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MBastieK
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 MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2024 15:20 Titel: Beziehung Raumzeit-Krümmung und Gravitations-Kraft |
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In diesem Thread oder mit dieser Aussage
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | man kann zwar grob davon sprechen, dass das Konzept der Krümmung die Gravitationskraft ersetzt, aber eine Identifizierung "Gravitation = Krümmung" suggeriert m.E. einen falschen quantitativen Zusammenhang. |
wird ja vermittelt, dass Raumzeit-Krümmung und Gravitations-Kraft, auch gerade durch ihre Nicht-Proportionalität* zueinander, ähnliche aber nicht gleichwertige Konzepte sind.
Kann man die spezifischen Eigenschaften der Raumzeit hervorheben, die diese Diskrepanz oder Verschiedenartigkeit näher erläutert?
Vielleicht aus dieser Perspektive startend
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Interpretation einer 4D-Geometrie der Raumzeit sitzt doch aber gerade so fest im Sattel, weil die Lichtgeschwindigkeit in jeder Richtung und unabhängig von der Geschwindigkeit des Beobachters, in zig Experimente nachgewiesen, konstant c ist. Wir beobachten die Natur und schlussfolgern daraus, dass Einsteins Theorie der Raumzeit, diese Beobachtungen am besten modelliert. |
, wobei die Lichtgeschwindigkeit vorrangig oder rein eine geometrische Grösse ist.
*Korrektur
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 27. Jan 2024 22:49, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2024 15:40 Titel: |
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Die Gravtitationskraft mutet mir an als emergente (oder nicht-lokale) Kraft, d.h. die ihre Umgebung kennt und nur so ihre lokale Gravitations-Kraft, unabhängig von ihrer lokalen Raumzeit-Krümmung, einnimmt, d.h. da sie halt die Umstände kennt und somit ihren Wert einnimmt, und weiss, dass sich diese Umstände nur mit einer endlichen Geschwindigkeit ändern können, anders als bei der klassischen Gravitations-Kraft, die instantane Änderungen erlaubte oder als Grund-Prinzip mitbrachte.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2024 16:22 Titel: |
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Ich habe mal ChatGPT gefragt, ob in quantisierten Gravitations-Theorien die Gravitonen komplett die Raumzeit-Krümmung ersetzen. Hat er verneint. Und er hat auch, auf Nachfrage, gesagt, dass in einem Bereich, wo die Gravitonen quasi hypothetisch alle entfernt werden oder wurden, keine Gravitations-Kraft, d.h. Anziehungs-Kraft, mehr existiert.
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 25. Jan 2024 16:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 25. Jan 2024 16:24 Titel: |
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Emergent und nicht-lokal sind zwei verschiedene Paar Schuhe.
Die Gravitation ist im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie nicht emergent sondern fundamental, und sie ist lokal; sie wird mittels Differentialgleichungen beschrieben – ganz genauso wie zum Beispiel elektromagnetische Kräfte mittels der Maxwellschen Gleichungen.
Der wesentliche Unterschied ist, dass der Newtonsche Kraftbegriff nicht mehr gilt.
Newton 1: Ein kräftefreier Körper bewegt sich geradlinig und gleichförmig, d.h. mit konstanter Geschwindigkeit.
Nun bewegt sich aber ein Körper im Gravitationsfeld offenbar nicht geradlinig und gleichförmig im Sinne Newtons, sondern auf einer Wurfparabel, die einen kleinräumigen Ausschnitt aus einem Kepler-Orbit darstellt. Also muss eine Kraft wirken, die Newtonsche Gravitationskraft. Andererseits spürt ein auf einer Wurfparabel oder einem Keplerorbit offensichtlich keine Kraft (bei einem Parabelfug oder in der ISS fühlt man sich schwerelos) weswegen man mit Zentrifugalkräften und Kräftegleichgewicht argumentieren muss.
Nach Einstein bewegt sich ein kräftefreier Körper geodätisch bzgl. einer bestimmten Geometrie der Raumzeit, was einer mathematischen Verallgemeinerung von "geradlinig und gleichförmig" entspricht.
