| Autor |
Nachricht |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
 TomS Verfasst am: 22. Feb 2024 16:54 Titel: |
 |
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das ist ja gerade die Frage. Wenn die Lorentzkontraktion nur scheinbar ist, dann gibt es gar kein Ehrenfest-Paradoxon. |
Guter Punkt.
Ich überlege mir dazu was; aber vor Sonntag wird das nix. |
Das würde mich auch interessieren. |
Ich habe im FAQ etwas zu einem verwandten Problem geschrieben, das jedoch einfacher zu durchschauen ist.
https://www.physikerboard.de/lhtopic,70077,0,0,asc,e5a52837c8bbe3d088ea1393263e153f.html
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 06:18 Titel: |
|
|
Habt ihr's mal durchgelesen?
Ich bin erst jetzt darauf gestoßen, dass ich da etwas wiederentdeckt habe 😉
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Born_rigidity
| Zitat: | Born rigidity is satisfied if the orthogonal spacetime distance between infinitesimally separated curves or worldlines is constant, or equivalently, if the length of the rigid body in momentary co-moving inertial frames measured by standard measuring rods (i.e. the proper length) is constant … Born rigidity is a constraint on the motion of an extended body, achieved by careful application of forces to different parts of the body. A body rigid in itself would violate special relativity, as its speed of sound would be infinite.
A classification of all possible Born rigid motions can be obtained using the Herglotz–Noether theorem. This theorem states, that all irrotational Born rigid motions (class A) consist of hyperplanes rigidly moving through spacetime … This implies that a Born rigid body only has three degrees of freedom. |
Das ist witzigerweise die Betrachtung, die ich auch verwende.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 08:35 Titel: |
|
|
Zur Idee:
Im linken Bild sieht man zwei Weltlinien, die identische und entlang der Weltlinie konstante Eigenbeschleunigung aufweisen. Die Weltlinien haben aus Sicht des ruhenden Beobachter offenbar identischen horizontalen Abstand.
Eigenbeschleunigung heißt, dass es die Beschleunigung ist, die mittels einer Waage als Trägheitskraft für den mitfliegenden Astronauten spürbar und messbar ist; dabei handelt es sich um um eine invariante Größe, d.h. sie ist unabhängig vom Koordinatensystem (aber natürlich nicht unabhängig von der Weltlinie des Astronauten - den Unterschied hatten wir schon diskutiert).
Dieser horizontale Abstand ist aus Sicht des mitbewegten Beobachters jedoch physikalisch irrelevant; es ist eine reine Rechengröße (das ist der Moment, indem die Längenkontraktion irrelevant wird, denn sie befasst sich nur mit diesen reinen Rechengrößen).
Der blaue Beobachter konstruiert seine momentane Gleichzeitigkeitslinie, die schräge gepunktete Linie, mittels Spiegelung seiner Geschwindigkeit an der Winkelhalbierenden (der lichtartigen Linie, nicht gezeichnet) und verlängert diese bis zum zweiten Beobachter. Da der zweite Beobachter im Schnittpunkt jedoch eine höhere Geschwindigkeit aufweist, ist Gleichzeitigkeitslinie des ersten Beobachters keine Gleichzeitigkeitslinie des zweiten u.u.
Diese Konstruktion ist also witzlos.
Die richtige Konstruktion ist wie folgt: der blauen Beobachter geht instantan (unendlich schnell) ein infinitesimales Stückchen entlang seiner Gleichzeitigkeitslinie, konstruiert dort eine neue Gleichzeitigkeitslinie, die etwas stärker geneigt ist, geht wieder ein Stückchen usf., bis er beim, zweiten Beobachter angelangt ist. Die so konstruierten Gleichzeitigkeitslinien habe ich im FAQ gezeigt.
Die invariante Länge dieser Gleichzeitigkeitslinien ist die Ruhelänge derselben, wobei Ruhe in jedem Punkt entlang der Linie anders definiert ist! Das mag seltsam klingen, aber es ist die korrekte Konstruktion einer physikalisch sinnvollen Gleichzeitigkeitslinie; die Geraden sind - wie wir oben gesehen haben, i.A. nicht extrapolierbar.
Nun kann man die invariante Länge der Gleichzeitigkeitslinien zwischen den beiden Schnittpunkten berechnen; sie nimmt zu!
