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TomS
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 TomS Verfasst am: 18. Feb 2024 15:54 Titel: |
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Vielleicht ist es deswegen so schwer, weil es in vielen Fällen trivial ist?
Betrachte den 3-dim. euklidischen Raum mit den Vektoren
Dieser Raum hat eine Basis
d.h. alle Vektoren in diesem Raum lassen sich als reelle Linearkombination der Basisvektoren darstellen:
 \in \mathbb{R}^3: x = \sum_n x^n \, e_n )
Dann betrachten wir den Dualraum, d.h. alle linearen Abbildungen bzw. Funktionale f des ursprünglichen Raumes auf R:
Es gilt:
d.h. alle Vektoren des Dualraumes = alle linearen Abbildungen auf dem ursprünglichen Raum lassen sich als reelle Linearkombination der dualen Basisvektoren darstellen:
 \in \mathbb{R}^3: f = \sum_n f_n \, e^n )
Diese linearen Abbildungen sind natürlich gerade durch das Skalarprodukt • definiert, d.h. jedes in x lineare f(x) ist gerade definiert durch einen geeigneten Vektor sowie dessen Skalarprodukt mit x, also
 = f \cdot x = \left( \sum_m f_m \, e^m \right) \cdot \left( \sum_n x^n \, e_n \right))
Aufgrund der Orthogonalität der Basisvektoren
folgt
Außerdem gilt natürlich, dass man die Komponenten mittels Projektion auf die Basis erhält:
Letztlich ist das nur eine ziemlich komplizierte Art und Weise, über das Skalarprodukt zu reden.
Da man außerdem zeigen kann, dass hier so ziemlich alles bijektiv und isomorph ist, und da man keine Rocket Science daraus machen will, lernt niemand, dass das zwei unterschiedliche Räume sind, und dass man Indizes hoch und tiefstellen soll. Man bekommt beigebracht, dass es Zeilen- und Spaltenvektoren gibt, aber aufgrund der Kommutativität versteht niemand, warum das wichtig sein soll.
Aber man kann das ja mal sauber hinschreiben.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 18. Feb 2024 17:13 Titel: |
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Ich verstehe das alles und gleichzeitig auch nicht. Ich verstehe das in seiner Einzelheit*, aber nicht in seiner Gesamtheit als höheren Sinn.
*ausser vielleicht:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Betrachte den 3-dim. euklidischen Raum mit den Vektoren... |
Sie haben ja gesagt, dass die Tensor- bzw. Indize-Betrachtung irrelevant wird im euklidischen Raum.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Diese linearen Abbildungen sind natürlich gerade durch das Skalarprodukt • definiert |
Die Divergenz ist auch ein Element des Dualraumes. Wie sieht denn eine konkrete Basis des Dualraums aus, die die Elemente Skalarprodukt und Divergenz besitzen?
Und diese beiden Elemente müssen ja kovariant zu dieser Basis sein, d.h. z.B. eine nicht-reziproke Skalierung oder Verhältnis zu dieser Basis haben. Wie soll man sich so ein kovariantes Verhältnis von z.B. Divergenz zu seiner konkrekten Basis vorstellen? Überhaupt; dass Divergenz eine Basis haben kann ist mir auch neu.
Nette Grüsse
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2024 17:31 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Betrachte den 3-dim. euklidischen Raum mit den Vektoren... |
Sie haben ja gesagt, dass die Tensor- bzw. Indize-Betrachtung irrelevant wird im euklidischen Raum. |
Ich habe geschrieben, dass gewisse Unterscheidungen irrelevant werden, da man gewisse Objekte identifizieren kann. Dass Tensoren irrelevant werden, habe ich nicht geschrieben. Dann habe ich das auf euklidische Räume beschränkt; bereits in der SRT haben wir eine Minkowski-Geometrie, die zwar flach jedoch nicht-euklidisch ist; wir müssen also ko- und kontravariant unterscheiden, allerdings ist lediglich etwas Rechentechnik und die Berücksichtigung eines Vorzeichens.
Sie haben gesagt, dass sie Probleme haben, sich die Basis des Dualraumes vorzustellen.
