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Nachricht |
simone0605
Anmeldungsdatum: 03.05.2015
Beiträge: 51
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 simone0605 Verfasst am: 10. Jun 2015 03:24 Titel: Maximalwert der Lösung einer DGL |
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Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,
ich soll für die Lösung x(t) = K /(Wo^2 -W^2) * (cos(Wo*t)- cos(W*t))
der DGL einer erzwungenen Schwingung den Maximalwert Xm 'explizit berechnen'.
[W = omega, K=Konstante]
Meine Ideen:
Wenn ich Zahlen für K, Wo und W einsetze und Graph plotte,erhalte ich tatsächlich einen periodischen Graph mit Maxima.
Mit der 1. Ableitung = 0 komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand helfen? |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7244
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| Steffen Bühler Verfasst am: 10. Jun 2015 09:42 Titel: |
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Verwende die Additionstheoreme bzw. überleg Dir, wie groß die Differenz zweier Cosinusschwingungen maximal sein kann.
Viele Grüße
Steffen |
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simone0605
Anmeldungsdatum: 03.05.2015
Beiträge: 51
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| simone0605 Verfasst am: 10. Jun 2015 11:35 Titel: |
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Danke Steffen!
Die Differenz der Kosinuswerte ist maximal 2.
Aber woher weiß man, das die beiden Werte 1 und -1 für die einzelnen Kosinusterme überhaupt für irgendeine Zeit gleichzeitig vorkommen?
Zuletzt bearbeitet von simone0605 am 10. Jun 2015 12:06, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2015 11:38 Titel: |
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Kannst Du mal die Aufgabe im Originalwortlaut posten? Ich könnte mir nämlich vorstellen, dass eigentlich was anderes gefragt ist... |
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simone0605
Anmeldungsdatum: 03.05.2015
Beiträge: 51
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| simone0605 Verfasst am: 10. Jun 2015 11:45 Titel: |
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Wir betrachten ein anfangs neutrales Atom, das sich in einem elektrischen Wechselfeld in x-Richtung befindet, das durch Ex(t) = Exo cos(wt) beschrieben wird . Wir nehmen den Kern des Atoms als unendlich schwer an und betrachten die Auslenkung der leichteren Elektronen der Masse me.
Die Resonanzfrequenz der freien Elektronenschwingung sei wo.
....
b) Leiten Sie explizit einen Ausdruck für die maximale Auslenkung der Elektronen xm her.
.....
Hatte die gesamte Aufgabe unter 'Elektronenschwingung' schon einmal gestellt.
Die jetzige Frage ist nur der kleine Rest. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2015 13:21 Titel: |
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Ok. Danke. Ich denke, dass Du nur die DGL lösen sollst und dann sagen sollst dass:
| simone0605 hat Folgendes geschrieben: |
Die Differenz der Kosinuswerte ist maximal 2.
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Dass dieser Wert auch tatsächlich angenommen wird, ist für mich gerade nicht so offensichtlich. Durch Plotten von paar Beispielen sieht man, dass dies tatsächlich der Fall ist. Vielleicht gibt es ein schönes Argument dafür, aber ich seh es gerade nicht. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7244
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| Steffen Bühler Verfasst am: 10. Jun 2015 13:25 Titel: |
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| simone0605 hat Folgendes geschrieben: | | Aber woher weiß man, das die beiden Werte 1 und -1 für die einzelnen Kosinusterme überhaupt für irgendeine Zeit gleichzeitig vorkommen? |
Erwischt: 
Für beliebige Werte von  und  lässt sich, soviel ich weiß, tatsächlich kein expliziter Ausdruck für die Maximalamplitude angeben. Und beispielsweise hat die Schwingung für  und  tatsächlich nur einen Wertebereich von etwa [-1,54;1,54].
Im allgemeinen betrachtet man aber Frequenzen, die relativ nah beieinander liegen, deren Abstand also weitaus kleiner ist als ihr Mittelwert. Nun formt man um:
So erhält man eine Schwingung der Summenfrequenz, die mit einer Schwingung der Differenzfrequenz in der Amplitude moduliert wird. Und dieses Modulationsprodukt hat dann einen Wertebereich [-2;2]. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2015 13:43 Titel: |
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Ah, ok. Jetzt hab ich's
Damit  gilt muss  fuer eine ganze Zahl k.
Einsetzen in den anderen Term (der -1 liefern soll) ergibt:
Lässt sich jetzt immer ein k finden, so dass dies gilt?
Die Antwort ist in der Tat "Nein" für beliebige Verhältnisse von w/w0 (insbesondere wenn diese Zahl irrational wird), allerdings kann man der -1 beliebig nahe kommen... |
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simone0605
Anmeldungsdatum: 03.05.2015
Beiträge: 51
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| simone0605 Verfasst am: 10. Jun 2015 14:30 Titel: |
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Danke euch beiden,
werde Xm = 2K als kleinste obere Schranke für die Auslenkung angeben.
Gruß Simone |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2015 14:38 Titel: |
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| simone0605 hat Folgendes geschrieben: |
werde Xm = 2K ... angeben.
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Das ist allerdings falsch. |
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simone0605
Anmeldungsdatum: 03.05.2015
Beiträge: 51
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| simone0605 Verfasst am: 10. Jun 2015 14:52 Titel: |
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es muss natürlich 2K /(Wo^2 -W^2) lauten :-) ?
Zuletzt bearbeitet von simone0605 am 10. Jun 2015 14:54, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2015 14:53 Titel: |
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simone0605
Anmeldungsdatum: 03.05.2015
Beiträge: 51
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| simone0605 Verfasst am: 10. Jun 2015 14:57 Titel: |
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Dein - leider nicht so schöner - Name neben meinem Thema bürgt - genau wie bei 'Pfirsischmensch' - immer dafür, dass ich weiterkomme.
Danke wieder einmal! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 10. Jun 2015 14:59 Titel: |
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| simone0605 hat Folgendes geschrieben: | | Dein - leider nicht so schöner - Name... |
hey
Trotzdem Danke für die Blumen |
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