D.h. das rechte Raumschiff scheint zwar aus Sicht eines am Startpunkt ruhenden Beobachters immer konstanten Abstand zum linken zu haben, aber das ist eine Täuschung, bzw. es resultiert aus einem falschen Abstandsbegriff. Verwendet man den korrekten Abstandsbegriff im momentanen Ruhesystem an jedem Punkt der Verbindungslinie, so nimmt der Abstand zu, das rechte Raumschiff fliegt dem linken davon. Ein zwischen den Raumschiffen gespannter Draht würde reißen.
Das Problem ist noch nicht ganz gelöst, denn auch die ausgehend vom ersten Raumschiff konstruierte Gleichzeitigkeitslinie ist im Schnittpunkt mit der Weltlinie des zweiten Raumschiffs keine solche.
Die Lösung sieht man im rechten Bild. Hier betrachten wir infinitesimal benachbarte Weltlinien. Die Forderung ist nun, dass die Gleichzeitigkeitslinie für beide Weltlinien eine solche ist; die Tangenten an die Weltlinien d.h. die Geschwindigkeiten sind in beiden Schnittpunkten parallel. Die rechte Weltlinie muss daher eine geringere Beschleunigung aufweisen als die linke bzw. als die ursprüngliche. Die blauen Linien zeigen also den Lösungsweg auf.
Um das Konzept des relativistisch starren Körpers auf die Relativitätstheorie übertragen zu können, muss - um die invariante Eigenlänge des Körpers unter Beschleunigung zu bewahren - die Idee, der Körper würde an allen Punkten identisch beschleunigt, aufgegeben werden.
Die Idee muss natürlich entlang der gesamten Weltlinie angewandt werden, d.h. man geht nun die Weltlinie in infinitesimalen Schritten voran und wiederholt die Konstruktion der.
Soweit war ich bisher ebenfalls mit meinen Berechnungen. Man kann die rechte Weltlinie immer ausgehend von der linken und der Berechnung der Eigenlänge konstruieren. Man bestimmt also den rechten Endpunkt Gleichzeitigkeitslinien so, dass die Länge festgehalten wird; damit erhält man automatisch die zweite Weltlinie.
Was Born et al. jedoch gemacht haben, geht weiter. Sie haben ohne diesen Umweg die erlaubte Bewegung (also Beschleunigung) entlang des Körpers berechnet. Das habe ich noch nicht nachvollzogen (ich möchte es ebenfalls selbst herleiten, ohne die Arbeiten zu lesen). Die Idee ist aber klar: man betrachtet das infinitesimale blaue Trapez für zwei jeweils zeitlich konstante jedoch leicht unterschiedliche Beschleunigungen für die benachbarten Weltlinien, berechnet die beiden invariante Länge entlang der beiden gestrichelten Linien und löst die Gleichungen; daraus folgt eine Bedingung an die Beschleunigung als Funktion entlang der Verbindungslinie.
| Beschreibung: |
|
| Dateigröße: |
19.46 KB |
| Angeschaut: |
1148 mal |
|
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 11:32 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |  = f \cdot x) |
Ist das formal korrekt? |
Nein, sehr schlampig 😉
Also, wir haben eine Abbildung F von V auf die reellen Zahlen
Diese Abbildung F wirke auf jedes Element x, d.h.
 \in \mathbb{R})
In unserem Fall gilt, dass diese fragliche Funktion f(x) durch einen Vektor im Dualraum eindeutig definiert ist, also
 = f \cdot x)
Zunächst lege ich nicht fest, dass die Abbildung F im Dualraum V* lebt, da dies nicht für beliebige Abbildungen gilt.
Die Abbildung von F auf den Vektor f (habe ich nicht auch noch hingeschrieben) ist sogar bijektiv, d.h. jedes F wird durch genau einen Vektor dargestellt, und umgekehrt liefert jeder Vektor f genau eine derartige Abbildung F (das ist nicht unbedingt trivial).
Physiker haben das alles irgendwann mal verstanden und schreiben nur ein und den selben Buchstaben.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Feb 2024 11:55, insgesamt 3-mal bearbeitet |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 23. Feb 2024 11:48 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | Das ist ja gerade die Frage. Wenn die Lorentzkontraktion nur scheinbar ist, dann gibt es gar kein Ehrenfest-Paradoxon. |
Guter Punkt.
