Berechnung von Minima bei Lautsprechern

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

so, hello alle zusammen =)

Ich habe am Freitag eine Klausur geschrieben, und da ich zurzeit Ferien habe, werde ich wohl nicht an die Lösungen kommen, aber wozu hat man ja euch^^

Es geht um die angehängte Anordnung (man möge mir meine bescheidenen Paint Künste vergeben^^), ich hoffe, dass ich alles noch richtig in Erinnerung habe, auch bei der Frequenz bin ich mir recht sicher, weil die Wellenlänge 2m war imho.

Also kurz gesagt sind da zwei Lautsprecher, die phasengleich mit der Frequenz 170Hz betrieben werden. Und bei der Gerade mit x=16m ist ein Mikrophon, das entlang dieser bewegt wird (in unserem Fall nach oben), anfangend beim Punkt Q. (die Angaben sind natürlich alle in Meter)
Und nun die Teilaufgaben, bei denen ich nicht weiterkam (zumindest nicht in der Zeit, die mir zur Verfügung stand)

- Berechne alle Minima, die das Mikrophon misst auf dem Weg zum Punkt P

- Warum ist Punkt P das letzte Minimum und es wird kein weiteres registriert, wenn das Mikrophon weiter die Gerade entlangbewegt wird?

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soviel dazu, nun meine Ansätze

es gilt : Minimum immer dann, wennn der Gangunterschied der zwei Schallwellen gleich

mit

ist wie schon gesagt 2m groß. Nun benenne ich also den Schallweg des unteren Lautsprechers mit s und des oberen mit d und behaupte also

Der Wert von s, bzw d, lässt sich über den Pythagoras berechnen, wobei gilt:

, weil die Lautsprecher ja jeweils 6m unter, bzw über dem Ursprung sind. Also erhalten wir den Ausdruck

und

Eingesetzt ergibt sich

soweit ging es noch. Jetzt die Schwierigkeit: Was genau habe ich davon? Ich könnte jetzt nach k auflösen, aber der geplottete Graph gibt irgendwie nichts her, was ich zu verwerten wüsste. Und nach y aufzulösen kann ich irgendwie nicht, da bin ich nicht mathematiker genug -.- Also komme ich hier nicht weiter, bzw kann meine Ergebnisse nicht verwerten.

und bei der zweiten Teilaufgabe scheitert es bei mir schon am Verständnis. Warum sollte es ab da kein Minimum mehr geben? Ich meine die zwei Wellen überlagern sich doch auch weiterhin und irgendwann sollte doch auch mal die Bedingung wieder erfüllt sein. Ich weiss, dass wir mal als HA auch eine ähnliche Aufgabe hatten, nur, dass da die Formel irgendwann ins Negative geht und man argumentierte, dass ab da kein positives k mehr möglich ist. (wobei auch das mir schleierhaft ist, Gangunterschied kann doch genauso sein, wenn die eine Welle der anderen nachhinkt)

also bitte ich hier demütigst um Hilfe, um gegebene Fehler auszumerzen und mir das ganze auf physikalischer Ebene verständlich zu machen, weil sagen "ab da wird das negativ, das ist halt so" das kann ich au^^

gruß, bishop

€dit: Mittlerweile denke ich, dass mein Problem bei der ersten Aufgabe ist, dass ich die nicht nach y aufgelöst bekomme. Weil dann muss ich nur schauen, dass mein y nicht über 25 geht, und einfach alle ganzzhahligen ks ablesen.

