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MBastieK
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 MBastieK Verfasst am: 05. Feb 2024 12:02 Titel: Beziehung Kontraktion und Längen-Kontraktion |
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Hallo!
In dem Begriff Längen-Kontraktion steckt ja der Begriff Kontraktion, und der Begriff wird auch in der Tensorenrechnung genutzt. D.h. bei der Kontraktion (oder auch Verjüngung) wird ein kontravarianter Vektor mit einem kovarianten Vektor multipliziert.
Ich versuche schon seit gewisser Zeit Tensoren bzw. Kovarianz und Kontravarianz zu verstehen. Vielleicht kann man es anhand der Längen-Kontraktion erklären, wenn die Begriffe schon so nah beieinander stehen. (Eventuell sogar in Verbindung mit dem Begriff Koform.)
Noch konkreter oder wünschenswerter:
Vielleicht kann man die Längen-Kontraktion anhand der Kontraktion eines (Längen-)Vektors mit sich selbst erklären:
(Was anscheinend auch als Spurbildung bezeichnet oder dafür benutzt wird.)
Vielen Dank.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 05. Feb 2024 12:06 Titel: |
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Das hat einfach nix miteinander zu tun.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 05. Feb 2024 12:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das hat einfach nix miteinander zu tun. |
Ok. Danke. Dann ist das geklärt.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 05. Feb 2024 14:24 Titel: |
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Ich schätze mal, es gibt auch keinen Zusammenhang, weil die ko- und kontravarianten Vektoren immer Vierer-Vektoren sind und ein längen-kontrahierter Raum- oder Längen-Vektor maximal 3 Dimensionen hat?
Werden Tensoren oder ko- und kontravariante Vektoren schon in der speziellen Relativitäts-Theorie genutzt?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 05. Feb 2024 16:40 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ich schätze mal, es gibt auch keinen Zusammenhang … |
… weil das selbe Wort für zwei verschiedene Dinge verwendet wird; Längenkontraktion ist in gewisser Weise ein Scheineffekt. Indexkontraktion ist eine algebraische Umformung. Bei der Berechnung der Längenkontraktion könnte man sogar über Formeln stolpern, die die Indexkontraktion enthalten. Aber die enthaltenen auch +, -, * und /, und das erklärt auch nicht die Längenkontraktion.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | … weil die ko- und kontravarianten Vektoren immer Vierer-Vektoren sind und ein längen-kontrahierter Raum- oder Längen-Vektor maximal 3 Dimensionen hat? |
Man kann auch in drei Dimensionen Indexkontraktion durchführen.
Es gibt keinen längen-kontrahierten Raum- oder Längen-Vektor. Längenkontraktion ist eine Art Projektion; das Ergebnis ist eine Zahl.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Werden Tensoren oder ko- und kontravariante Vektoren schon in der speziellen Relativitäts-Theorie genutzt? |
Ja, weil sich dadurch vieles kompakter formulieren lässt.
Aber die Unterscheidung zwischen beiden lenkt vom wesentlichen ab: das eigentliche Objekt, der Vektor
ist invariant, und damit weder ko- noch kontravariant. "a oben" nummeriert Komponenten von v bzgl. einer Basis E; "a unten" nummeriert diese Basisvektoren.
Und sobald man sich merkt, dass das primäre Objekt der Vektor ist und nicht seine Komponenten, wird vieles einfacher. Beispiel: die Rotation des Vektors beim Umlauf um den Kegel sieht man dem Vektor = Pfeil an; Komponenten braucht man zum rechnen, aber nicht zum sehen, dass da etwas rotiert.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2024 08:46 Titel: |
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Bevor wir die Längenkontraktion besprechen, erstmal zur invarianten Länge eines Objektes. Diese kann gemessen werden durch ein Maßband, das – relativ zum Objekt in Ruhe – zwischen den beiden Enden gespannt wird. Aus Sicht einer mitbewegten Uhr wird allen Orten des Bandes die selbe Zeit zugeschrieben.
Damit ist die invariante Länge direkt messbar.