Ich überlege mir dazu was; aber vor Sonntag wird das nix. |
Das würde mich auch interessieren. |
Ich habe im FAQ etwas zu einem verwandten Problem geschrieben, das jedoch einfacher zu durchschauen ist.
https://www.physikerboard.de/lhtopic,70077,0,0,asc,e5a52837c8bbe3d088ea1393263e153f.html
...
Habt ihr's mal durchgelesen? |
Anhand des Datums dieses Beitrags können Sie ja nur Beiträge mit späterem Beitrags- und Bearbeitsungs-Datum meinen. Thematisch bleibt da nurnoch dieser Beitrag (oder dieser) übrig.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 11:57 Titel: |
|
|
Ja. Die beiden Beiträge mit den Graphiken.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 23. Feb 2024 12:22 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Weil Ihre Idee mittels der Einheitvektoren eine Basis zu konstruieren und diese auch für die Metrik zu verwenden, durchaus sinnvoll ist.
...
Nein
...
Nein |
Meine Gedanken entstanden halt aus dem:
Es gilt:
 ist eine Basis in B(V,V)
mit
(x, y) = (e^j \cdot x) \cdot (e^k \cdot y))
Mit den Werten der Basis für V und  bedeutet dies für z.B. einen einzelnen konkreten Wert der Basis in B(V,V):
 \cdot (e^2 \cdot y) = x^1 \cdot y^2)
Das müsste doch richtig impliziert sein!?!
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung.
Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 23. Feb 2024 14:45, insgesamt 2-mal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 12:34 Titel: |
|
|
Die Basen folgen zunächst aus den Koordinatenlinien auf der Mannigfaltigkeit M. Kannst du dich noch an das Bild für ko- und kontravariante Komponenten erinnern? Da sieht man das.
Die Basen haben zunächst nichts mit den Vektoren x, y in V, also TM(P) zu tun; diese Vektoren leben für sich in V, nicht in M. Speziell für Koordinatenlinien kann man natürlich wiederum zugehörige Basisvektoren je P in TM(P) finden.
Die mittels Tetraden in TM sowie TM* definierten Basen sind jedoch allgemeiner. Hier geht man sozusagen von Basissystemen in TM sowie TM* aus, ohne dass man diese mittels Koordinatenlinien auf M einführen muss.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 23. Feb 2024 12:57 Titel: |
|
|
Sie haben das 'Ja' bei Ihrer Antwort entfernt, aber ich antworte mal, als ob es noch da ist.
D.h. wenn die Basis von V diese ist:
Dann ist die Basis zu  diese:
mit  und  deren kontravarianten Komponenten mit konkreten Zahlen als Indizes.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 13:20 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Sie haben das 'Ja' bei Ihrer Antwort entfernt, aber ich antworte mal, als ob es noch da ist. |
Das war schon Absicht.
Man wendet nicht x und y aus V auf die Funktion bzw. Abbildung g an, sondern man wendet die Abbildung g auf x und y an. Das war zumindest der Kontext, in dem diese Formel nieder geschrieben wurde.
Das Ganze jetzt umzudrehen und die Vektoren x und y als Basisvektoren aufzufassen, ist aus verschiedenen Gründen problematisch.
Die Basis von g, die ich mittels Differentiaformen (auf M) notiert hatte, ist etwas völlig anderes als eine mittels Einheitsvektoren in TM(P) definierte Basis. Man kann beides tun, jedoch redet man einmal von Koordinatenbasen, ausgehend von Koordinatenlinien in der Mannigfaltigkeit M, dann gelangt man zu der Basis von g, ausgedrückt als 1-Form. Man kann umgekehrt ausgehen von einer abstrakten Basis im TM(P), das wären dann die Tetraden, diese haben jedoch zunächst keinen Bezug zu Koordinaten auf der Mannigfaltigkeit M, und sie haben demzufolge nichts zu tun mit 1-Formen.
Anders formuliert, in der Mannigfaltigkeit M. Gibt es Koordinaten und Koordinatenlinien jedoch keine Vektoren! Im Tangentialvektorraum gibt es Vektoren, jedoch keine Koordinaten.
Deswegen unterscheidet man auch bezüglich griechischer und lateinischer Indizes – griechische stehen für Eigenschaften beziehungsweise Objekte in der Mannigfaltigkeit, lateinische für Objekte in den Tangential und Kotangentialräumen.
