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Masse-Feder-System
 
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GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 05. Jun 2015 21:07    Titel: Masse-Feder-System Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo Physiker,

ich bin neu hier und habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Eine Masse m_1 ist an eine Feder mit Ruhelänge a und Federkonstante k gebunden, die wiederum an eine Masse m2 gebunden ist. Die zweite Masse ist über eine identische Feder mit dem Boden verbunden. Die Massen können sich reibungsfrei entlang einer Stange senkrecht zum Boden bewegen und unterliegen der Schwerkraft.
Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systems auf und bestimmen Sie die Matrizen der kinetischen und der potentiellen Energie für Schwingungen um die Ruhelage.
Hier die Originalskizze der Aufgabenstellung:
http://www.fotos-hochladen.net/uploads/sheet7verschoqwe72g0zfp.jpg

Meine Ideen:
Die kinetische Energie:


und die potentielle Energie:



dann folgt die Lagrangefunktion:



Daraus folgt:

Daraus erhält man zwei Bewegungsgleichungen:


Leider weiss ich aus einer anderen Quelle dass die Bewegungsgleichungen lauten müssen:



Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Vielen Dank für jegliche Hilfe
erkü



Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414

Beitrag erkü Verfasst am: 06. Jun 2015 02:00    Titel: Re: Masse-Feder-System Antworten mit Zitat

GalvanisFrösche hat Folgendes geschrieben:

...
Leider weiss ich aus einer anderen Quelle dass die Bewegungsgleichungen lauten müssen:


grübelnd
Woher soll laut der "anderen Quelle" die doppelte Federsteife 2k kommen ?

Zitat:
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Ich kann keinen grundsätzlichen Fehler sehen.

_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk:
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 16:31    Titel: Antworten mit Zitat

Das wird nicht erklärt: nur folgendes....

http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/1axtcn6edq0f.jpg

grübelnd
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Jun 2015 16:40    Titel: Antworten mit Zitat

Mal davon abgesehen von ein paar Tipp(?)fehlen in Deinen Bewegungsgleichungen:
Deine potentielle Energie ist falsch.
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 16:51    Titel: Antworten mit Zitat

Sry für den einen Tippfehler:




So solltes es lauten.

Wie lautet dann die potentielle Enerige, wenn nicht:

Khaleb



Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64

Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 16:55    Titel: Wo ist die was in der hamiltonfunktion Antworten mit Zitat

1) wo steckt (im potential) Deiner lagrangefunktion die feder der masse m2
2) wo kommt in der potentiellen energie die ruhelage a der feder vor
3) wo kommt im potential die gravitation der erde vor?
Mir fehlt fas alles.
Am besten langsam vorgehen.
Potentielle energie der feder zwischen m2 und boden, potentielle energie der feder zwischen m1 und m2, potential der masse m2 auf grund der erdanziehung, potential der masse m1 auf grund der erdanziehung.


Zuletzt bearbeitet von Khaleb am 06. Jun 2015 17:02, insgesamt 2-mal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Jun 2015 16:59    Titel: Antworten mit Zitat

GalvanisFrösche hat Folgendes geschrieben:

Wie lautet dann die potentielle Enerige, wenn nicht:

Was ist das denn für eine potentielle Energie, die Du hier hingeschrieben hast?
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 17:01    Titel: Antworten mit Zitat

1) Die Masse m_2 hat die Masse m.
2) Ich dachte die kommt erst in der Lösung der Bewegungsgleichung vor.. Keine Ahnung, wie könnte man die Ruhelage einbringen??
3)Im Potential könnte man in der Tat einfügen:



dann hätte man auch über a die Ruhelage eingebracht smile
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 17:05    Titel: Antworten mit Zitat

Das Potential hatte ich mir folgendermaßen hergeleitet:


Wegen:



Daraus folgt:



Fehler?

und dann habe ich nur überlegt wie sich die Lage bei zwei bewegten Masse verändert und habe für
Khaleb



Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64

Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 17:06    Titel: Wann ist die feder entspannt.? Antworten mit Zitat