Die beiden Bewegungsgleichungen lassen sich gegenüberstellen (wobei ich zunächst auf formale Details verzichte)
Nach Newton gilt für den Impuls
die Bewegungsgleichung
Nach Einstein gilt für den 4er-Impuls P
(nun in der 4-dim. Raumzeit) die Bewegungsgleichung
wobei … in beiden Fällen für weitere z.B. elektromagnetische Kräfte, Schubkräfte von Raketen etc. steht.
Einsteins Formulierung gilt unmittelbar für massebehaftete und masselose Körper, d.h. m > 0 und m = 0; die Masse tritt in der Bewegungsgleichung nicht auf.
Speziell für m > 0 gilt
Das mathematisch komplizierte Objekt D formalisiert die Idee der geodätischen Bewegung entlang kürzester und im verallgemeinerten Sinne zugleich gerader Kurven. Man kann wiederum für m > 0 den Newtonschen Grenzfall zurückgewinnen, d.h.
(Für m = 0 kann man eine Art Newtonsche Bewegungsgleichung basteln, indem man sie speziell-relativistische Masse-Energie-Äquivalenz für Photonen missbraucht; dies liefert jedoch explizit falsche Ergebnisse – siehe Einstein 1915 und Eddington 1919 zur Lichtablenkung im Gravitationsfeld).
Als Ausblick: der Zusammenhang zwischen Gravitation und Raumzeit-Krümmung steckt offensichtlich in dem Objekt D.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 25. Jan 2024 20:40 Titel: Re: Beziehung Raumzeit-Krümmung und Gravitations-Kraft |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
wird ja vermittelt, dass Raumzeit-Krümmung und Gravitations-Kraft, auch gerade durch ihre Nicht-Proportionalität zueinander, ähnliche aber nicht gleichwertige Konzepte sind.
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Also, nach meinem bescheidenen Verständnis der modernen mathematischen Physik gilt generell (für alle Arten von Wechselwirkungen) die Aussage:
"Kraft = Krümmung"
Ausserhalb der ART spielt da die sogenannte "Krümmungsform" auf "Hauptfasernbündeln" eine Rolle. Dies führt zu geometrischen Überlegungen im Zusammenhang mit sogenannter "Garbenkohomologie".
Diese Art von "Geometrie" ist aber alles andere als anschaulich 
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2024 21:18 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Also, nach meinem bescheidenen Verständnis der modernen mathematischen Physik gilt generell (für alle Arten von Wechselwirkungen) die Aussage:
"Kraft = Krümmung" |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zurück zur Krümmung – siehe oben: diese geht am EH für zunehmende Masse gegen Null, trotzdem divergiert [dort] die oben berechnete Kraft. |
Link dazu.
Wie passt das in Ihr Verständnis? D.h. eine unendlich große Kraft mit kleiner werdender Krümmung?
Nette Grüsse
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 25. Jan 2024 21:53 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Wie passt das in Ihr Verständnis? D.h. eine unendlich große Kraft mit kleiner werdender Krümmung?
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Du musst da zwischen "echten physikalischen Singularitäten" und "Koordinatensingularitäten" (als "Artefakten" mathematischer Beschreibung) unterscheiden.
Am EH gibt es keine physikalische Singularität.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 25. Jan 2024 22:28 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Wie passt das in Ihr Verständnis? D.h. eine unendlich große Kraft mit kleiner werdender Krümmung?
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Du musst da zwischen "echten physikalischen Singularitäten" und "Koordinatensingularitäten" (als "Artefakten" mathematischer Beschreibung) unterscheiden.
Am EH gibt es keine physikalische Singularität. |
Das ändert nichts daran, dass eine externe Kraft, z.B. eine Schubkraft, die ein Raumschiff in der Schwarzschildgeometrie schweben lässt, am Ereignishorizont divergiert.
Diese Kraft ist kein Artefakt sondern als physikalische Kraft auf einer Waage messbar. Im Inneren des Raumschiffs erscheint sie der Besatzung exakt so wie die "Kraft der Erdeoberfläche gegen die Gravitation".
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Jan 2024 22:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 25. Jan 2024 22:33 Titel: Re: Beziehung Raumzeit-Krümmung und Gravitations-Kraft |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
wird ja vermittelt, dass Raumzeit-Krümmung und Gravitations-Kraft, auch gerade durch ihre Nicht-Proportionalität zueinander, ähnliche aber nicht gleichwertige Konzepte sind.