Was sie jetzt hingeschrieben haben, ist schlicht ein Mischmasch aus beidem. Deswegen habe ich das "Ja" entfernt.
Warum stand es mal da?
Weil Ihre Idee mittels der Einheitvektoren eine Basis zu konstruieren und diese auch für die Metrik zu verwenden, durchaus sinnvoll ist. Dabei handelt es sich jedoch um die Konstruktion vergleichbar den Tetraden, d.h. man landet eben gerade nicht bei der von mir genannten Basis, mittels 1-Formen.
Ich kann nur dringend empfehlen, dass wir uns hier nicht noch weiter verzetteln.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 23. Feb 2024 13:34 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Was sie jetzt hingeschrieben haben, ist schlicht ein Mischmasch aus beidem. Deswegen habe ich das "Ja" entfernt. |
Das 'Ja' war vor meinem letzten Beitrag entfernt, sonst hätte ich dies nicht darin explizit geschrieben.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 13:53 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Das 'Ja' war vor meinem letzten Beitrag entfernt, sonst hätte ich dies nicht darin explizit geschrieben. |
Ja.
Weil bereits das hier nicht passt.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | 
Ist diese Basis abhängig von den dann verwendeten x,y |
Nein.
x, y leben in V und sind beliebig. dx und dy folgen aus den Koordinatenlinien in M.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | … die man auf diese Bilinearform bzw. Funktion anwendet? |
Nein.
Umgekehrt, man wendet g auf x und y an.
Evtl. einfach nur Verwirrung aufgrund meiner Notation? Ersetzen Sie bitte x und y in den die 1-Formen, dx und dy suggerieren einen Zusammenhang mit x und y; sorry!
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 23. Feb 2024 14:47 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Weil Ihre Idee mittels der Einheitvektoren eine Basis zu konstruieren und diese auch für die Metrik zu verwenden, durchaus sinnvoll ist.
...
Nein
...
Nein |
Meine Gedanken entstanden halt aus dem:
Es gilt:
ist eine Basis in B(V,V)
mit
Mit den Werten der Basis für V und bedeutet dies für z.B. einen einzelnen konkreten Wert der Basis in B(V,V):
Das müsste doch richtig impliziert sein!?!
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 23. Feb 2024 16:54 Titel: |
|
|
Das sieht für den Vektorraum V und die Metrik korrekt aus, allerdings fehlt jetzt der Bezug zu der Mannigfaltigkeit M und dem TM(P).
Schau mal hier:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tetrad_formalism
Mein Eindruck ist, dass du diesen Formalismus letztlich verstehen musst. Wenn's dir darum geht, wirst du im ein Fachbuch nicht herumkommen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 23. Feb 2024 17:42 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das sieht für den Vektorraum V und die Metrik korrekt aus, allerdings fehlt jetzt der Bezug zu der Mannigfaltigkeit M und dem TM(P). |
Ja. Ich wollte erstmal nur meinen bisherigen Lernstand bzw. die Richtigkeit meiner Implikationen dazu bestätigt bekommen.
Einen guten Einstieg in Mannigfaltigkeiten (im Kontext von Tensoren) habe ich bis jetzt noch nicht gefunden.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 24. Feb 2024 08:30 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Einen guten Einstieg in Mannigfaltigkeiten (im Kontext von Tensoren) habe ich bis jetzt noch nicht gefunden. |
Was genau ist dein Ziel?
Mathematik, Differentialgeometrie, Topologie?
Oder Physik, insbs. Allgemeine Relativitätstheorie?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 24. Feb 2024 17:51 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Was genau ist dein Ziel?
... Allgemeine Relativitätstheorie? |
Ja, Allgemeine Relativitätstheorie.
Die Metrik scheint ein zentrales oder notwendiges Konstrukt in der nicht-euklidischen oder riemannschen oder raumzeitlichen Geometrie zu sein. Gibt es noch andere zentrale Konstrukte, die nicht aus den anderen zentralen Konstrukten abgeleitet werden können?
Und:
Wie sieht denn so eine typische Basis in der Raumzeit aus?
Ich schätze mal nicht
sondern komplizierter!?!
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 24. Feb 2024 20:30 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Was genau ist dein Ziel?