Welche bedingung müssen x1 und x2 erfüllen damit die feder zwischen m1 und m2 entspannt ist , also keine kraft ausübt und damit keine energie gespeichert hat ?
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Beide müssen sich in Ruhelage befinden...
Khaleb



Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64

Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 17:14    Titel: Formel Antworten mit Zitat

Kannst du das in eine formel fassen und in der angabe nachschauen ob die dir was darüber verrät?
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 17:23    Titel: Die einzelnen Potentiale Antworten mit Zitat

Potential Feder m_2 und Boden:



Potential Feder m_1 und m_2:



Potential m_2 Erdanziehung:



Potential m_1 Erdanziehung:

Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 17:24    Titel: Falls das zu viel auf einmal ist Antworten mit Zitat

Falls das noch zu viele schritte auf einmal sind: welche länge l soll die feder laut angabe haben, damit sie entspannt ist ? du verwechselst da was, a bezieht sich auf die feder ganz alleine, ohne gravitation oder so
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

Die Länge a.
Khaleb



Anmeldungsdatum: 01.05.2015
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Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 17:33    Titel: Stimmt Antworten mit Zitat

Wie hängt die länge der feder zwischen m1 und m2 mit x1 und x2 zusammen? l = f(x1,x2) ? Also x1 ist die höhe der masse 1 über dem boden und x2 ist die höhe der masse 2 über dem boden und die feder ist an einem ende mit der masse 1 verbunden und am anseren ende mit der masse 2. Das ist jetzt unabhängig davon ob die feder entspannt ist oder nicht!
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 18:04    Titel: Als nächstes Antworten mit Zitat

Als nächstes wollen wir dann einen ausdruck für die in einer feder gespeicherten potentiellen energie finden, als funktion ihrer länge l und mit der ruhelage a und der federkonstante k als parameter also einen formel v = V( l, k, a). Wenn die länge l gleich a ist ist die feder entspannt und v = 0, die potentielle energie steigt mit dem quadrat der differenz der länge von der ruhelänge und zwar mit dem proportionalitätsfaktor k, wie würdest du das in eine formel packen?
erkü



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Beitrag erkü Verfasst am: 06. Jun 2015 19:00    Titel: Re: Masse-Feder-System Antworten mit Zitat

erkü hat Folgendes geschrieben:
GalvanisFrösche hat Folgendes geschrieben:

...
...

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Ich kann keinen grundsätzlichen Fehler sehen.

Haue / Kloppe / Schläge ok, jetzt sehe ich den Fehler !




potenziale.png
 Beschreibung:
 Dateigröße:  10.2 KB
 Angeschaut:  7588 mal

potenziale.png



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Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 19:11    Titel: Falsch Antworten mit Zitat

Erkü, bei dir sind die federn entspannt und damit ohne gespeicherte energie wenn sie länge null haben, aber laut angabe und wie galvanisfrösche geschrieben hat sollte die energie null sein wenn die federn die länge a haben. Und ausserdem bestimmt x1 nicht direkt eine federlänge. Herumraten ist nicht beispiel lösen. Man muss das auf ganz kleine schritte herunterbrechen und jeden einzelnen davon verstehen. Erst wenn man sehr geübt sit sollte man wenn überhaupt mehrere schritte zusammenfassen.

Zuletzt bearbeitet von Khaleb am 06. Jun 2015 19:20, insgesamt einmal bearbeitet
Khaleb



Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64

Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 19:19    Titel: Formel für potentielle energie einer feder Antworten mit Zitat

Also, die potentielle energie einer feder mit federkonstante k und der länge l die bei der länge a entspannt und damit energielos ist lautet wie gewünscht ist die potentielle energie bei l=a genau null. l -a ist was galvanisfrösche oben als x bezeichnet. Jetzt muss man noch den zusammenhang zwischen den längen der beiden federn und x1 sowie x2 finden und dann einsetzen.
erkü



Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414

Beitrag erkü Verfasst am: 06. Jun 2015 19:26    Titel: Antworten mit Zitat

@ Khaleb

Die Nulllänge von Federn und sonstige Nulllagen (Ruhelagen) interessieren mich nicht.
Zunge
Ich konzentriere mich auf die (absoluten) Wechselgrößen !