Mathematisch folgt sie aus dem invarianten infinitesimalen Abstand
Es wird eine zeitartige Richtung gewählt, damit folgt
Da wir oben Gleichzeitigkeit eingeführt haben, gilt dx° = dt = 0, und somit
Die invariante Länge L des Objektes ergibt sich nun durch in Integration entlang des Maßbandes M, d.h. über die räumlichen Koordinaten:
(M kann eine beliebige Kurve bezeichnen, d.h. wir können auch die invariante Länge von Kreisen usw. definieren …)
Das eigentlich interessante Integral zur Definition der invarianten Länge steht links, die rechte Seite repräsentiert lediglich die Tatsache, dass wir die Wahl haben, in welchen räumlichen Koordinaten wir die invariante Länge berechnen.
Zuletzt räumen wir noch mit dem Märchen auf, dass Längen immer beobachterabhängig wären. Das ist falsch! Die oben definierte invariante Länge erscheint allen Beobachtern identisch. Wenn auf dem Maßband am Anfang des Objektes 0 cm sowie am Ende des Objektes 10 cm steht, dann stimmen alle Beobachter – unabhängig von ihrem Bewegungszustand – darin überein, dass da 10 cm steht! Sie können das auch aus einem schnell vorbeifliegen Raumschiff exakt so ablesen; deswegen ist diese Länge invariant und nicht relativ. Was trivialerweise nicht invariant ist, ist der Wechsel der Messgröße: wenn ich eine andere Größe mit einer anderen Methode messe – zum Beispiel eine Länge mittels Laservermessung aus einem schnell vorbeifliegen Raumschiff – dann messe ich etwas anderes und erhalte einen anderen Wert.
In diesen Formen tritt nun – wie immer in der RT, wenn wir Koordinaten einführen – die Indexkontraktion auf; das gilt jedoch auch für beliebige andere Größen – Längen, Zeiten, Frequenzen, Energien …
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 12:15 Titel: |
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Danke für die Ausführungen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Aber die Unterscheidung zwischen beiden lenkt vom wesentlichen ab: das eigentliche Objekt, der Vektor
ist invariant, und damit weder ko- noch kontravariant. "a oben" nummeriert Komponenten von v bzgl. einer Basis E; "a unten" nummeriert diese Basisvektoren. |
Gibt es auch sowas?
Und was mich mit am meisten interessiert ist die Kontraktion mit sich selbst.
Ist dies, um Sachverhalte in die Tensorenrechnung mit inkludieren zu können? Oder hat das einen eigenständigen (aber abstrakten) Sinn (neben der Spurbildung)?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2024 15:01 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Danke für die Ausführungen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Aber die Unterscheidung zwischen beiden lenkt vom wesentlichen ab: das eigentliche Objekt, der Vektor
ist invariant, und damit weder ko- noch kontravariant. "a oben" nummeriert Komponenten von v bzgl. einer Basis E; "a unten" nummeriert diese Basisvektoren. |
Gibt es auch sowas?
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Klar. Siehe unten.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Und was mich mit am meisten interessiert ist die Kontraktion mit sich selbst.
Ist dies, um Sachverhalte in die Tensorenrechnung mit inkludieren zu können? Oder hat das einen eigenständigen Sinn? |
Beides.
In der Geometrie kennen wir die Norm bzw. Länge eines Vektors sowie den Winkel zwischen zwei Vektoren. Außerdem kann man ein Skalarprodukt • definieren, für das gilt
)
In der linearen Algebra führt man mittels einer Orthonormalbasis
d.h. kurz
die Darstellung eines Vektors mittels Komponenten bzgl. dieser Basis ein:
Die letzte Gleichung gilt wegen
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
)
wird damit zu einer Summe über die Produkte der Komponenten.
 \cdot \left( \sum_k s^k e_k \right) = \sum_{ik} r^i s^k e_i \cdot e_k = \sum_i r^i s^i)
Die eindeutigen geometrischen Objekte sind die Vektoren. Die Komponenten nur eine (von unendlich vielen möglichen) Darstellungen bzgl. einer (von unendlich vielen möglichen) Basen.