Deswegen zeige ich explizit, wie diese entsteht, nämlich exakt analog zu der des Raumes. Außerdem sind Raum und Dualraum isomorph. Also kann man sich alles identisch vorstellen wie im Raum selbst.
Was man dann aber nicht sofort machen sollte, ist Raum und Dualraum zu identifizieren. Sie gleichen sich sozusagen wie eineiige Zwillinge, aber genau wie bei diesen gibt es eben zwei davon. Man muss zumindest das verstehen.
Ich habe im letzten Beitrag von euklidischen Vektorräumen gesprochen. Tensoralgebra habe noch nicht diskutiert, außer dass ich zwei Basen und diesbzgl. Komponenten der Vektoren eingeführt habe. Den Minkowski-Raum habe ich in diesem Beitrag ebenfalls nicht diskutiert. Divergenz etc. kommt erst viel später mit der Tensoranalysis.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 18. Feb 2024 18:12 Titel: |
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Ich lese mir Ihren letzten Beitrag noch in Ruhe durch.
Aber:
Kann eine Basis eigentlich selbst Variablen oder Veränderliche in sich haben? Müsste doch, oder? Darum gehts doch bei den nicht-euklidischen Räumen!?!
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2024 19:43 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Kann eine Basis eigentlich selbst Variablen oder Veränderliche in sich haben? Müsste doch, oder? Darum gehts doch bei den nicht-euklidischen Räumen!?! |
Eine Basis ist eine Basis.
Die Abhängigkeit einer Basis von Parametern beschreibt letztlich eine Schar von Basen, z.B. i) mehrere gegeneinander rotierte Basen, oder ii) Basen in Tangentialräumen zu verschiedenen Punkte.
Beispiel zu ii) sind die Basen in der euklidischen Ebene in Polarkoordinaten mit der Koordinatendarstellung
 = (\cos\phi, \sin\phi) )
 = (-\sin\phi, \cos\phi) )
Oft bezeichnet man das als "die" Basis in Polarkoordinaten, aber eigentlich ist es eine Schar von Basen, eine je Punkt in der Ebene.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 18. Feb 2024 19:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Basis ist eine Basis. |
Und eine Tautologie ist eine Tautologie.
Sind die oder manche Basen in der ART parameter-abhängig?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2024 19:50 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Basis ist eine Basis. |
Sind die oder manche Basen in der ART parameter-abhängig? |
Ja.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 18. Feb 2024 19:52 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Basis ist eine Basis. |
Sind die oder manche Basen in der ART parameter-abhängig? |
Ja. |
Ok. Vielen Dank.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 12:31 Titel: |
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Hallo!
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die Abhängigkeit einer Basis von Parametern beschreibt letztlich eine Schar von Basen, z.B. i) mehrere gegeneinander rotierte Basen, oder ii) Basen in Tangentialräumen zu verschiedenen Punkte.
Beispiel zu ii) sind die Basen in der euklidischen Ebene in Polarkoordinaten mit der Koordinatendarstellung |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Sind die oder manche Basen in der ART parameter-abhängig? |
Ja. |
Gibt es in der ART Basen, die in kartesischen Koordinaten (d.h. nicht in Polarkoordinaten) dargestellt sind und parameter-abhängig sind?
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2024 18:01 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es in der ART Basen, die in kartesischen Koordinaten dargestellt sind und parameter-abhängig sind? |
Vorab:
Global kartesische Koordinaten, so wie du das üblicherweise kennst, gibt es nur in einer flachen Raumzeit, nicht auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit M.
Wenn du lokal je P den TM(P) anschaust, dann spricht nichts gegen ein kartesische Koordinatensystem, aber das ist kein Koordinatensystem auf M sondern im TM(P). Dieser sieht je P immer aus wie der flache Minkowski-Raum.
Ist dir der Unterschied klar?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 18:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Global kartesische Koordinaten, so wie du das üblicherweise kennst, gibt es nur in einer flachen Raumzeit, nicht auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit M.
Wenn du lokal je P den TM(P) anschaust, dann spricht nichts gegen ein kartesische Koordinatensystem, aber das ist kein Koordinatensystem auf M sondern im TM(P). Dieser sieht je P immer aus wie der flache Minkowski-Raum.
Ist dir der Unterschied klar? |
Ja, ausreichend klar*.
