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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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 frage1 Verfasst am: 20. Sep 2022 10:25 Titel: Maximalwert eines Elektrons |
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Hallo alle!
Es handelt sich um die folgende Aufgabe (siehe Anhang). Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich das Beispiel a) richtig berechnet habe? Soll ich hier für a0 den bohrschen Radius einsetzen, um auf den Maximalwert zu kommen? Denn so kann ich die Aufgabe ja nicht stehen. Ich brauch ja einen x-Wert.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2022 11:31 Titel: |
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Das ist wieder mal nicht ganz eindeutig.
Die maximale Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmst du über das Maximum des Absolutquadrates der Wellenfunktion, also 1) Nullsetzen der ersten Ableitung und 2) Prüfen ob Minimum oder Maximum mittels der zweiten Ableitung.
Die maximale Wahrscheinlichkeit an genau einem Ort ist dagegen exakt Null, denn die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Volumens V ist
jedoch
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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frage1
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| frage1 Verfasst am: 20. Sep 2022 12:07 Titel: |
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Achso, stimmt, hab’s verwechselt. Danke für die Erklärung.
Ich wusste ehrlich gesagt nicht, dass ich die zweite Ableitung bilden muss, da wir immer solche Aufgaben (in der Lerngruppe) nur 1 x abgeleitet haben.
Soll ich dann die a,b,c-Formel anwenden?
So sieht‘s dann momentan aus:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2022 12:57 Titel: |
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Es geht viel einfacher.
Mit x = r/a:
 \, e^{-x/2})
^2 \, e^{-x})
 - (2-x)^2] \, e^{-x} = -(2-x)[2 + (2-x)] \, e^{-x} = - (2-x) \, (4-x) \, e^{-x})
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 20. Sep 2022 13:09 Titel: |
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Also bei 2 und 4 ist der maximalwert?
Meine ganzen (komplizierten) Rechnungen waren dann umsonst.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2022 13:33 Titel: |
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Nee, eines davon ist ein Minimum; um das zu unterscheiden benötigst du das Vorzeichen der zweiten Ableitung.
Du kannst aber auch wie folgt argumentieren:
1) Asymptotisch geht die Wellenfunktion gegen Null, d.h. auch das Absolutquadrat geht asymptotisch gegen Null. Da das Absolutquadrat jedoch strikt positiv ist, muss es sich der x-Achse von oben nähern, d.h. es muss von einem Maximum her kommen. Damit ist das rechte Extremum sicher ein Maximum.
2) Das zweite Extremum muss dann ein Minimum sein, es entspricht nämlich dem Knoten der Wellenfunktion bei x = 2 (logischerweise kann das Absolutquadrat in der Nähe von x = 2 nicht kleiner als Null sein, also muss dort ein Minimum vorliegen).
So kommst du ohne Rechnung aus.
Wir haben jedoch noch ein Maximum übersehen, nämlich bei x = 0. Dieses finden wir nicht mittels der Ableitung, da die Wellenfunktion und ihr Absolutquadrat dort eine negative Steigung haben; da jedoch x < 0 für eine Radialkoordinate verboten ist, liegt bei x = 0 dennoch ein Maximum vor.
(Dieses Maximum ist in gewisser Weise irrelevant, da bei Integration der Wsk-Dichte über ein Volumen integriert wird, und dabei erhält man ein dx dy dz ~ dr r². D.h. das Absolutquadrat hat bei x = 0 zwar ein Maximum, die Wahrscheinlichkeit ist in dem Bereich dennoch klein).
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 20. Sep 2022 13:52 Titel: |
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Super, vielen vielen Dank für diese zusätzliche Erklärung.
Wenn ich das mathematisch durchführe, also die 2. Ableitung bilde, bekomme ich eben wieder die Werte x=2 und x=4
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2022 14:48 Titel: |
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Nee, die zweite Ableitung f''(x) liefert dir nicht die Werte x=2 und x=4, die findest du über die erste Ableitung f'(x) = 0.
f''(x) liefert dir an den beiden gefundenen Werten ein Vorzeichen, d.h. wenn f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann liegt bei x ein Maximum vor.