Das ist essentiell. Wenn man den Unterschied zwischen Vektoren und ihren Komponenten nicht versteht, kommt man nicht weiter.
Auf dem Weg zur Unterscheidung zwischen ko- und kontravarianten Komponenten kann man sich bereits im flachen Raum folgendes überlegen: es ist ein Unterschied, ob man den Vektor r rotiert – er zeigt danach wo anders hin – oder ob man nur die Basis transponiert.
Rotation eines Vektors in einen anderen Vektor
Die Basis wird rotiert, die Komponenten werden nicht angetastet.
Transformation der Basis, keine Rotation des Vektors
Selber Vektor, neue Basis und daher auch neue Komponenten. Wir wir Basisvektoren rotieren wissen wir schon, also können wir dies auch für die Komponenten herausfinden:
 e_k)
Daraus folgt aber
Die letzte Gleichung schreiben wir noch um zu
_{ki} \bar{r}^i )
Die transponierte Matrix ist aber im Falle von Rotationsmatrizen gleich der inversen. Damit sehen wir, dass wir die Komponenten genau so transformieren, dass wir die Transformation der Basis kompensieren, so dass zuletzt wieder der selbe Vektor herauskommt.
Eine Basistransformation überführt den Vektor in sich selbst, indem Basis und Komponenten gemeinsam geeignet transformiert (rotiert) werden, so dass das Ergebnis unverändert bleibt.
Da wir außerdem wissen, dass man aus der Rotation der Basis auf die der Komponenten schließen kann, sehen wir auch, dass wir bei der Rotation des Vektors in einen neuen Vektor die Rotation der Basis bei identischen Komponenten stattdessen als Rotation der Komponenten bei identischer Basis auffassen können; statt "die Basis wird rotiert, die Komponenten werden nicht angetastet" alternativ "die Basis wird nicht angetastet, die Komponenten geeignet rotiert."
Für die RT heißt das, dass die ganze Zauberei mit Lorentz-Transformation nix weiter ist, als die selbe Größe anders darzustellen. Die Metrik ist ausschließlich dazu da, die Formel
 = \sum_{ik} r^i s^i)
zu verallgemeinern:
 = \sum_{\mu\nu} g_{\mu\nu} \, r^\mu \, s^\nu)
g ist die allgemeine Vorschrift, die Komponenten wieder basis- bzw. koordinatensystem-abhängig.
Und ko- und kontravariante Größen resultieren daraus, dass man eine gewisse Freiheit hat, wie man technisch die Basis definiert. Wie in der obigen Notation angedeutet, gehören aber immer Komponenten mit Index oben zu Basisvektoren mit Index unten.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 12. Feb 2024 22:19, insgesamt 23-mal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 15:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Gibt es auch sowas?
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Klar. Siehe unten. |
Ich meinte: Gibt es einen kontravarianten Einheits-Vektor?
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 12. Feb 2024 13:02, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2024 16:25 Titel: |
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Schau mal oben. Wenn die Algebra verdaut ist,
können wir weitermachen.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 16:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Schau mal oben. Wenn die Algebra verdaut ist,
können wir weitermachen. |
Diese Art der Belehrung mag ich nicht.
Wenn Sie das beantworten mit ja oder nein, kann ich doch besser rückschliessen auf das, was Sie mir da sonst noch beibringen wollen. D.h. so eine simple Ja-Oder-Nein-Frage ist doch Goldwert für späteres Rückschliesen oder eher Schlussfolgern von Wissen; bzw. wird aus Rückschliessen oder Vermuten Schlussfolgern oder Wissen.
Das ist doch didaktisch viel klüger.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2024 16:58 Titel: |
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Es war nicht als Belehrung gemeint.
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1) der Beitrag ist klar; dann reicht ein "ist klar, danke".
2) der Beitrag ist nicht klar, dann gerne fragen.
Falls (1), haben wir einen Ausgangspunkt für ko- und kontravariante Vektoren. Dann können wir weitermachen.
Falls (2), ist weitermachen sinnlos.