_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk:
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 19:33    Titel: Schön für dich Antworten mit Zitat

Ist jetzt nur die frage wieso deine formel dann falsch ist, denn von x1 alleine hängt leider keine federlänge und damit auch kein federpotential ab.
Wenn später was wegfällt schafft das der lagrangeformalismus von ganz alleine.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Jun 2015 19:37    Titel: Re: Schön für dich Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:

Wenn später was wegfällt schafft das der lagrangeformalismus von ganz alleine.

Oder man definiert sich x1 und x2 von vorneherein als Auslenkung aus der Gleichgewichtslage.. aber wieso einfach wenn es auch kompliziert geht Augenzwinkern
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 06. Jun 2015 19:48    Titel: Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Also, die potentielle energie einer feder mit federkonstante k und der länge l die bei der länge a entspannt und damit energielos ist lautet wie gewünscht ist die potentielle energie bei l=a genau null. l -a ist was galvanisfrösche oben als x bezeichnet. Jetzt muss man noch den zusammenhang zwischen den längen der beiden federn und x1 sowie x2 finden und dann einsetzen.


Ist das schon die potentielle Energie für beide Federn, also ?

Ich müsste trotzdem durch ein bzw. ersetzen, da dies doch die generalisierten Koordinaten sind oder nicht?
Khaleb



Anmeldungsdatum: 01.05.2015
Beiträge: 64

Beitrag Khaleb Verfasst am: 06. Jun 2015 21:36    Titel: Das kommt darauf an was x1 und x2 bedeuten Antworten mit Zitat

Aus der schlampigen zeichnung geht das nicht hervor, da gibts weder koordinatensysteme mit pfeilen, nicht mal eine richtung ob x2 jetzt nach oben oder nach unten gezählt werden soll.Ich interpretiere x2 als die höhe der masse m2 über grund um x1 als die höhe der masse 1 über grund, d.h ich habe ein koordinatensystem wo nach oben zeigt und vom boden aus weggezählt wird. Natürlich kann man jederzeit transformieren, d.h. Ich kann auf koordinaten übergehen wo bei vond dort weggezählt wird wo beide federn entspannt sind, also von a und 2a weg, und wieder nach oben positiv. Oder ich kann von den beiden punkten Der gleichgewichtslage wegzählen, wobei die feder zwischnen m2 und boden von beiden massen nach u ten gedrückt wird, und von dort ausgehend die feder zwischen m1 und m2 von der gewichtskraft der masse m1 zusammengepresst. Das sind einfache koordinatentransformationen und als solche ein eigener rechenschritt. Ich bevorzuge zuerst mal die allererste intepratation.
Als gilt für die Feder zwischen m2 und boden l = x2 und und für die in der feder zwischen m1 und m2 l = x1-x2 und für die gespeicherten energie gilt. Wie das in der angabe gemeint ist must du allerdings selbst wissen. Die von mir gewählten koordinaten sind halt die höhen über grund und die potentiale sind die tatsächlich in den federn gespeicherten energien und nicht irgendwelche abstrakten rechengrössen.
GalvanisFrösche



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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 11:17    Titel: Vorschlag angenommen. Antworten mit Zitat

Ok ich nehme deinen Vorschlag an und wähle das KO-System so. Dann habe ich folgende Potentiale:








oder ist das zu viel / zu wenig?

Das Gesamtpotential wäre dann

Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 11:56    Titel: Gravitationspotential passt noch nicht Antworten mit Zitat

Das gravitationspotential ist, wenn man das gravitationsfeld näherungsweise als konstant auffasst, mgh mit h als höhe über dem bezugsniveau. Als bezugsniveau würde ich wieder den erdboden nehmen, damit wird für masse1 das gravitationspotential und analog ,Oder?

Zuletzt bearbeitet von Khaleb am 07. Jun 2015 12:27, insgesamt einmal bearbeitet
GalvanisFrösche



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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 12:26    Titel: Re: Gravitationspotential passt noch nicht Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Das gravitationspotential ist, wenn man das gravitationsfeld näherungsweise als konstant auffasst, mgh mit ha als höhe über dem bezugsniveau. Als bezugsniveau würde ich wieder den erdboden nehmen, damit wird für masse1 das gravitationspotential und analog ! Oder?