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frage1
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| frage1 Verfasst am: 20. Sep 2022 15:04 Titel: |
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Achhh, stimmt, das ist ja quasi die Krümmung. Wir haben einen positiven Wert bekommen, d.h. es existieren 2 Minima.
Edit: Um herauszufinden an welcher Stelle, müsste ich ja in die 2.Ableitung irgendeinen Wert einsetzen oder? Wie funktioniert das noch einmal?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2022 17:15 Titel: |
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Nochmal:
Den Ort eines Extremums findest du mittels Nullsetzen der ersten Ableitung f'(x) = 0 und Lösung dieser Gleichung für x.
Den Typ eines Extremums, d.h. ob, Minimum, Maximum oder Sattelpunkt findest du mittels des Wertes der zweiten Ableitung f''(x) am zuvor gefundenen Ort des Extremums, d.h. f''(x) > 0 bedeutet Minimum, f''(x) < 0 Maximum, f''(x) = 0 Sattelpunkt.
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frage1
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| frage1 Verfasst am: 20. Sep 2022 18:26 Titel: |
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Ja, das heißt ja dann dass der Ort x=2 und x=4 ist, da die 1.Ableitung und nach x auflösen mir die Werte 2 und 4 liefern. Und dann muss ich ja nochmal ableiten. Muss ich dann die werte x=2 und x=4 in die 2. Ableitung einsetzen? Das ist noch nicht klar. Ich weiß ja, dass die KRÜMMUNG mir auskunft gibt, ob Min. Max. oder Sattelpunkt. Wenn ich die 2. Abltg. bilde, dann kommt ja nicht wirklich eine Zahl raus, sondern das was ich unten hochladen habe.
Zuletzt bearbeitet von frage1 am 21. Sep 2022 08:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Sep 2022 22:04 Titel: |
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Also nochmal:
Gegeben ist f(x).
Erste Ableitung gleich Null setzen f'(x) = 0.
Das liefert Lösungen x = a, b, c ..., d.h. die Extrema.
Diese Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen, also f''(a), f''(b), f''(c) ... berechnen und auf > 0, < 0 und = 0 testen.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 21. Sep 2022 01:06 Titel: |
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Also so?
Ich hab das Gefühl, dass meine Rechnung wieder nicht passt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2022 06:17 Titel: |
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Deine zweite Ableitung ist falsch.
Wenn du schreibst
 \, (4-x) \, e^{-x} = u v w)
dann folgt mittels Produktregel
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 21. Sep 2022 08:26 Titel: |
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Ich hoffe, dass es jetzt passt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2022 09:03 Titel: |
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Du würfelst die Vorgehensweise, oder?
Gewöhne dir doch an, das explizit zu schreiben, nicht manchmal das Vorzeichen in einen Term reinzuziehen, und insbs. immer gleich vorzugehen. Beispiel
(4-x) \partial_x e^{-x} = -(2-x)(4-x) (-) e^{-x} = (2-x)(4-x) e^{-x} )
Da du nur das Vorzeichen benötigst, kannst du zuletzt die (immer positive) e-Funktion weglassen, d.h. du betrachtest nur noch
 = x^2 - 8x + 14)
Ansonsten ja, passt.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 21. Sep 2022 12:17 Titel: |
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@frage1: Nur ein Hinweis: Aus f'(x)=0 und f''(x) = 0 folgt nicht, dass die Funktion bei x einen Sattelpunkt hat. Ein Gegenbeispiel wäre f(x) = x^4 an der Stelle x=0. Entscheidend ist, ob f' zwischen den Nullstellen das Vorzeichen wechselt.