Deswegen einfach die Frage, ob der Beitrag klar ist.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 17:00 Titel: |
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Ich werde das Ganze jetzt sicherlich nicht verdauen.
Ich will jetzt nur wissen, ob es kontravariante Einheits-Vektoren gibt.
Von so einem beantworteten Ausgangs-Punkt kann ich doch viel klarer schlussfolgern auf das, was Sie mir da sonstnoch beibringen wollen. Es ist doch didaktisch viel klüger schon ein paar feste Punkte für den Schüler zu schaffen, anhand der konkreten ja-nein Fragen des Schülers.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 17:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Gerne.
Ja, es gibt sowohl ko- als auch kontravariante Basen. |
Vielen Dank. Da lohnt es sich mal ehrlich Danke zu sagen.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2024 18:11 Titel: |
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Danke 
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 21:45 Titel: |
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So langsam könnte man fragen, was es bei Tensoren oder ko(ntra)varianten Vektoren eigentlich nicht gibt? Sind alle Indize-Positionen-Kombinationen erlaubt?
Und wenn bestimmte nicht, welche wären das (und warum)?
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2024 22:29 Titel: |
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Es ist alles erlaubt.
Ein Tensor T kann wie bei der Metrik
 = g_{ab} \, x^a \, y^b)
als Vorschrift für eine lineare Abbildung aufgefasst werden.
}, x_{(2)} \ldots x_{(n)}) = T_{a_1, a_2 \ldots a_n} x_{(1)}^{a_1} \, x_{(2)}^{a_2} \ldots x_{(n)}^{a_n})
Außerdem kann man jeden beliebigen Index mit der Metrik hoch- oder runterziehen:
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 06. Feb 2024 22:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | So langsam könnte man fragen, was es bei Tensoren oder ko(ntra)varianten Vektoren eigentlich nicht gibt? Sind alle Indize-Positionen-Kombinationen erlaubt? |
Es ist alles erlaubt. |
Ok, danke.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 09. Feb 2024 17:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | die Darstellung eines Vektors mittels Komponenten bzgl. dieser Basis ein:
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Warum ist dies nicht so? Bzw. könnte dies auch so sein?
Und gilt Ihre Darstellung auch außerhalb oder unabhängig der Relativitäts-Theorie? (D.h. ist der Vektor r ein ganz normaler (relativitäts-theorie-unabhängiger) Vektor?)
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 09. Feb 2024 17:37 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | die Darstellung eines Vektors mittels Komponenten bzgl. dieser Basis ein:
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Warum ist dies nicht so? Bzw. könnte dies auch so sein?
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1. Ich habe oben hergeleitet, dass sich die Basisvektoren und die Komponenten-Vektoren unterschiedlich transformieren. Diese beiden Transformationseigenschaften sind gerade die, die zur Namensgebung von ko- bzw. kontravariant führen: kovariant = transformiert wie die Basis, kontravariant = transformiert entgegengesetzt bzw. invers zur Basis. Da es letztlich um diese Fragestellung ging, hielt ich es für sinnvoll, gleich die entsprechenden Index Konventionen einzuführen.
2. Dann hatte ich oben einen Artikel aus der Wikipedia verlinkt, in dem dargestellt wird, dass in gekrümmten Räumen sogar zwischen einer ko- und einer kontravarianten Basis unterschieden werden muss! Der geometrische Grund wird im Bild einigermaßen klar.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Und gilt Ihre Darstellung auch außerhalb oder unabhängig der Relativitäts-Theorie? |
Ja. Das ist einfach Tensoralgebra in der Riemannschen Geometrie.
Es wird aber irrelevant, wenn man sich auf euklidische Räume beschränkt. Dann fallen nämlich zwei Unterscheidungen weg, bzw. man kann die jeweiligen Objekte identifizieren: ko- und kontravariante Basis sind identisch, ko- und kontravariante Komponentenvektoren haben die selben Werte. In der linearen Algebra identifiziert man Raum und Dual-Raum, die Unterscheidung zwischen Spalten- und Zeilenvektor ist letztlich irrelevant.
