Poisson- & Laplace-Gleichung Kugel

verrain · Anmeldungsdatum: 31.05.2018 Beiträge: 24

Ich möchte mittels Poission, bzw. Laplacegleichung auf das elektrische Feld und das Potential einer Kugel schließen.

Innerhalb der Kugel funktioniert dabei eine eindimensionale Betrachtung. Sei das Zentrum der Kugel der Koordinatenursprung und die Kugel homogen geladen, dann gilt nach Poissongleichung:

Vereinfacht auf ein eindimensionales Problem:

2x integriert ergibt als Potential:

Dabei sind die c's Konstanten.

Für das E-Feld erhalte ich auf Grund

:

Da das E-Feld für

, also im Zentrum der Kugel

ist, folgt, dass

.

Das E-Feld steigt damit liniear an vom Zentrum der Kugel (

) bis zum Rand der Kugel.

Das Potential hingegen fällt von einem Anfangswert im Zentrum quadratisch ab (umgedrehte Parabel).

Nu der Clou:
Wenn ich versuche, dass ganze außerhalb der Kugel mit der Laplacegleichung eindimensional zu berechnen, also:

Dann komme ich auf das Potential:

Das Potential außerhalb der Kugel steigt jedoch bekannterweise nicht linear mit dem Abstand an, sondern fällt antiproportional zum Abstand ab.

Wenn ich den Laplaceoperator in Kugelkoodinaten umrechne, komme ich auf das richtige Ergebnis.

Warum funktioniert außerhalb der Kugel die eindimensionale Betrachtungsweise nicht mehr, aber im inneren der Kugel schon?

Viele Grüße
Verrain

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

verrain · Anmeldungsdatum: 31.05.2018 Beiträge: 24

Da sieht man, dass so ein Forum immer noch besser ist als ChatGPT. Der hat mir meinen Fehler nicht derart aufzeigen können.

Dabei hätte ich nur mal googeln müssen, was denn eigentlich rauskommen soll. Ich hatte nur eine graphische Darstellung des Potentials und des E-Felds vor Augen, deswegen hat sich der falsche Faktor nicht bemerkbar gemacht.

Danke und viele Grüße!