Macht Sinn!

Die Lagrangefunktion lautet also

und dann wären die Bewegungsgleichungen...



=>
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 14:21    Titel: Transformationen renormierungen matrizen Antworten mit Zitat

Jetzt kan man, wenn man lustig ist, noch koordinatentransformationen durchführen, zum beispiel könnte man die auf die rubelagen beziehen die sich dort befinden wo die beschleunigungen verschwinden. Unter umständen kanmn man auch realtiv zu messen mit der länge der feder zwischen m1 und m2 in rubelage als nullpunkt, was dann die formel für die kinetische enrgie ändert. Und man kann die potentiellen energien renormieren indem man konstante terme hinzufügt oder abzählt, wenn sich dadurch etwas vereinfacht. Laut angabe sind ja matrizen der kinetischen und der potentiellen energie gefragt, also matrizen von quadratischen formen der zeitableitungen der koordinaten bzw. Der koordinaten, oder ?
GalvanisFrösche



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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 14:44    Titel: Re: Transformationen renormierungen matrizen Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Laut angabe sind ja matrizen der kinetischen und der potentiellen energie gefragt, also matrizen von quadratischen formen der zeitableitungen der koordinaten bzw. Der koordinaten, oder ?


Ja genau.
Als Matrix wäre dies dann so

für



wenn ich mich nicht täusche...
Leider ist der Ausdruck etwas unglücklich wegen -ak und mg aber ist halt so...
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 15:40    Titel: Das sind zwar matrizen Antworten mit Zitat

Also du hast jetzt zwar die bewegungsgleichungen in matrixform aufgeschrieben, aber als matrizen der kinetischen energie und der potentiellen energie hätte ich mir etwas erwartet wie und erwartet, oder? grübelnd (konstanten in der potentiellen energie kann man durch renormierung wegbringen)
GalvanisFrösche



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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 15:58    Titel: Re: Das sind zwar matrizen Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Also du hast jetzt zwar die bewegungsgleichungen in matrixform aufgeschrieben, aber als matrizen der kinetischen energie und der potentiellen energie hätte ich mir etwas erwartet wie und erwartet, oder? grübelnd (konstanten in der potentiellen energie kann man durch renormierung wegbringen)


Meins ist eine äquivalente Schreibweise weil doch:


in der Lagrangefunktion geschrieben werden kann als:


wobei die und Matrizen sind.

Aber wie würdest du es denn aufschreiben, wenn nicht so ? - Man soll ja eine allgemeine Lösung finden und in meiner Schreibweise, könnte man dann als allgemeine Lösung:


und als spezielle Lösung irgendwas wie -ak + mg oder so nehmen...

k.a. grübelnd Ich glaube das geht smile
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 16:33    Titel: Eine Lösung finden ist auch gefragt? Antworten mit Zitat

Ich seh in deinem ersten posting nicht dass man die gleichungen auch lösen soll, da steht nur dass man die matrizen der energien bestimmen soll. Ich denke die glieder erster ordnung in der potentiellen energie meiner formel (die ) bekommt man mit einer transformation weg( in der kinetischen energie ändert sich dadurch nix weil die konstanten bei der zeitableitung rausfallen), und die entstehenden neuen konstanten glieder eliminiert man wieder mit einer renormierung der potentiellen energie weg ( in dem man sie einfach weglässt), würd mich interessieren was da rauskommt. Also man setzt die als unbekannte an und bestimmt sie so dass die linearen glieder in den wegfallen.
GalvanisFrösche



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Beiträge: 22

Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 17:04    Titel: Re: Eine Lösung finden ist auch gefragt? Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Ich seh in deinem ersten posting nicht dass man die gleichungen auch lösen soll, da steht nur dass man die matrizen der energien bestimmen soll.

Stimmt! Habs irgendwie durcheinander gebracht..