In der ART und bereits SRT sind aber die ko- und die kontravarianten Komponenten verschieden!
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Feb 2024 17:59, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 09. Feb 2024 17:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | 1. Ich habe oben hergeleitet, dass sich die Basisvektoren und die Komponenten-Vektoren unterschiedlich transformieren. Diese beiden Transformationseigenschaften sind gerade die, die zur Namensgebung von ko- bzw. kontravariant führen: kovariant = transformiert wie die Basis, kontravariant = transformiert entgegengesetzt bzw. invers zur Basis. Da es letztlich um diese Fragestellung ging, hielt ich es für sinnvoll, gleich die entsprechenden Index Konventionen einzuführen. |
Aber Ihre Äusserung versteht doch nur jemand, der das schon verstanden hat.
Deswegen nochmal meine binäre Frage:
Könnte dies auch so sein? Kann es einen Kontext geben, in dem das gilt?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 09. Feb 2024 18:01 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | 1. Ich habe oben hergeleitet, dass sich die Basisvektoren und die Komponenten-Vektoren unterschiedlich transformieren. Diese beiden Transformationseigenschaften sind gerade die, die zur Namensgebung von ko- bzw. kontravariant führen: kovariant = transformiert wie die Basis, kontravariant = transformiert entgegengesetzt bzw. invers zur Basis. Da es letztlich um diese Fragestellung ging, hielt ich es für sinnvoll, gleich die entsprechenden Index Konventionen einzuführen. |
Aber Ihre Äusserung versteht doch nur jemand, der das schon verstanden hat. |
Deswegen hatte ich es vor gerechnet.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Könnte dies auch so sein? Kann es einen Kontext geben, in dem das gilt?
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Nein.
Wenn man hoch- und tiefgestellte Indizes einführt, dann hat das eine Bedeutung – kontra- und kovariante Komponenten. Und dann ist die rechte Summe sinnlos.
Möchte man dagegen nie über diese Unterscheidung reden, dann führt besser nicht hoch- und tiefgestellte Indizes ein.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Feb 2024 18:11, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 09. Feb 2024 18:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nein. Wenn man zwischen wenn man hoch- und tiefgestellte Indizes einführt, dann hat das eine Bedeutung – kontra- und kovariante Komponenten. Und dann ist die rechte Summe schlicht sinnlos. |
Ok. Danke.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 09. Feb 2024 19:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Und gilt Ihre Darstellung auch außerhalb oder unabhängig der Relativitäts-Theorie? |
Ja. Das ist einfach Tensoralgebra in der Riemannschen Geometrie.
Es wird aber irrelevant, wenn man sich auf euklidische Räume beschränkt. |
Ok, danke. Das ist eine gute Information.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
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| MBastieK Verfasst am: 12. Feb 2024 13:19 Titel: |
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Hallo!
Müsste das
| TomS hat Folgendes geschrieben: | wird damit zu einer Summe über die Produkte der Komponenten.
 \cdot \left( \sum_k s^k e_k \right) = \sum_{ik} r^i r^k e_i \cdot e_k = \sum_i r^i r^i) |
nicht das heißen?
Bei Ihnen wird aus dem s auf einmal ein r und so entsteht ein Skalarprodukt mit sich selbst, obwohl anfänglich zwei verschiedene Vektoren gemeint waren!?!
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 12. Feb 2024 13:41 Titel: |
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Stimmt. Gut aufgepasst.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 12. Feb 2024 14:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die eindeutigen geometrischen Objekte sind die Vektoren. Die Komponenten nur eine (von unendlich vielen möglichen) Darstellungen bzgl. einer (von unendlich vielen möglichen) Basen. |
Kann ich anhand des Index-Buchstaben eindeutig erkennen oder zuordnen, welche Basis dazu genutzt wird?
D.h. wenn ich eine andere Basis einführe, muss ich einen anderen Index-Buchstaben wählen?
Oder anders: Ist ein Index-Buchstabe eindeutig verknüpft mit einer Basis?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 12. Feb 2024 22:21 Titel: |
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Nein. Der Buchstabe ist dahezu beliebig.