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Also, nach meinem bescheidenen Verständnis der modernen mathematischen Physik gilt generell (für alle Arten von Wechselwirkungen) die Aussage:
"Kraft = Krümmung"
Ausserhalb der ART spielt da die sogenannte "Krümmungsform" auf "Hauptfasernbündeln" eine Rolle. Dies führt zu geometrischen Überlegungen im Zusammenhang mit sogenannter "Garbenkohomologie". |
Es geht ja nicht um eine lose Assoziation "Kraft entspricht Krümmung" oder allgemeiner "Wechselwirkung entspricht Krümmung" – da widerspricht ja niemand – sondern um einen quantitativen Bezug zwischen beiden. Und der ist nicht unmittelbar gegeben sondern nur sehr indirekt, so dass ich das "=" kritisch sehe.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 13:39 Titel: |
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Das Prinzip einer Geodäte, anhand einer komplizierten (wie auf dem Bild unten) ist ja recht leicht zu verstehen. Auch erst recht, wenn es mit einer Anfangs-Bewegungen (Impuls) beginnt und so auf einer Geodäte geführt wird, die an dem Masse-Objekt vorbeiführt. Auf so einer Geodäte (eigentlich auf jeder ohne weitere Kraft-Einwirkung) kommt sich dieses Objekt in der relativistischen Raumzeit vor, als würde es sich ja auf einer geradlinigen Bewegung in einem klassischen euklidischen Raum bewegen.
Aber wenn man jetzt in der Raumzeit vor einem Himmelskörper ein Masse-Objekt hineinbeamen würde, welches anfänglich steht, dann hat dieses Objekt ja eine triviale, weil geradlinige, Geodäte zum Himmelskörper-Massenmittelpunkt hin.
Wenn man dieses Masse-Objekt vor dem EH eines überaus massereichen schwarzen Loches auf einen Raumzeit-Punkt mit der Raumzeit-Krümmung r_k beamt, dann erfährt es ja dort sofort eine weitaus stärkere Beschleunigung oder Kraft zum Himmelskörper-Mittelpunkt hin, als wenn man es auf einen Raumzeit-Punkt mit der selben Raumzeit-Krümmung r_k vor einem beliebigen masseschwächeren Himmelskörper (z.B. Sonne oder Planet) beamt.
Die beiden resultierenden Geodäten sind ja verschieden-krümmig, aber relativ geradlinig, aus einer bestimmten Perspektive gesehen. Beide starten auf der selben Raumzeit-Krümmung.
Ahnt das Masse-Objekt seine Geodäte (letztendlich natürlich nicht), sodass es verschiedene Beschleunigung bzw. Kraft erfährt? Muss man irgendwie eine weitere mathematische Differenzierung der Raumzeit-Krümmung vornehmen? Ist die Kraft oder Beschleunigung bei gleicher Raumzeit-Krümmung eigentlich lokal gleich, aber erscheint nur aus einer globalen Sicht auf verschiedene Raumzeit-Verzerrungen verschieden? Relativität halt.
Gibt es für diese Problematik nur eine Erklärungs-Perspektive, nämlich die mathematische oder nur eine mathematische?