Darf ich nun die Antwort bekommen?
*Und selbst wenn es nicht klar wäre, könnte mein individueller Erkenntnis-Weg auch erst durch die Beantwortung meiner Frage mit anschließender eigener Implizierung hin zu dem, was in Ihrem individuellen Erkenntnis-Weg anscheinend als notwendige Voraussetzung gedient hat.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2024 18:28 Titel: |
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Wie oben gesagt:
Je TM(P) liegt ein Minkowski-Koordinatensystem vor.
Man kann je TM(P) Basen beliebigen rotieren. Man kann zwischen benachbarten TM(P) und TM(P') Basen gegeneinander rotieren.
All dies führt zu parameterabhängigen Minkowski-Koordinatensystemen.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 18:31 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | All dies führt zu parameterabhängigen Minkowski-Koordinatensystemen. |
Und die sind auch oder vorrangig kartesisch?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2024 22:44 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Und die sind auch oder vorrangig kartesisch? |
Nein.
Ich habe schon mal gefragt, ob dir das klar ist. Ist es offenbar nicht.
TM(P) und Koordinatensysteme darauf sind lokal Minkowski, d.h. für die Basen (Tetraden, Vierbeine) gilt
)
Sie sind in bzgl. der Raumzeit-Metrik g orthonormal, siehe erste Gleichung, jedoch wie in der SRT mit wechselnden Vorzeichen zwischen Raum und Zeit, daher ist jeder TM(P) ein 4-dim. Minkowski-Raum mit 3-dim. euklidischem Unterraum.
Wie du siehst ist das Skalarprodukt in einem TM(P) mittels der Minkowski-Metrik eta i.A. nicht orthonormal, sondern liefert die Raumzeit-Metrik g; siehe zweite Gleichung. Orthonormalität läge vor, wenn
Das kann man lokal immer erreichen (Äquivalenzprinzip), ist jedoch nur in Spezialfällen sinnvoll.
Anmerkung: m.W.n. ist der Begriff "kartesisches Koordinatensystem" für euklidische Räume reserviert; im Kontext der RT kenne ich das nicht.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Feb 2024 23:04, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 23:04 Titel: |
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Naja, mir ging es letztendlich darum, dass Ihre Bejahung der Parameter-Abhängigkeit nicht nur auf die Polarkoordinaten (mit den Beispielen [oder Zylinder-Koordinaten]) bezogen war.
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 19. Feb 2024 23:06, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2024 23:05 Titel: |
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Ok.
Aber um welche Parameter-Abhängigkeit soll es denn gehen?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 23:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber um welche Parameter-Abhängigkeit soll es denn gehen? |
Die, die z.B. diese Bedingung bedienen,
d.h. die Bedingung oder Anwendung der dualen Basis, die jeweils in ihren Formen kartesisch-artig wirken.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2024 23:31 Titel: |
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Dann verstehe gar nichts mehr. Was hat das jetzt mit Parametern zu tun?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 23:34 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Dann verstehe gar nichts mehr. Was hat das jetzt mit Parametern zu tun? |
Können (oder müssen)  oder  Parameter oder Variablen in sich haben in der ART?
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2024 23:40 Titel: |
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Gegenfrage: Was meinst du mit Parametern. Für was sollen die stehen?
Irgendwelche Parameter können sie sicher enthalten, das sollte nach den obigen Gleichungen trivialerweise klar sein.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 19. Feb 2024 23:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst du mit Parametern. Für was sollen die stehen? |
Um die Raumzeit-Krümmung* zu realisieren.
D.h. in meiner zurzeitigen Vorstellung braucht man dort Parameter, um den gekrümmten Raum zu realisieren, während im euklidischen Raum die Basen keine Parameter in sich haben (müssen).
* oder riemannsche Geometrie oder etwas nicht-euklidisches
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 06:26 Titel: |
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Ich weiß nicht, ob ich das Parameter nennen würde.
Betrachten wir nochmals die Gleichungen
und schließen wir aus, dass g nur aufgrund nicht-trivialer Koordinaten ungleich der Minkowski-Metrik ist (z.B. suggerieren sphärische Koordinaten im 3-dim. euklidischen Raum eine nicht-triviale Geometrie).