Häufig verwendet man in der ART griechische Kleinbuchstaben. Man findet sehr oft
Auch
wäre möglich und würde nichts anderes bedeuten.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
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| MBastieK Verfasst am: 13. Feb 2024 13:31 Titel: |
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Nein. Ich meinte innerhalb eines festen Kontextes bzw. einer konkreten Aufgabe.
Aber egal. So langsam habe ich genug Informationen, die mittlerweile ausreichen müssten, um das zu verstehen. So langsam müsste es eigentlich klick machen. Danke soweit.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 13. Feb 2024 14:57 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Nein. Ich meinte innerhalb eines festen Kontextes bzw. einer konkreten Aufgabe. |
Auch da muss das nicht tun, es ist aber übersichtlicher.
Unterschiedliche Basen werden durch x, x' … oder x, y … angedeutet, nicht durch unterschiedliche Indizes. Das wäre einfach unpraktisch.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 13. Feb 2024 20:29 Titel: |
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Wird als Vektorbasis nicht oft, vom Nullvektor ausgehend, der Einheitsvektor mit den Koordinaten multipliziert? Wenn eine andere Basis als der Einheitsvektor gewählt wird, muss mittels Koordinatentransformation mit anderen Vektorkoordinaten mit der neuen Basis multipliziert werden, damit der Vektor in beiden Basen gleich (koordinatenunabhängig) bleibt?
Der Einheitsvektor hat als Basisvektoren immer 1?
Die hoch- bzw. tiefgestellten Indizes beziehen sich darauf, wie sich die Koordinaten im Bezug zur Basis bei einer Koordinatentransformation transformieren (Ko- bzw. Kontravariant)?
Die Art wie Vektoren zur Basis transformieren, hängt vom gewählten Koordinatensystem ab?
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 13. Feb 2024 20:47 Titel: |
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Ich konnte Ihr Latex nicht lesen, also hab ich es hier nochmal geschrieben. Latex ist empfindlich mit Umbrüchen.
Beispiel \:Koordinaten \:x=5, \:y=7, \:z=3
Was soll denn \: im Latex-Code sein?
Nette Grüsse
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Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 13. Feb 2024 21:32 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Zuletzt räumen wir noch mit dem Märchen auf, dass Längen immer beobachterabhängig wären. Das ist falsch! Die oben definierte invariante Länge erscheint allen Beobachtern identisch. Wenn auf dem Maßband am Anfang des Objektes 0 cm sowie am Ende des Objektes 10 cm steht, dann stimmen alle Beobachter – unabhängig von ihrem Bewegungszustand – darin überein, dass da 10 cm steht! Sie können das auch aus einem schnell vorbeifliegen Raumschiff exakt so ablesen; deswegen ist diese Länge invariant und nicht relativ. Was trivialerweise nicht invariant ist, ist der Wechsel der Messgröße: wenn ich eine andere Größe mit einer anderen Methode messe – zum Beispiel eine Länge mittels Laservermessung aus einem schnell vorbeifliegen Raumschiff – dann messe ich etwas anderes und erhalte einen anderen Wert. |
Wenn ein Bebachter mit 0,5c am Maßband vorbeifliegt, wie liest er das mit seinen Augen ab, wenn nicht mit reflektierten Photonen? Warum sollte dem bewegten Beobachter das Maßband dann nicht verkürzt erscheinen? Wo ist der Unterschied zur Laservermessung, wo der Laserstrahl vom Maßband reflektiert wird?
Wenn dem so ist, dann habe ich das mit der invarianten Länge vollkommen falsch verstanden.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 14. Feb 2024 07:01 Titel: |
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Das Maßband erscheint nicht verkürzt, eher etwas verzerrt und rotiert; das kann man u.a. mittels relativistischem Raytracing darstellen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Length_contraction#Visual_effects
Aber das ist nicht der Pinkt.