Nette Grüsse
| Beschreibung: |
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 26. Jan 2024 13:51, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2024 13:50 Titel: |
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Ich verstehe hier nicht, was du meinst, insbs. sehe ich nicht, wozu das Beamen gut sein soll.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man dieses Masse-Objekt vor dem EH eines überaus massereichen schwarzen Loches auf einen Raumzeit-Punkt mit der Raumzeit-Krümmung r_k beamt, dann erfährt es ja dort sofort eine weitaus stärkere Beschleunigung oder Kraft zum Himmelskörper-Mittelpunkt hin, als wenn man es auf einen Raumzeit-Punkt mit der selben Raumzeit-Krümmung r_k vor einem beliebigen Himmelskörper (z.B. Sonne oder Planet) beamt. |
Damit wir eine vernünftige Ausgangsbasis haben, betrachten wir ein Schwarzes Loch sowie einen beliebigen anderen Himmelskörper, beide mit der selben Masse M. Beim SL können wir sinnvoll bis knapp oberhalb des EH an Schwarzschild-Radius R_S diskutieren (darunter auch, allerdings gelten dann andere Gleichungen). Bei dem anderen Himmelskörper können wir sinnvoll bis knapp oberhalb seiner Oberfläche diskutieren (andernfalls siehe oben). Da dieser andere Himmelskörper kein SL sein soll, ist sein Radius R sicher größer als der Schwarzschild-Radius dieser Masse M. Für den Radius r, an dem sich das entlang einer Geodäten bewegte Objekt befindet, gilt demnach
Nun besagt ein Theorem, dass in diesem Bereich wg. identischer Masse M auch identische Geometrien vorliegen. D.h. bei identischen Anfangsbedingungen sind auch die Geodäten identisch, rein gravitativ existiert hier kein Unterschied zwischen dem SL und dem anderen Himmelskörper.
M.a.W.: ersetzt man einen beliebigen Himmelskörper der Masse M durch ein Schwarzes Loch identischer Masse, so ändern sich die Geodäten bzw. Orbits von Objekten um diesen Himmelskörper nicht.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Jan 2024 13:58, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 13:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Damit wir eine vernünftige Ausgangsbasis haben, betrachten wir ein Schwarzes Loch sowie einen beliebigen anderen Himmelskörper, beide mit der selben Masse M |
Sorry, ich habe in meinem Text noch das Wort 'masse-schwächerer' hinzugefügt.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | als wenn man es auf einen Raumzeit-Punkt mit der selben Raumzeit-Krümmung r_k vor einem beliebigen masseschwächeren Himmelskörper (z.B. Sonne oder Planet) beamt. |
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2024 13:59 Titel: |
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Können wir erst mal den einfacheren, o.g. Fall diskutieren?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 14:02 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Können wir erst mal den einfacheren, o.g. Fall diskutieren? |
Von mir aus erweitern Sie ihre Erläuterungen dazu. Ich habe da aber keine Gegenfragen oder Gegenansichten dazu.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2024 14:24 Titel: |
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Ist denn noch etwas zu erweitern?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 14:53 Titel: |
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Naja, interessant klingt, dass gleiche Massen bei verschiedenen Dichte-Konfigurationen anscheinend die selben Raumzeit-Krümmungs-Konfigurationen über einen Raum-Bereich erzeugen. D.h. beim selben Abstand zum Masse-Mittelpunkt die selben Raumzeit-Krümmungen existieren.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2024 15:18 Titel: |
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Dabei handelt es sich um das Birkhoff-Theorem.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 18:30 Titel: |
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Ah, danke.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2024 19:12 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man dieses Masse-Objekt vor dem EH eines überaus massereichen schwarzen Loches auf einen Raumzeit-Punkt mit der Raumzeit-Krümmung r_k beamt, dann erfährt es ja dort sofort eine weitaus stärkere Beschleunigung zum Himmelskörper-Mittelpunkt hin, als wenn man es auf einen Raumzeit-Punkt mit der selben Raumzeit-Krümmung r_k vor einem beliebigen masseschwächeren Himmelskörper beamt. |
Das wäre also deine nächste Frage: wir vergleichen zwei verschiedene Raumzeiten, resultierend aus zwei verschiedenen Zentralmassen.
Dabei sollen insbs. die Anfangsbedingung verglichen werden, also z.B. der Abstand zur Zentralmasse, die dort geltende Krümmung, die oben berechnete Kraft für stationäres Schweben, die Rotverschiebung bzw. Zeitdilatation … aber auch andere Größen wie z.B. die Zeit für den Sturz ins Zentrum (habe deine Idee etwas erweitert).
Ist das ungefähr die Richtung, die du dir vorstellst?