Ok dann habe ich das so gemacht und erhalte:



Aber was vereinfacht sich dadurch?
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 17:44    Titel: Die potentielle enenergie soll sich vereinfachen Antworten mit Zitat

Galvanisfrosch, die potentielle energie soll sich vereinfachen zu also nur produkte von enthalten und keine terme mit alleine durch die koordinatenverschiebung. Rauskommen sollte meiner meinung nach dass du in die gleichgewichtslagen verschieben musst, denk ich. smile (und in den bewegungsgleichungen haben dir doch diese konstanten terme Irgendwie nicht gefallen, oder?)
GalvanisFrösche



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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 18:22    Titel: Re: Die potentielle enenergie soll sich vereinfachen Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Galvanisfrosch, die potentielle energie soll sich vereinfachen zu also nur produkte von enthalten und keine terme mit alleine durch die koordinatenverschiebung. Rauskommen sollte meiner meinung nach dass du in die gleichgewichtslagen verschieben musst, denk ich. smile (und in den bewegungsgleichungen haben dir doch diese konstanten terme Irgendwie nicht gefallen, oder?)


Ich verstehe leider nicht was du meinst Hilfe

Wo soll ich jetzt was ersetzen. Soll ich in die potentielle Energie dies einsetzen oder was soll ich tun?
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 18:41    Titel: Genau Antworten mit Zitat

Du setzt in der Formel für die potentiell energie ein und bestimmts die dann so dass die linearen glieder in den verschwinden.
GalvanisFrösche



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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 07. Jun 2015 18:58    Titel: Re: Genau Antworten mit Zitat

Khaleb hat Folgendes geschrieben:
Du setzt in der Formel für die potentiell energie ein und bestimmts die dann so dass die linearen glieder in den verschwinden.



dann kann man noch ausmultiplizieren...aber das wird nur unschön:

wenn ich nichts falsch gemacht hab..Vielleicht geht das eleganter mit Summationszeichen
Ich bin immer noch ratlos was dann zu tun ist..?
Khaleb



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Beitrag Khaleb Verfasst am: 07. Jun 2015 21:00    Titel: Jetzt hast du 2 möglichkeiten Antworten mit Zitat

Also, in beiden möglichkeiten streichts du In deiner formel für V zuerst alle terme die konstant sind, also nicht von und abhängen. Deine begründung dafüri ist: ich renormiere die potentielle energie um einen konstanten wert, eben die summe aller eben gestrichenen terme.

Dann kommt möglichkeit 1: du bist an den konkreten werten der interessiert. Dann musst du zuerst die summe der terme die nur in der ersten potenz haben herausnehmen (koeffizientenvergleich) und null setzen und bekommst die erste gleichung für die . das selbe machst du mit den termen die nur in der ersten potenz enthalten und bekommst die 2.gleichung. Dieses lineare gleichungssystem löst du und bekommst die beiden . Jetzt hast du die komplette punkttransformation. Die potentielle energie mit diesen werten hat dann keine linearen terme in . Wenn du die werte für in die ursprüngliche bewegungsgleichung einsetzt solltest du sehen dass an dieser stelle die beschleunigung verschwindet und du genau auf die gleichgewichtslage transformiert hast.

Möglichkeit 2 ist die faule: du bist an den konkreten werten der nicht interessiert. Du nimmst an das sich ergebende gleichungssystem für die von oben sei lösbar und du hättest die werte ausgerechnet und streichst mit dieser begründung die terme die linear in sind weil die ja genau das null werden der summe dieser terme bewirken.

Jedenfalls sieht dann die potentielle enenergie folgendermassen aus (genau deine obige formel nur sind die konstanten und die in linearen terme gestrichen):
schaut doch gleich viel einfacher aus, nicht? Wenn du damit die bewegungsgleichungen bildest siehts du dass bei die beschleunigung verschwindet und das daher die gleichgewichtslage ist. Ah ja, und Diese formel der potentiellen energie musst du noch in matrixform bringen.
GalvanisFrösche



Anmeldungsdatum: 05.06.2015
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Beitrag GalvanisFrösche Verfasst am: 08. Jun 2015 09:00    Titel: Antworten mit Zitat

Gut Danke dann kam man tatsächlich auf die oben erwähnte Bewegungsgleichung
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