Betrachten wir stattdessen den Riemannschen Krümmungstensor, nun im Tetraden-Formalismus
e_{b}\right))
Dieser muss ungleich Null sein, damit eine Krümmung vorliegt.
Die kovariante Ableitung beinhaltet dabei die Regel, wie Objekte in infinitesimal benachbarten Tangentialräumen TM(P) und TM(P') unter Berücksichtigung der Krümmung zu transportieren und zu vergleichen sind *)
Geht man von TM(P) zum benachbarten TM(P'), so ändern sich i.A. die Basen. Nun wird klar, was eine nicht-verschwindende Krümmung bedeutet: der kovariante Transport einer Basis zwischen infinitesimal benachbarten Tangentiaräumen induziert eine nicht-triviale **) Rotation der Basis (wir hatten ja vor längerer Zeit den Paralleltransport diskutiert; stell dir vor, du transportierst deine Basis entlang einer Kurve). Krümmung bedeutet also, dass eine nicht triviale Transportvorschrift vorliegt. Tatsächlich ist die Transportvorschrift fundamental, die Krümmung nur eine abgeleitete Größe.
Ich würde das nicht Parameter-Abhängigkeit nennen; die Basen sind abhängig vom Raumzeitpunkt P.
*) Das ganze wird etwas verkompliziert, da im Tetradenformalismus eine zusätzliche lokale Symmetrie vorliegt, die im gewöhnlichen Formalismus nicht existiert, nämliche eine Invarianz unter lokalen Lorentz-Transformationen, d.h. je Tangentialraum
Bitte beachten: das ist eine rein mathematische Symmetrie, sie hat keine physikalische Interpretation, außer dass man Basen je TM(P) unterschiedlich wählen kann.
**) Nun liegt jedoch diese neue Eichsymmetrie unter lokalen Lorentz-Transformationen vor, die es ermöglicht, die Basensysteme je Tangentialraum zu rotieren. "Nicht-trivial" bedeutet, dass es unmöglich ist, die Basen in einem kleinen Bereich der Mannigfaltigkeitkeit M in allen Punkten P des Bereiches und damit in allen TM(P) vollständig in die triviale Basis des Minkowski-Raumes zu rotieren (ein Basissystem auf der Kugel ist nicht identisch mit dem Basissystem der 2-dim. euklidischen Fläche).
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 12:51 Titel: |
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Hallo!
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß nicht, ob ich das Parameter nennen würde. |
Wow, die Antwort habe ich vorhergesehen. No offense.
Also ich habe hier ja mit den Begriffen 'Variable' oder 'Veränderliche' angefangen. Und Sie sind dann direkt im darauffolgenden Beitrag zu dem Begriff 'Parameter' umgeschwungen, den ich dann übernommen habe, da ich dachte, dass Sie die Begriffe passender und kontext-bezogener anwenden.
P.S.
Sie haben angefangen die Text-Größe teilweise stark zu verkleinern. Das ist irgendwie sehr unangenehm.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 13:05 Titel: |
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Ich würde es weder als Parameter noch als Variablen bezeichnen.
Ist die jetzige Außentemperatur Variablen- oder parameter-abhängig? Nein, sie ist ortsabhängig.
Genauso ist es bei den Tetraden auch, allerdings ist mir dies erst nach
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Um die Raumzeit-Krümmung* zu realisieren |
klargeworden.
Können wir es bitte zukünftig so halten, dass die Idee oder der Kontext einer Frage zu Beginn klar formuliert ist? So haben wir über zig Beiträge aneinander vorbeigeredet.
Hilft meine obige Antwort?
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 13:14 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nein, sie ist ortsabhängig. |
Ah, ok. Danke.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 13:38 Titel: |
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Ich denke, ich habe den Begriff Kovarianz jetzt verstanden.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Die Divergenz ist auch ein Element des Dualraumes. Wie sieht denn eine konkrete Basis des Dualraums aus, die die Elemente Skalarprodukt und Divergenz besitzen?
Und diese beiden Elemente müssen ja kovariant zu dieser Basis sein, d.h. z.B. eine nicht-reziproke Skalierung oder Verhältnis zu dieser Basis haben. Wie soll man sich so ein kovariantes Verhältnis von z.B. Divergenz zu seiner konkrekten Basis vorstellen? |
Ich glaube hier war mein Denkfehler gewesen.