Ich muss mir das mal überlegen. Der entscheidende Punkt ist, dass wir zwar theoretisch wissen, dass verschiedene Raumzeiten vorliegen, dass dies jedoch durch praktische Experimente innerhalb der Raumzeit selbst feststellbar sein muss. Wir müssen das Ganze also mittels Observablen beschreiben; diese sollten idealerweise rein gravitative Größen sein, also z.B. nicht elektromagnetischer bzw. optisch Natur (was bei zwei verschiedenen SLs nicht funktionieren kann). Die oben berechnete Kraft wäre eine derartige Größe, außerdem natürlich Eigenzeiten.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 19:14 Titel: |
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Wenn diese Formel eine Schubkraft beschreibt, die ein Objekt in einem Raumzeitpunkt hält, dann gleicht diese Schubkraft ja die dort herrschende Gravitations-Kraft aus, die halt dann trivial die gleiche Größe wie die Schubkraft haben muss.
mit 
dann müsste doch diese nachfolgende Formel ein Ausgangs-Punkt sein für die mathematische Beschreibung der Gravitations-Kraft an diesem Raumzeit-Punkt?
)
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 29. Jan 2024 00:02, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 21:39 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das wäre also deine nächste Frage: wir vergleichen zwei verschiedene Raumzeiten, resultierend aus zwei verschiedenen Zentralmassen.
Dabei sollen insbs. die Anfangsbedingung verglichen werden, also z.B. der Abstand zur Zentralmasse, die dort geltende Krümmung, die oben berechnete Kraft für stationäres Schweben, die Rotverschiebung bzw. Zeitdilatation … aber auch andere Größen wie z.B. die Zeit für den Sturz ins Zentrum (habe deine Idee etwas erweitert).
Ist das ungefähr die Richtung, die du dir vorstellst? |
Ich weiss ja nicht. Am besten keine unnötigen Zusatz-Faktoren einführen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | (was bei zwei verschiedenen SLs nicht funktionieren kann) |
Oder wir nehmen Abstand von schwarzen Löchern und betrachten oder vergleichen das Ganze mit zwei normalen Himmelskörpern verschiedener Massen, aber an Punkten mit jeweils gleicher Raumzeit-Krümmung, wo aber verschiedene Gravitations-Kraft herrscht.
Ansonsten das?!?
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 26. Jan 2024 23:33 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Das Prinzip einer Geodäte, anhand einer komplizierten (wie auf dem Bild unten) ist ja recht leicht zu verstehen. |
Naja, das ist eine zweidimensionale Fläche, die in eine dritte Dimension gekrümmt ist.
Wie sieht das in einem dreidimensionalen Raum aus?
Wie in der vierdimensionalen Raumzeit?
Wieso werde ich von einer Raumkrümmung im mm-Bereich deutlich auf die Erdoberfläche gepresst? Oder liegt das eher an der Zeitkoordinate?
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2024 23:53 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Naja, das ist eine zweidimensionale Fläche, die in eine dritte Dimension gekrümmt ist.
Wie sieht das in einem dreidimensionalen Raum aus?
Wie in der vierdimensionalen Raumzeit?
Wieso werde ich von einer Raumkrümmung im mm-Bereich deutlich auf die Erdoberfläche gepresst? Oder liegt das eher an der Zeitkoordinate? |
Ja, stimmt schon. Letztendlich ist das nicht ohne.
Wie die Zeit in der Raumzeit mitwirkt ist sicherlich auch verstehenswürdig oder sogar notwendig.
Ich habe noch ein paar Gedanken zur Geodäte, die aber jetzt unpassend sind.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 08:43 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | … dann müsste doch diese nachfolgende Formel ein Ausgangs-Punkt sein für die mathematische Beschreibung der Gravitations-Kraft an diesem Raumzeit-Punkt?
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Verwendet man den Newtonschen Kraftbegriff, dann ist das natürlich der Fall.
Wir ich oben geschrieben habe:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Man kann für m > 0 den Newtonschen Grenzfall zurückgewinnen, d.h.
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Man kann sogar die relativistischen Korrekturen der Newtonschen Gravitationskraft berechnen, für kleine Krümmung sowie kleine Geschwindigkeit. Inkl. des beiden aus der Newtonschen Mechanik bekannten Terme plus des ersten relativistischen Korrekturterms führt das auf ein Gravitationspotential
 = -\frac {GMm}{r} + \frac {L^2}{2\mu r^2} - \frac {G(M+m)L^2}{c^2\mu r^3})
Daraus folgt sofort die Kraft. Damit kann man die Korrekturen der Orbits berechnen, u.a. die Periheldrehung des Merkur.