Viele Grüße,
Nils
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 21. Sep 2022 12:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wir haben jedoch noch ein Maximum übersehen, nämlich bei x = 0. Dieses finden wir nicht mittels der Ableitung, da die Wellenfunktion und ihr Absolutquadrat dort eine negative Steigung haben; da jedoch x < 0 für eine Radialkoordinate verboten ist, liegt bei x = 0 dennoch ein Maximum vor.
(Dieses Maximum ist in gewisser Weise irrelevant, da bei Integration der Wsk-Dichte über ein Volumen integriert wird, und dabei erhält man ein dx dy dz ~ dr r². D.h. das Absolutquadrat hat bei x = 0 zwar ein Maximum, die Wahrscheinlichkeit ist in dem Bereich dennoch klein). |
Entschuldige, dass ich wieder einmal reinfunke, ich möchte auch nicht wieder Verwirrung stiften. Aber genau bei diesem Punkt habe ich immer wieder von Neuem einen "Knopf im Kopf".
Dass die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte W(r) mit
\,dr=4\pi |\Psi(r)|r^2\,dr)
im Ursprung gegen null geht, ist mir klar.
Aber die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron in einem bestimmten kleinen Volumen ∆V zu finden, ist doch beim Ursprung am grössten, da näherungsweise
=|\Psi(\vec{r})|^2\Delta V)
unabhängig davon, ob Psi durch Kugelkoordinaten oder andere ausgedrückt ist?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2022 12:49 Titel: |
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Ja, danke für die Ergänzung!
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 21. Sep 2022 15:16 Titel: |
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Erstmal will ich mich bei allen bedanken für die ganzen Erklärungen. Danke TomS, Nils Hoppenstedt, Myon!
Ich hätte dazu noch einige Fragen: bei r=0 haben wir ja ein Maximum. Aber wie hätte ich das erkennen sollen? Rechnerisch kann man's ja nicht zeigen. Muss man sich die Wellenfunktion von 2s, 2p usw. auswendig merken? Ich hab mir die Radialwellenfunktion vom 2s-Orbital angeschaut und die Funktion hat bei r=0 immer ein Maximum. Soll man sich das merken oder muss man es verstehen?
Außerdem gibt mir die Radialwellenfunktion nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Wie kann ich dann anhand der radialwellenfunktion sagen, wo sich das Maximum befindet? Meine Ideen dazu sind: Radialwellenfunktion gibt mir an wo sich das elektron mit großer wahrscheinlichkeit befindet, die radiale Wahrscheinlichkeit gibt mir die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron in einem bestimmten Volumenselement (z.B. Kern) zu finden. Die Wahrscheinlichkeit das Elektron in einem bestimmten Volumensemelement zu finden kann ja auch 0 sein.
Ich weiß nicht, denke ich da richtig?
Noch eine letzte Frage: Warum ist mit r=0 der Kern gemeint? Es macht zwar sinn, dass sich das elektron mit hoher Wahrscheinlichkeit im Kern aufhält, aber wieso deutet r=0 auf den Kern hin? Denke ich da viel zu kompliziert?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2022 18:00 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Ich hätte dazu noch einige Fragen: bei r=0 haben wir ja ein Maximum. Aber wie hätte ich das erkennen sollen? Rechnerisch kann man's ja nicht zeigen. |
Man könnte es schon erkennen, indem man das Kriterium für Maxima von Funktionen in drei Dimensionen anwendet, d.h. man startet mit
 \,|\psi|^2 = 0)
aber das ist offensichtlich sehr kompliziert.
Also merkt man sich, dass das o.g. Kriterium für Maxima nicht unbedingt die Maxima findet, die am Rand eines Definitionsbereichs liegen, hier bei r = 0. Den Punkt muss man separat betrachten.
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Muss man sich die Wellenfunktion von 2s, 2p usw. auswendig merken? |
Nein, man kann jederzeit Tabellen benutzen, oder die Darstellung
 = N_{nlm} \, L^{2l+1}_{n-l-1}(2r/na) \, e^{2r/na}\,Y^m_l(\theta, \phi) )
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Soll man sich das merken oder muss man es verstehen? |
Na ja, beides.