... Allgemeine Relativitätstheorie? |
Ja, Allgemeine Relativitätstheorie. |
Schau dir mal dieses kurze Script an:
https://preposterousuniverse.com/wp-content/uploads/2015/08/grtinypdf.pdf
Falls dir der Stil taugt, dann das:
https://sites.astro.caltech.edu/~george/ay21/readings/carroll-gr-textbook.pdf
Sehr ausführlich ist Blau, da schaue ich gern mal nach:
http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
Auch hier kann man mal reinschauen:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr/gr.pdf
Bei Lehrbüchern tu' ich mir schwer.
Der "Wald" ist m.E. sehr abstrakt, sonst jedoch empfehlenswert:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/General_Relativity_(book)
Die Bibel, Gravitation von Misner, Thorne & Wheeler kann ich als Lehrbuch weniger empfehlen; ich komme mit der Struktur nicht klar:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gravitation_(Buch)
Zentrale Objekte sind die Metrik g, der Zusammenhang Gamma, der Riemannsche Krümmungstensor R sowie daraus abgeleitete Größen. Evtl. noch Killing-Felder und Tetraden, aber für einen Einstieg braucht's die nicht, genausowenig wie Differentialformen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 25. Feb 2024 12:26 Titel: |
|
|
Hallo!
Das sieht recht gut aus.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Wie sieht denn so eine typische Basis in der Raumzeit aus?
Ich schätze mal nicht
sondern komplizierter!?! |
Hat die Raumzeit deswegen keine konkrete Basis, weil Tensoren es basis-unabhängig gestalten bzw. Basis-Unabhängigkeit erzeugen? Oder nutzt man eine konkrete Basis?
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 25. Feb 2024 13:56 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Hat die Raumzeit deswegen keine konkrete Basis, weil Tensoren es basis-unabhängig gestalten bzw. Basis-Unabhängigkeit erzeugen? |
Eine Basis – genauer: Vektorraum-Basis – existiert nur in einem linearen Raum, in dem die Addition vor Vektoren definiert ist. Einige gekrümmte Mannigfaltigkeit ist jedoch kein linearer Raum, mit einer linearen Additionsvorschrift für Vektoren. Deswegen hat die Mannigfaltigkeit bzw. existiert in der Mannigfaltigkeit keine Basis.
Um eine Basis zu betrachten, musst du also Vektorräume einführen, und das erledigt die Konstruktion eines eigenen Tangentialvektorraumes zu jedem Punkt P der Mannigfaltigkeit. D.h. in jedem Punkt P existiert ein derartiger Tangentialvektorraumes, und in diesem existieren Vektorraum-Basen.
Anschaulich: Wie würdest du eine Vektorraum Basis in einer Kugeloberfläche definieren?
Betrachte sphärische Koordinaten mit ihren Einheitvektoren im 3-dim. Raum, sowie eine Kugeloberfläche; Letzteres ist unsere Mannigfaltigkeit. Der radiale Einheitvektor zur Kugeloberfläche ist sicher kein Vektor in dieser, er steht senkrecht auf ihr; Gleiches gilt für die theta- und phi-Einheitvektoren. Letztere leben je Punkt P der Kugeloberfläche in einer Tangentialebene zur Kugeloberfläche. In dieser kann ein Vektor eine beliebige Länge haben, z.B. für Geschwindigkeit oder Beschleunigung. Was jedoch nicht mehr existiert, ist ein Ortsvektor! Was natürlich weiterhin existiert, sind die Koordinaten theta und phi in der Mannigfaltigkeit, ausgehend von denen die Koordinaten-Basen im Tangentialraum konstruiert werden.
|
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 25. Feb 2024 16:25 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine Basis – genauer: Vektorraum-Basis – existiert nur in einem linearen Raum, in dem die Addition vor Vektoren definiert ist. Einige gekrümmte Mannigfaltigkeit ist jedoch kein linearer Raum, mit einer linearen Additionsvorschrift für Vektoren. Deswegen hat die Mannigfaltigkeit bzw. existiert in der Mannigfaltigkeit keine Basis. |
Ok. Verstehe.
Meine Gedanken gingen so langsam in diese Richtung.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Um eine Basis zu betrachten, musst du also Vektorräume einführen, und das erledigt die Konstruktion eines eigenen Tangentialvektorraumes zu jedem Punkt P der Mannigfaltigkeit. D.h. in jedem Punkt P existiert ein derartiger Tangentialvektorraumes, und in diesem existieren Vektorraum-Basen. |
Ah, ok. Danke.