Aber:
| Zitat: | Der wesentliche Unterschied [zwischen Newton und Einstein] ist, dass [in der ART] der Newtonsche Kraftbegriff nicht mehr gilt.
Nach Einstein bewegt sich ein kräftefreier Körper geodätisch bzgl. einer bestimmten Geometrie der Raumzeit. Nach Einstein gilt für den 4er-Impuls P
wobei … für weitere z.B. elektromagnetische Kräfte, Schubkräfte von Raketen etc. steht.
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Ein in einer gekrümmten Raumzeit d.h. unter dem Einfluss der Gravitation bewegter Körper ist nach Einstein kräftefrei!
Demnach kann man im Rahmen der ART keine Gravitationskraft finden, weil es keine gibt. Findet man eine Gravitationskraft, so hat man den konzeptionellen Kontext der ART verlassen und argumentiert wieder im eingeschränkten Rahmen der Newtonschen Mechanik.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 09:32 Titel: |
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Nochmal zu
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das wäre also deine nächste Frage: wir vergleichen zwei verschiedene Raumzeiten, resultierend aus zwei verschiedenen Zentralmassen.
Dabei sollen insbs. die Anfangsbedingung verglichen werden, also z.B. der Abstand zur Zentralmasse, die dort geltende Krümmung, die oben berechnete Kraft für stationäres Schweben, die Rotverschiebung … |
Der Vergleich verschiedener Beobachtungen in verschiedenen Raumzeiten muss anhand beobachtbarer Größen stattfinden.
Inwiefern das für die Krümmung praktisch funktioniert, ist mir noch nicht klar.
Für die o.g. Kraft
}})
funktioniert dies, die Kraft kann direkt gemessen werden.
Nicht jedoch für den Radius r, denn dieser ist keine Observable, sondern eine zunächst willkürliche Koordinate! Allerdings kann man ihn zu Observablen in Beziehung setzen.
Ein paar Fragen:
1. Kann man in einer Schwarzschild-Raumzeit die Masse M des Zentralkörpers bestimmen? Ja, und zwar einfach so wie in der Newtonschen Mechanik. Verschiedene Raumschiffe bewegen sich auf unterschiedlichen Kepler-Orbits (im Falle eines SLs bitte genügend weit von diesem entfernt) und messen untereinander ihre Abstände sowie die Zeiten für einen vollständigen Orbit. Für die Umlaufdauer bzw. die daraus folgende mittlere Winkelgeschwindigkeit omega sowie die große Halbachse a gilt
G wird mittels einer Gravitationswaage bestimmt, also kann aus den Orbits die Zentralmasse M berechnet werden.
2. Kann man derartige Überlegungen unabhängig vom Radius formulieren? Ja, indem man diesen geeignet eliminiert. Das funktioniert auch in der ART, allerdings wäre die mathematische Observable der invariante Abstand zum Zentrum, was man im Falle eines SLs ungern messen möchte. Eine interessante Observable ist jedoch die Blauverschiebung 1+z einer bekannten Lichtquelle im Unendlichen, beobachtet bei einem bestimmten Radius r. Diese Blauverschiebung beträgt für die Frequenz nu
}{\nu_\infty} = \frac{1}{\sqrt{f(r)}})
Nun kann man in einem stationären Raumschiff diese Frequenz messen. Auflösen der Formel nach r liefert den Radius als Funktion der Blauverschiebung. Damit wiederum kann der Radius aus allen Gleichungen eliminiert werden.
Am Beispiel der oben berechneten Kraft folgt in der Näherung nahe des Horizonts
}} = \frac{m}{4M} (1 + z))
(Fernab des Horizonts gilt in sehr guter Näherung Newton, da brauchen wir diese Überlegungen nicht wirklich)
Die Kraft kann also unmittelbar durch die Blauverschiebung des Lichtsignals bekannter Frequenz bestimmt werden. Wiederum ist die Masse M aus direkt messbaren Größen berechenbar. Die Raumschiffbesatzung misst bei verschiedenen Radien bei einem dort stationären Aufenthalt die dazu notwendige radiale Schubkraft F sowie die Blauverschiebung 1+z der Referenzfrequenz und ermittelt daraus den Wert der Zentralmasse M.