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Außerdem gibt mir die Radialwellenfunktion nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Wie kann ich dann anhand der Radialwellenfunktion sagen, wo sich das Maximum befindet? |
Habe ich oben schon gesagt, die Frage in der Aufgabe ist falsch gestellt.
Die Wellenfunktion liefert dir das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte. Das ist durchaus eine sinnvolle Frage.
Du kannst aber auch die Frage nach der Wahrscheinlichkeit innerhalb von Kugelschalen stellen, die kannst du vergleichen (die Kugelschalen müssen identisches Volumen haben. Dazu musst du das Volumenintegral über diese Kugelschalen bilden. Es ist halt eine andere Frage.
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | ... die radiale Wahrscheinlichkeit gibt mir die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron in einem bestimmten Volumenelement (z.B. Kern) zu finden. |
No.
die Wahrscheinlichkeit dp in einem kleinen Volumen dV ist
und für Wellenfunktionen mit l = m = 0 gilt
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Warum ist mit r=0 der Kern gemeint? |
Das Modell besagt schlicht und einfach, dass ein unendlich schwerer Kern bei r = 0 sitzt.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 22. Sep 2022 15:17 Titel: |
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Ich muss all deine Erklärungen mal verinnerlichen. Vielen vielen Dank!
Und noch eine Frage: Wie muss ich die Radialwellenfunktion bzw. radiale Wahrscheinlichkeitsverteilung skizzieren?
Die Extrempunkte der radialen Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Nullstellen der Radialwellenfunktion, oder? Wie kann ich mir das erklären? Dort wo eine Nullstelle bei der Radialwellenfunktion is, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens am größten, richtig?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. Sep 2022 15:49 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Wie muss ich die Radialwellenfunktion bzw. radiale Wahrscheinlichkeitsverteilung skizzieren? |
Einfach mal die Google-Bildersuche zu hydrogen wave function bemühen ;-)
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Die Extrempunkte der radialen Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Nullstellen der Radialwellenfunktion, oder? |
Wie kommst du darauf?
Für die Radialwellenfunktion psi und die Wahrscheinlichkeitsverteilung rho gilt doch
Die Nullstelle der einen ist auch die Nullstelle der anderen.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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| frage1 Verfasst am: 23. Sep 2022 11:15 Titel: |
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Ich glaube ich verwechsle da alles. Ich hab´ dazu eine ähnliche Aufgabe gelöst, könntest du da auch noch einen Blick werfen. Da muss ich die Funktionen skizzieren. Ich dachte, dass ich bei der obigen Aufgabe genauso vorgehen muss. Denn bei dieser Aufgabe (siehe Anhang) ist es ja so, dass die Extrempunkte der radialen Wahrscheinlichkeitsverteilung dNullstellen der Radialwellenfunktion entsprechen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 23. Sep 2022 13:50 Titel: |
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| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Denn bei dieser Aufgabe (siehe Anhang) ist es ja so, dass die Extrempunkte der radialen Wahrscheinlichkeitsverteilung die Nullstellen der Radialwellenfunktion entsprechen. |
Es gibt zwei Arten von Extrema - Minima und Maxima.
Im Falle der nicht-negativen Funktion wie der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind Nullstellen der Wellenfunktion natürlich automatisch Minima der Wahrscheinlichkeitsverteilung, das sieht man wie folgt:
Extremum der Wahrscheinlichkeitsverteilung mittels
Dabei ist
Berechne
Wenn also
dann auch
Die Maxima der Wahrscheinlichkeitsverteilung haben mit den Nullstellen jedoch nichts zu tun.
Korrigiert: ... hier ist es ja so, dass die Minima der radialen Wahrscheinlichkeitsverteilung die Nullstellen der Radialwellenfunktion entsprechen.
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