Spielen diese Tangentialvektorräume eine entscheidende (oder häufige hervorgehobene) Rolle in der ART?
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 25. Feb 2024 20:11 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Spielen diese Tangentialvektorräume eine entscheidende (oder häufige hervorgehobene) Rolle in der ART? |
Sie sind wichtig zu Beginn, damit man eine "Vorstellung" davon hat, was man rechnet.
In der klassischen Mechanik wird z.B. nicht offensichtlich klar, dass der Ort und der Impuls nicht im selben Raum leben, dass es gar keinen Ortsvektor mehr gibt. In der ART ist der Ort bzw. das Ereignis in der Raumzeit ein Punkt P in der Mannigfaltigkeit M, die Geschwindigkeit und der Impuls sind Vektoren im Tangentialraum TM(P) im Punkt P von M. Außerdem ist das Konzept der linearen Abbildung wichtig, mittens dessen man u.a. messbare Größen erhält; Vektor- und Tensorkomponenten sind es nicht; Vektoren und Tensoren definieren diese Abbildungen.
Wenn man dann verstanden hat, was man da tut, treten die konzeptionellen Fragen zunehmend in den Hintergrund.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 26. Feb 2024 13:04 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Man bekommt beigebracht, dass es Zeilen- und Spaltenvektoren gibt, aber aufgrund der Kommutativität versteht niemand, warum das wichtig sein soll.
...
Eine Basis – genauer: Vektorraum-Basis – existiert nur in einem linearen Raum, in dem die Addition vor Vektoren definiert ist. Einige gekrümmte Mannigfaltigkeit ist jedoch kein linearer Raum, mit einer linearen Additionsvorschrift für Vektoren. Deswegen hat die Mannigfaltigkeit bzw. existiert in der Mannigfaltigkeit keine Basis.
...
Außerdem ist das Konzept der linearen Abbildung wichtig, mittens dessen man u.a. messbare Größen erhält; Vektor- und Tensorkomponenten sind es nicht; Vektoren und Tensoren definieren diese Abbildungen. |
Ich habe Probleme mit dem Symbol  . Dem V mit dem Extra-Strich links.
Ist die Menge aller Spalten-Vektoren identifiziert mit der Menge der Abbildungen der Translation?
Oder anders:
Beschreiben Spalten-Vektoren immer Linearität, weil sie die Menge der Abbildungen der Translation sind?
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 26. Feb 2024 13:18 Titel: |
|
|
Vergiss mal die Spaltenvektoren.
Ein (linearer) Vektorraum V(K, +, •) über einem Körper K (hier entspricht K dem reellen Zahlen R) mit den Verknüpfungen +, • ist gegeben, wenn für x,y aus V die üblichen Regeln zur Addition von Vektoren gelten (Nullvektor als neutrales Element, inverses Elements -x zum Vektor v, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz), als auch die üblichen Regeln für die Multiplikation Skalar • Vektor.
Eine Teilmenge
heißt Basis, wenn die Elemente linear unabhängig sind, und wenn B den gesamten Raum aufspannt
d.h. wenn alle Elemente V aus x mittels der Basis darstellbar sind
Wir können nun zusätzlich ein Skalarprodukt einführen, d.h. eine in x,y symmetrische und bilineare Abbildung
Dies ermöglich die Definition einer Orthonormalbasis, d.h.
Erst damit kommen die Zeilen- und Spaltenvektoren ins Spiel, denn
In der Praxis lässt man die Multiplikationssymbole oft weg.
D.h. Zeilen- und Spaltenvektoren beinhalten die Komponenten der jeweiligen Vektoren bezüglich einer bestimmten Basis.
D.h. zu einem Vektor x existieren unendlich viele verschiedene Komponentenvektoren, je einer pro Basis. Und die bilineare Abbildung ist unabhängig von der Wahl der Basis, d.h. eine Transformation der Basis und damit eine Transformation der Komponenten ändert weder x,y noch deren Skalarprodukt.
Die linke Seite von
ist unabhängig von der Basis, die rechte
dagegen nicht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Feb 2024 07:48, insgesamt 11-mal bearbeitet |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 26. Feb 2024 13:36 Titel: |
|
|
| Zitat: | | Vergiss mal die Spaltenvektoren. |
Naja, anscheinend ist Translation in Mannigfaltigkeiten nicht möglich.
