Fadenpendel Winkelgeschwindigkeit

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Meine Frage:
Hey iwie verstehe ich bei folgenden Aufgaben nicht ganz, was von mir erwartet wird, bzw.was der Ansatz ist.

Die Idealisierung einer punktformigen Masse m an einem masselosen
Faden der Länge L wird als mathematisches Pendel bezeichnet.
Ein solches Pendel werde, wie in nebenstehender Abbildung gezeigt,
zur Zeit t = 0 um einen kleinen Winkel phi = phi0 aus der Vertikalen
ausgelenkt und losgelasssen. Das Pendel schwinge danach reibungsfrei.

a) Geben Sie die Kräfte an, die auf die Pendelmasse wirken
und zeichnen diese in die Skizze ein. Bestimmen Sie die
Rückstellkraft des Pendels, d.h. die Kraft die das Pendel in die
Gleichgewichtslage zuruckzwingt, als Funktion von ¨phi. Zeichnen
Sie die entsprechende Kräftezerlegung ebenfalls in die
Skizze ein. Fur nicht zu große Auslenkungen kann die
Näherung sin phi ? phi benutzt werden. Stellen Sie mit dieser
Näherung eine Bewegungsgleichung für phi(t) auf.
b) Zeigen Sie, dass die harmonische Schwingung,
Phi(t) = A sin (wt + alpha)
diese Bewegungsgleichung fur eine passende Wahl von w erfüllt. Bestimmen Sie aus der Anfangsbedingung phi(0) = phi0 und phi(mit punkt oben drauf)(0) = 0 die Größen A und alpha.
c) Die Winkelgeschwindigkeit w hängt mit der Periode T der Pendelschwingung wie
folgt zusammen:
W=2pieT
Bestimmen Sie die Periodendauer als Funktion der Pendelparameter und der Erdbeschleunigung.

Meine Ideen:
Also das mit den Kräften einzeichnen habe ich hinbekommen und ich hab auch cerschiedene Beziehungen aufgestellt wie Fr= Fg*sin(phi) bzw.Fr=-mg*sin(phi) aber keine Ahnung ob die das wollen für die gleichung der rückstellkraft. Die Kräfte die generell auf die Pendelmasse wirken sind ja Rückstellkraft, Fadenkreuz und Gewichtskraft.Für den zweiten Teil der Kräfteeknteilung hab ich die Gewichtskraft in ihre Komponenten FG tabgebtial zur Kreisbahn und FGn orthogonal zur Kreisbahn zerlegt.wobei ja FGtan der Rückstellkraft entspricht.

Aber nun weiß ich nicht wie ich die Bewegungsgleichung für Phi(t) aufstellen soll. Was ist phie(t) überhaupt? Also wie nann ich denn für einen Winkel eine Bewegungsgleichung aufstellen?

b)hier hab ich absolut keine Agnung was die von mir wollen.was wäre den keine passende Wahl für w?Und wie soll ich A und Alpha bestimmen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

[quote]

und für kleine Winkel

Wie kommst du auf diese gleichung? Also was bedeutet phie mit zwei Punkten? Die 2. Ableitung?(was iwie nicht Sinn macht für mich)

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Also ich meine warum ist a=l*phie mit zwei Punkten?

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 302

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Mit a war die tangentiale Beschleunigung gemeint. Bei einer Kreisbewegung gilt doch für die tangentiale Geschwindigkeit

und für die tangentiale Beschleunigung

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Ich hab bisher nie eine bewegungsgleichungvnach einem Winkel aufgestellt sondern immer nach dem Oer. Deswegen fällt mir das iwie sehr schwer, das mit phie vorzustellen.Also Was die zwei Punktevbedeuten ist mir klar, aber wie soll man den vitte Winkel ableiten.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Wenn ichbdiese gleichung nach phi umstelle, komme ich dann zu der gesuchten Bewehungsgleichung?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Vielleicht ist eine Bewegungsgleichung für eine Winkelkoordinate etwas ungewohnt. Aber grundsätzlich besteht ja bis auf die Dimension/Einheit zwischen einer Koordinate phi(t) und x(t) kein Unterschied. Bei Kugelkoordinaten wird ein Punkt im Raum statt durch (x, y, t) durch (r, theta, phi) festgelegt. Hier, beim Pendel, das in einer Ebenen schwingt, wird die Lage durch den Auslenkungswinkel phi(t) eindeutig festgelegt.

ist schon die Bewegungsgleichung. Jede Funktion phi(t), welche diese Bewegungsgleichung erfüllt, ist eine mögliche Bahnkurve, welche die Bewegung des Pendels beschreibt.

Als Ansatz ist die Funktion

gebeben. Nun einfach dieses phi(t) einsetzen in die Bewegungsgleichung und prüfen, ob das eine Lösung ist. Man sieht, dass dies der Fall ist, wenn omega einen bestimmten Wert hat. Die Frequenz wird durch das Pendel bzw. die Pendellänge fest vorgegeben. Die Konstanten A und alpha hängen demgegenüber von den Anfangsbedingungen ab, also z.B. Ort und Geschwindigkeit bei t=0.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

So und wenn ich jetzt

einsetze bekomme ich für A folgendes raus:

Bzw.

Ist das richtig, dass man da keinen konkreten Wert rausbekommen?stimmt das so?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Ja,

ist richtig.

alpha=pi/2 genügt, 3*pi/2 führt auf keine andere Bewegung, lediglich A hätte dann ein umgekehrtes Vorzeichen.

Wieviel ist denn sin(pi/2)? Also A=...

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Also reicht esvein einziger Wert für alpha anzugeben?
Sin(pi/2)=1 also ist A =phi 0 ?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Ja, alpha=pi/2 und A=phi0 ist richtig.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Oke alles klar .Danke! Jz hab ich wenigstens diese Aufgabe gelöst:)