Richtig wäre nach meinem jetzigen Stand:
Ein kovarianter Tensor d.h. ein Element von V* ist nicht kovariant zu seiner eigenen Basis, sondern kovariant zur Basis von V.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 14:23 Titel: |
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Ich bin mir nicht sicher, ob das mit den Vektorräumen klar ist.
Betrachten wir
 = g_{\mu\nu} \, x^\mu \, y^\nu)
Der Tensor g ist nicht Element des Vektorraumes V, auf dem er operiert; auch nicht Element des Dualraumes.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 14:25 Titel: |
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Das ist ne Bilinearform, oder?
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 14:44 Titel: |
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Ja.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 14:54 Titel: |
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Gilt eigentlich?
 y^\nu = )
 = )
 g_{\mu\nu})
Nette Grüsse
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 15:00 Titel: |
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Ja.
Sobald du Indizes hinschreibst, sind das nur Zahlen.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 15:11 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sobald du Indizes hinschreibst, sind das nur Zahlen. |
Skalare oder Komponenten.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja. |
 g_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} \, x^\mu \, y^\nu)
Am meisten Probleme habe ich damit, da ich  auch als n x n Matrix (matrix-artig) interpretiere und multipliziert mit einem Skalar aufeinmal ein Skalar ergibt.
Nette Grüsse
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 15:43 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sobald du Indizes hinschreibst, sind das nur Zahlen. |
Skalare oder Komponenten. |
Nein, nicht Skalare!
Der Begriff wird oft falsch verwendet.
Ein Skalar ist in unserem Kontext eine Größe, die unter einer Transformation invariant ist. Das trifft auf die Komponente eines Tensors aber nicht zu.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Am meisten Probleme habe ich damit, da ich auch als n x n Matrix (matrix-artig) interpretiere und multipliziert mit einem Skalar aufeinmal ein Skalar ergibt. |
Das verstehe ich nicht. Und "Skalar" ist für die Komponente wieder nicht zutreffend.
Ja, natürlich bilden die Komponenten der Metrik g eine Komponentenmatrix, und natürlich bilden die Komponenten der beiden Vektoren jeweils einen Komponentenvektor.
Aber damit gelten doch die Regeln der Matrix-Vektor-Multiplikation.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 17:53 Titel: |
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Ist explizit
 = g_{\mu\nu} \, x^\mu \, y^\nu = \sum_{\mu=1}^{n} \sum_{\nu=1}^{n} g_{\mu\nu} \, x^\mu \, y^\nu)
?
Nette Grüsse
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Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 18:08 Titel: |
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Ja, klar. Summenkonvention.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 18:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, klar. Summenkonvention. |
Ok. Danke.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 20. Feb 2024 18:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich bin mir nicht sicher, ob das mit den Vektorräumen klar ist.
Betrachten wir
Der Tensor g ist nicht Element des Vektorraumes V, auf dem er operiert; auch nicht Element des Dualraumes. |
Hat als Basis die duale Basis von V?
Oder sind Basen von Tensoren 2-ter Stufe selbst eigene n x n Matrizen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Feb 2024 20:24 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Hat als Basis die duale Basis von V? |
Nein.
Die sind die Komponenten zur Basis
– nicht zu verwechseln mit den Differentialen, die genauso geschrieben werden.
D.h. die Metrik g – verstanden als lineare Abbildung – hat als Basis Tensorprodukte von 1-Formen zu Koordinatenfeldern. D.h. die Metrik wird dargestellt als
Das führt m.E. aber zu weit, und ist für ein Grundverständnis irrelevant.
https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)#Local_coordinates_and_matrix_representations
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 22. Feb 2024 12:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das ist ja gerade die Frage. Wenn die Lorentzkontraktion nur scheinbar ist, dann gibt es gar kein Ehrenfest-Paradoxon. |
Guter Punkt.
Ich überlege mir dazu was; aber vor Sonntag wird das nix. |
Das würde mich auch interessieren.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 22. Feb 2024 13:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |  = f \cdot x) |
Ist das formal korrekt?
Nette Grüsse
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