert. Diese Information bekommst du sicher nicht in einer Fläche unter, du brauchst mehrere Bilder.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Jan 2024 16:13, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 15:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Abbildungen zwischen verschiedenen Dimensionen können nicht isomorph sein, es gehen immer Informationen verloren. |
Ja, das ist klar. Das meinte ich aber nicht.
Ich meinte eine 1:1-Isomorphie, die in nieder-dimensionaler Darstellung besser kommunizierbar ist, d.h. deren höher-dimensionale Faktoren in der nieder-dimensionalen Darstellung besser kommunizierbar oder integrierbar sind.
P.S.
Mal so ein Tip:
Wenn Sie (oder wer auch immer) beim Gegenüber mal von Nicht-Fehlern oder ausreichender Intelligenz ausgehen würden, dann würden Ihre Interpretations-Fähigkeiten oder ihre Kognition Sie vielleicht zu Interpretationen führen, die sinnvoller oder zielführender sind. Das nenne ich 'forcierter Sinn'.
Nette Grüsse
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 16:21 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Mal so ein Tip:
Wenn Sie (oder wer auch immer) beim Gegenüber mal von Nicht-Fehlern oder ausreichender Intelligenz ausgehen würden, dann würden Ihre Interpretations-Fähigkeiten oder ihre Kognition Sie vielleicht zu Interpretationen führen, die sinnvoller oder zielführender sind. Das nenne ich 'forcierter Sinn'. |
Mal so ein Tipp:
Wenn Sie fragen würden, wenn Sie Fachbegriffe nicht verstehen, dann würden uns derartige Missverständnisse erspart bleiben:
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Abbildungen zwischen verschiedenen Dimensionen können nicht isomorph sein, es gehen immer Informationen verloren. |
Ja, das ist klar. Das meinte ich aber nicht. |
Ich schon, denn …
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ich meinte eine 1:1-Isomorphie… deren höher-dimensionale Faktoren in der nieder-dimensionalen Darstellung besser kommunizierbar oder integrierbar sind. |
… das geht nicht, weil ich nichts kommunizieren kann, was verloren gegangen ist.
Einfach nochmal den ergänzten Beitrag lesen und überlegen, wie derartiges zeichnerisch umgesetzt werden könnte.
Damit meine ich nicht, dass derartige Bilder nicht nützlich sein können, lediglich, dass es falsch ist, von einer Isomorphie zu sprechen.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 30. Jan 2024 16:40 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Allgemein enthält der Krümmungstensor Ableitungen der Christoffelsymbole/Gammas und die sind selbst Ableitungen, daher enthält der auch zweite Ableitungen, aber wohl wesentlich komplizierter, als es uns die Schulanalysis tränen lässt:
www.youtube.com/watch?v=cyW0LWEACfI&t=5914s |
Ach, ist doch schonmal was.
Die Kompliziertheit der Ableitungen ist erstmal nachrangig für mich. Ich gehe davon aus, dass "Allgemein" alle Elemente des Krümmungstensors meint!?! D.h. alle Elemente des Krümmungstensor sind zweite Ableitungen!?!
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2024 17:15 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Allgemein enthält der Krümmungstensor Ableitungen der Christoffelsymbole/Gammas und die sind selbst Ableitungen, daher enthält der auch zweite Ableitungen … |
D.h. alle Elemente des Krümmungstensor sind zweite Ableitungen!? |
Nein.
Er enthält auch zweite Ableitungen. Siehe hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Krümmungstensor#Definition
Die in Gamma quadratischen Terme enthalten ausschließlich eine Ableitung, die in Gamma linearen Terme zwei. D.h. jedes Element des Krümmungstensors enthält sowohl Terme mit einer als auch mit zwei Ableitungen.
Das ist aber Rechentechnik und trägt wenig zum Verständnis bei.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Jan 2024 17:20, insgesamt einmal bearbeitet |
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