D.h. ich lerne gerade den Unterschied von Linearität und Nicht-Linearität.
In meinem Mathebuch wird die Menge der Abbildungen der Translation mit der Menge der Spalten-Vektoren identifiziert.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 26. Feb 2024 14:01 Titel: |
|
|
Das hat jetzt irgendwie nichts miteinander zu tun.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Vergiss mal die Spaltenvektoren. |
Naja, anscheinend ist Translation in Mannigfaltigkeiten nicht möglich. |
Der früher diskutierte und von dir graphisch dargestellte Paralleltransport von Vektoren entlang von Kurven ist eine Verallgemeinerung der Translation.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | In meinem Mathebuch wird die Menge der Abbildungen der Translation mit der Menge der Spalten-Vektoren identifiziert. |
Das verstehe ich nicht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 26. Feb 2024 16:43 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | das |
Na ja, erstens ist es eine sehr spezielle Abbildung, und zweitens ist das keine Definition einer linearen Abbildung auf einem Vektorraum, sondern die Darstellung einer linearen Abbildung in einer speziellen Basis des Vektorraumes.
Die Translation ist einfach:
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Kann das  bei auch ein selbst definierter Körper sein, oder sind es immer nur die bekannten Zahlen-Körper? |
Du meinst außer der reellen und komplexen Zahlen?
Da gibt es noch zig weitere, du mir aber in der Physik noch nicht über den Weg gelaufen sind.
Der Schiefkörper der Quaternionen könnte noch spannend sein … vieles sollte sich übertragen lassen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Feb 2024 16:51, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 26. Feb 2024 16:49 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Kann das bei auch ein selbst definierter Körper sein, oder sind es immer nur die bekannten Zahlen-Körper? |
Du meinst außer der reellen und komplexen Zahlen?
Da gibt es noch zig weitere, du mir aber in der Physik noch nicht über den Weg gelaufen sind.
Der Schiefkörper der Quaternionen könnte noch spannend sein … vieles sollte sich übertragen lassen. |
Ja.
Kann man auch selbst welche definieren, die dann unter dem Symbol geführt werden kann (oder ist die Anzahl der Körper von schon festgelegt)?
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 26. Feb 2024 16:53 Titel: |
|
|
Du müsstest halt irgendwie einen neuen Körper X konstruieren, den die Mathematiker noch nicht entdeckt haben. Nein, für den erlaubten Körper eines Vektorraumes ist nichts festgelegt, außer dass es ein Körper ist. Ja, über dem neuen Körper X kannst du einen Vektorraum definieren.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 26. Feb 2024 23:30 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
 |
Ich versteh das mit dem Index unten und gleichzeitig dem Sternchen oben nicht. Das habe ich bis jetzt so noch nicht gesehen. Ist das was spezielles bei bzw. für oder bei  ?
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 27. Feb 2024 06:09 Titel: |
|
|
Oh, sorry.
In der Algebra macht man das eigtl. immer so, aber in der RT – und das ist ja unser Kontext – muss man zwischen ko- und kontravariant unterscheiden; ich verbessere das.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 27. Feb 2024 14:14 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Oh, sorry.
In der Algebra macht man das eigtl. immer so, aber in der RT – und das ist ja unser Kontext – muss man zwischen ko- und kontravariant unterscheiden; ich verbessere das. |
Ok, danke.
Dann müsste ich das verstehen.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 27. Feb 2024 18:49 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Die Metrik scheint ein zentrales oder notwendiges Konstrukt in der nicht-euklidischen oder riemannschen oder raumzeitlichen Geometrie zu sein. Gibt es noch andere zentrale Konstrukte, die nicht aus den anderen zentralen Konstrukten abgeleitet werden können? |
Zentrale Objekte sind die Metrik g, der Zusammenhang Gamma, der Riemannsche Krümmungstensor R sowie daraus abgeleitete Größen. |
So wie ich es verstanden habe kann man den Riemannsche Krümmungstensor aus der Metrik ableiten.
Wenn das stimmt:
Die Metrik als Tensor 2-ter Stufe hat ja maximal 16 unabhänige Elemente im 4-Dimensionalen.