3. Deine letzte offene Frage wäre, wie dies für die Krümmung funktioniert. Zunächst mal kann man wieder r eliminieren und die Krümmung durch F oder durch z darstellen. Aber was sagt einem das? Möchte man nicht lieber diese Krümmung direkt messen???
4. Eine weitere prinzipiell beobachtbare Größe wäre die Eigenzeit für den freien Fall und den Sturz ins Zentrum …
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 12:53 Titel: |
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Ist denn die Zeit-Dilatation und die Raumzeit-Krümmung linear bzw. proportional zueinander? Oder geht die Zeit schon am Ereignishorizont gegen Null?
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 13:34 Titel: |
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I.A. ist da gar nichts linear.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Jan 2024 09:04, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 13:38 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | I.A. ist da gar nichts linear. |
Also ist Zeit-Dilatation und Raumzeit-Krümmung nicht linear zueinander!?! Und am Ereignishorizont bleibt die Zeit schon stehen!?!
Wenn Sie sowas direkt bejahen, kann ich die Formeln besser interpretieren. The other way around.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 14:08 Titel: |
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Ja, Zeit und Krümmung sind nicht linear zueinander.
Nein, die Zeit bleibt am Ereignishorizont nicht stehen. Was stehen bleibt, ist die Zeit eines Objektes am Horizont aus Sicht eines davon entfernten Beobachters.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 14:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, Zeit und Krümmung sind nicht linear zueinander. |
Ok. Danke. Auch interessant.
Dann hat man bei wachsenden schwarzen Löchern am EH eine gegen Null gehende Raumzeit-Krümmung, aber die Zeit-Dilatation ist dort immer maximal, quasi auch divergent.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nein, die Zeit bleibt am Ereignishorizont nicht stehen. Was stehen bleibt, ist die Zeit eines Objektes am Horizont aus Sicht eines davon entfernten Beobachters. |
Ja, das wusste ich. Hab mich zu einfach ausgedrückt.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 15:37 Titel: |
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Folgebeitrag.
Beschreibt f(r) die Raumzeitkrümmung in Abhängigkeit vom Abstand oder die Änderung der Raumzeitkrümmung in Abhängigkeit vom Abstand?? Abstand zum Masse-Mittelpunkt.
Edit:
Bei der Formel:
 = 1 - \frac{2M}{r} )
ist doch die 1 dimensionslos. Wie kann man davon eine nicht-dimensionslose Zahl abziehen? Oder ist f(r) ein Vektor? (M wird mit von GPT-3.5 als Masse kommuniziert. )
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 27. Jan 2024 15:52, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 15:45 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Dann hat man bei wachsenden schwarzen Löchern am EH eine gegen Null gehende Raumzeit-Krümmung, aber die Zeit-Dilatation ist dort immer maximal, quasi auch divergent. |
Ja.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 15:54 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Folgebeitrag.
Beschreibt f(r) die Raumzeitkrümmung in Abhängigkeit vom Abstand oder die Änderung der Raumzeitkrümmung in Abhängigkeit vom Abstand?? Abstand zum Masse-Mittelpunkt.
Edit:
Bei der Formel:
ist doch die 1 dimensionslos. Wie kann man davon eine nicht-dimensionslose Zahl abziehen? Oder ist f(r) ein Vektor? |
f(r) ist einfach eine Funktion, die in der Metrik und an anderen Stellen häufig vorkommt. Sie hat für sich betrachtet keine Bedeutung.
Ich war schlampig mit den Einheiten.
Es gilt
 = 1 - \frac{r_\text{S}}{r})
Oft setzt man c = 1, manchmal auch noch G = 1. Ich habe das nicht konsequent durchgehalten und muss noch aufräumen.
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MBastieK
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 16:35 Titel: |
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Vergiss ChatGPT.
Den Kretschmann-Skalar habe ich ja oben genannt.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 17:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | I.A. ist da gar nichts linear.
...