Aus Sicht des ruhenden Beobachters zeigt das Maßband am Anfang bzw. Ende des Objektes 0 cm bzw. 10 cm. Und aus Sicht beliebig bewegter Beobachter zeigt das (aus ihrer Sicht verzerrte und rotierte) Maßband am Anfang bzw. Ende des (verzerrten und rotierten) Objektes 0 cm bzw. 10 cm. Wäre dies nicht der Fall, müssten sich ja Maßband und Objekt unterschiedlich verhalten, was offensichtlich unsinnig wäre.
Also stimmen alle Beobachter – unabhängig von ihrem Bewegungszustand – darin überein, dass da 10 cm steht, und deswegen ist diese Länge invariant und nicht relativ.
Wenn man eine nicht-invariante Länge messen möchte, dann muss man eine andere Observable verwenden, und das ist oft eine abgeleitete, nicht direkt messbare Größe, z.B. im Kontext der Messung der Lebensdauer von Myonen, oder dem Michelson-Morley-Experiment.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 14. Feb 2024 12:00 Titel: |
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Das auf dem Maßand dann nicht 1 bis 9 cm oder so steht und das alle Beobachter, welche die Maßeinheit cm verwenden, zur gleichen Sicht kommen, sollte klar sein.
Die Verformung des Maßbands ist dann aber trotzdem beobachterabhängig?
Nur ein nicht-mitbewegter Beobachter sieht gar keine Verformung?
Bei der Zerfallszeit der Myonen dilatiert die Zeit doch auch. Nur darum können wir sie doch überhaupt auf der Erdoberfläche messen. Bei nicht relativistischer Bewegung würden sie schneller zerfallen und die Erdoberfläche nicht erreichen, bevor sie zerfallen.
Beim MichelsonMorley Experiment ist die Messgröße die Geschwindigkeit der Eigendrehung und der Drehung der Erde um die Sonne?
Ich verstehe gerade gar nicht mehr, wo der Unterschied zwischen invarianter und nicht invarianter Messgröße ist.
Zuletzt bearbeitet von antaris am 14. Feb 2024 12:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 678
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| Sonnenwind Verfasst am: 14. Feb 2024 12:32 Titel: |
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Da frage ich mich aber schon, ob auf der rotierenden Scheibe am Umfang mehr Maßstäbe hineinpassen als pi mal dem Durchmesser entspricht. Dann wäre die Lorentzkontraktion real.
Zugegeben, ein solches Experiment lässt sich niemals ausführen, da die Fliehkraft jede Scheibe weit vorher zerreißt.
Was sagt aber die Theorie?
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
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| antaris Verfasst am: 14. Feb 2024 12:37 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Da frage ich mich aber schon, ob auf der rotierenden Scheibe am Umfang mehr Maßstäbe hineinpassen als pi mal dem Durchmesser entspricht. Dann wäre die Lorentzkontraktion real. |
Ich denke nicht das die Transformation insofern real ist, dass sich die Scheibe tatsächlich verformt. Ein mitrotierender Beobachter am Umfang der Scheibe würde ja gerade keine Verformung der Scheibe, sonder eine Verformung der aus seiner Sicht rotierenden Umgebung beobachten.
Eigentlich war das bisher auch mein Verständnis für invarianz, dass die Verformung gerade nicht real ist aber bei nicht-invarianten Größen die Verformung real ist. Ich bin da aber gerade verwirrt...
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
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| MBastieK Verfasst am: 14. Feb 2024 13:52 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das auf dem Maßand dann nicht 1 bis 9 cm oder so steht und das alle Beobachter, welche die Maßeinheit cm verwenden, zur gleichen Sicht kommen, sollte klar sein. |
Ich habe da ein Denk-Prinzip, das nenne ich 'forcierter Sinn'. Das hat als ein Grundprinzip, dass ich mein Gegenüber nicht als mangel-intelligent oder ähnliches ansehen darf oder soll.
Im Rahmen dieser Denkweise, kann ich es mir schwer vorstellen, dass TomS es für nötig hält so etwas triviales (oder nicht-hoch-sinniges) jemanden erklären zu müssen, sodass ich mir denken muss, dass er damit etwas anderes meint.
Nette Grüsse
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