D.h. es kann ja beim Ableiten hin zum Riemannsche Krümmungstensor keine höhere Komplexität als diese hinzukommen, selbst wenn der Riemannsche Krümmungstensor als Tensor 4-ter Stufe 4^4 mehr Elemente enthält. D.h. die Komplexität kann doch maximal bei 16 verbleiben!?! Wenn ich das mal so ausdrücke.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der klassischen Mechanik wird z.B. nicht offensichtlich klar, dass der Ort und der Impuls nicht im selben Raum leben, dass es gar keinen Ortsvektor mehr gibt. In der ART ist der Ort bzw. das Ereignis in der Raumzeit ein Punkt P in der Mannigfaltigkeit M, die Geschwindigkeit und der Impuls sind Vektoren im Tangentialraum TM(P) im Punkt P von M. |
Mathematisch oder real?
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 27. Feb 2024 19:37 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | So wie ich es verstanden habe kann man den Riemannsche Krümmungstensor aus der Metrik ableiten. |
Ja.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Die Metrik als Tensor 2-ter Stufe hat ja maximal 16 unabhängige Elemente im 4-Dimensionalen. |
Nein.
Die Metrik ist symmetrisch, d.h. bei n Dimensionen erhält man
/2)
Komponenten, für n=4 also z=10.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | D.h. es kann ja beim Ableiten hin zum Riemannsche Krümmungstensor keine höhere Komplexität als diese hinzukommen, selbst wenn der Riemannsche Krümmungstensor als Tensor 4-ter Stufe 4^4 mehr Elemente enthält. D.h. die Komplexität kann doch maximal bei 16 verbleiben!?! |
Nein.
Das wäre so, wenn nicht auch noch die Ableitungen unterschiedlich kombiniert würden. Aber das hatten wir schon …
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der klassischen Mechanik wird z.B. nicht offensichtlich klar, dass der Ort und der Impuls nicht im selben Raum leben, dass es gar keinen Ortsvektor mehr gibt. In der ART ist der Ort bzw. das Ereignis in der Raumzeit ein Punkt P in der Mannigfaltigkeit M, die Geschwindigkeit und der Impuls sind Vektoren im Tangentialraum TM(P) im Punkt P von M. |
Mathematisch oder real? |
Mathematisch.
In der klassische Mechanik ist der Phasenraum ein 2n-dim. Raum über dem n-dim. Ortsraum, und darin leben Orte und Impulse.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 951
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 27. Feb 2024 22:55 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Komponenten, für n=4 also z=10. |
Ah, ok. 10.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | D.h. es kann ja beim Ableiten hin zum Riemannsche Krümmungstensor keine höhere Komplexität als diese hinzukommen, selbst wenn der Riemannsche Krümmungstensor als Tensor 4-ter Stufe 4^4 mehr Elemente enthält. D.h. die Komplexität kann doch maximal bei 16 verbleiben!?! |
Nein.
Das wäre so, wenn nicht auch noch die Ableitungen unterschiedlich kombiniert würden. |
Ist die Kombinierungs-Vorschrift oder -Algorithmus abhängig von mindestens einem weiteren Faktor ausserhalb der Metrik? Oder ist sie immer gleich?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber das hatten wir schon … |
Ich müsste mir diese Threads nochmal durchlesen, jetzt da ich Tensoren (ausreichend gut) verstehe.
Nette Grüsse
_________________
Intelligenz ist die Fähigkeit der (temporären) Anpassung. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
|
| TomS Verfasst am: 28. Feb 2024 06:18 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Komponenten, für n=4 also z=10. |
Ah, ok. 10. |
Zur Erklärung:
Die Metrik hat n^2 Komponenten, davon n diagonale und n^2-n nicht-diagonalen. Von letztere wird die Hälfte durch Symmetrie festgelegt, bleiben also (n^2-n)/2 unabhängige. Zusammen mit den n diagonalen erhält man also (n^2-n)/2 + n unabhängige.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Kombinierungs-Vorschrift [beim Krümmungstensor] abhängig von mindestens einem weiteren Faktor ausserhalb der Metrik? Oder ist sie immer gleich? |
Sie ist immer gleich.
Die Frage ist hier nicht, wieviele unabhängige Komponenten der Krümmungstensor hat (unabhängig trifft es nicht, da alle von der Metrik abgeleitet sind), sondern wieviele aufgrund von Symmetrie gleich sein müssen, bzw. wie viele verschieden sein können.
Hier ist das gut erklärt: https://physics.stackexchange.com/questions/506086/counting-independent-components-of-the-riemann-curvature-tensor
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