Ja, Zeit und Krümmung sind nicht linear zueinander. |
Wenn die Zeit-Dilatation nicht linear zur Raumzeit-Krümmung ist, dann gehe ich davon aus, dass die Längen-Kontraktion, falls man den Begriff im Bezug zur verkrümmten Raumzeit nutzen darf, selbst auch nicht linear zur Raumzeit-Krümmung ist.
P.S.
Da könnte man schon böse oder witzigerweise Fragen, ob die Raumzeit-Krümmung zur Raumzeit-Krümmung linear ist. 
Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2024 18:21 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | I.A. ist da gar nichts linear.
...
Ja, Zeit und Krümmung sind nicht linear zueinander. |
Wenn die Zeit-Dilatation nicht linear zur Raumzeit-Krümmung ist, dann gehe ich davon aus, dass die Längen-Kontraktion, falls man den Begriff im Bezug zur verkrümmten Raumzeit nutzen darf, selbst auch nicht linear zur Raumzeit-Krümmung ist. |
Längenkontraktion hat etwas mit Relativbewegung zu tun, nicht mit Krümmung.
Wenn ich Zeit habe, erstelle ich mal ein paar Plots, einmal für stationäre Beobachter, dann für radial frei fallende.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 18:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich Zeit habe, erstelle ich mal ein paar Plots, einmal für stationäre Beobachter, dann für radial frei fallende. |
Ok. Danke.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 27. Jan 2024 22:47 Titel: |
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Ich habe zwar die ganze Zeit von Linearität oder Proportionalität geredet, aber was ich eigentlich eher oder nur meinte, war eine eindeutige Zuordnung von Raumzeit-Krümmungs-Wert zu (klassischem) Gravitations-Kraft-Wert. D.h. eine allgemeingültige Abbildung (genauer gesagt eine allgemeingültige bijektive Abbildung) von Raumzeit-Krümmungs-Wert zu Gravitations-Kraft-Wert *, die ja anscheinend nicht existiert.
* oder (später hinzugekommen) Zeit-Dilatation
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 28. Jan 2024 12:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2024 11:23 Titel: |
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So einfach ist das nicht.
Zunächst mal gibt es in n Dimensionen nicht die Krümmung sondern den n*n*n*n-komponentigen Riemannschen Krümmungstensor; dieser hat
}{12} )
voneinander unabhängige Komponenten, für n = 4 also
Die Klassifizierung von Raumzeiten ist sehr kompliziert. Eine wesentliche Rolle spielen skalare Größen, die man aus dem Riemannschen Krümmungstensor gewinnen kann. Das sind Ricci-, Kretschmann-, Chern-Pontryagin- und Euler-Krümmungsskalar.
Für Vakuum-Lösungen ohne Materie (dazu zählen auch schwarze Löcher mit ihrer Singularität) und ohne kosmologische Konstante ist
d.h. Schwarzschild- und Kerr-Raumzeit sind Ricci-flach.
Sie haben jedoch nicht-verschwindenden Kretschmann-Krümmungsskalar; im Schwarzschild-Fall gilt speziell
Für Chern-Pontryagin- und Euler-Krümmungsskalar gilt in diesem Spezialfall ebenfalls
D.h., dass wir sozusagen nur eine Krümmung – genauer: einen relevanten Krümmungsskalar – vorliegenden haben, ist der hochsymmetrischen Spezialfall der Schwarzschild-Raumzeit geschuldet. In der Kerr-Raumzeit eines rotierenden Schwarzen Lochs verschwindet *K nicht, in der Schwarzschild-Designer-Raumzeit mit zusätzlicher kosmologischer Konstante verschwindet R nicht.
Also ja, für die Schwarzschild-Raumzeit ist
 \; \longleftrightarrow \; K(r) )
bijektiv, aber das ist eben nur ein Spezialfall.
Nun haben wir 4 Skalare, jedoch i.A. 12 unabhängige Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors, d.h. diese 4 Skalare sind i.A. nicht ausreichend.
Darüberhinaus ist das Konzept der Kraft nicht anwendbar! Im vorliegenden Spezialfall funktioniert das mittels der oben berechneten Schubkraft F. Jedoch resultiert dieses F aus dem komplizierteren Gebilde D, was i.A. nicht auf einen Kraft-Vektor führt.
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