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Man kann auch nach y auflösen. Der Ausdruck 2k-1 kann als konstant bezeichnet werden. Dazu musst du:

rechnen und dann auf beiden Seiten quadrieren (Auf rechter Seite binomische Formel anwenden). Dann kannst du y² und 6² und 16²
aus der Gleichung herausheben. Rechne dann + 12y und - (2k-1)².
Nochmaliges Quadrieren und Umformung zu einer quadratischen
Gleichung. Die kannst du mit der Mitternachtsformel auflösen.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

hmh, wahrscheinlich mache ich etwas falsch, aber ich bekomme den Wurzelausdruck nicht aus dem Binom heraus. Wenn ich umforme und quadriere, erhalte ich wie dus gesagt hast rechts ein Binom. Das aufgelöst bringt mir die Wurzel aber ins 2ab und hilft mir somit nicht sonderlich weiter...

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Wenn ich das richtig sehe, dann sagtest du, hast du, nach EINMALIGEM quadrieren (sofort!), immer noch eine Wurzel, da ja, wenn

nach dem quadrieren dort steht:

Jetzt hast du ja nur noch die Wurzel im Term 2ab (wie du sagst). Dort ist aber nur EINE Wurzel (a mal b kann ja zu einer Wurzel zusammengefasst werden).
Hast du jetzt mal versucht nach DIESER Wurzel umzustellen und dann NOCHMAL zu quadrieren? Dann hättest du ja keine Wurzel mehr - und kommst vielleicht zur Lösung.

Gruß
MI

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

hmh, stimmt, das war der fehler denke ich.. ich habe nämlich erst umgestellt, und dann quadriert. Ich setze mich nochmal ran..

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

so, dank der Hilfe aus dem Matheboard bin ich zumindest auf eine rechnerische Lösung gekommen
Demnach wäre das letzte Minimum bei (16|18,7), es wäre das vierte, und darüber hinaus hat die Funktion keine ganzzahligen ungeraden Lösungen mehr, was mir auch die zweite Frage beantwortet. Aber das wirft mich nun vor weitere Fragen, nämlich erstens wieder warum das so ist(aus physikalischer Sicht), und zweitens wo ich es mir viel zu kompliziert gemacht habe, weil es kann ja nicht der Ernst unserer Lehrerin sein, dass dieses Riesending, (das ich ja nichtmal aufgelöst bekomme) nur zwei Teilaufgaben sind.

bin immernoch ratlos...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der größte Gangunterschied, der hier vorkommen kann, ist der Abstand der beiden Lautsprecher (Der würde auf Punkten auf der Geraden durch die beiden Lautsprecher erreicht.)

Weil der Abstand zwischen den Lautsprechern 12 m und die Wellenlänge 2 m ist, ist der maximale Gangunterschied gleich sechs Wellenlängen, also gibt es auf jeder Seite sechs Minima (für k=1 bis k=6 und die hier nicht interessierenden k=-1 bis k=-6).

Zum Berechnen von Hand habe ich (ohne wie im Matheboard eleganterweise vorgeschlagen, 2z=2k-1 zu substituieren) die mittlerweile auch im Matheboard (von habac) noch vorgeschlagene Methode gewählt:
(Das ist genau der Weg, den Patrick oben beschrieben hat, nur dass man am Ende für die quadratische Gleichung gar nicht mal die Mitternachtsformel braucht.)

Also die eine Wurzel isolieren, dann quadrieren, dann vereinfachen und die übrig gebliebene Wurzel isolieren, wieder quadrieren, Terme zusammenfassen (erfreut feststellen, dass die linearen Terme in y sich aufheben) und eine Gleichung für y^2 erhalten:

Und nun für k=1 bis k=6 den Taschenrechner bemühen.

Das letzte Minimum erhält man also für k=6, das ist y=37,11 m

(Das vorletzte Minimum ist das für k=5 bei den von dir erwähnten 18,69 m)

Ich vermute also, der Punkt P lag laut Aufgabenstellung nicht bei (16 | 25), sondern weiter oben. (Oder ein anderer Zahlenwert der Aufgabenstellung könnte dir in der Erinnerung verrutscht sein).

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Die Umformung nach y ist also an und für sich gutartig, aber ich vermute, sobald man sich bei den vielen Termen ein kleines bisschen verrechnet (oder nicht den direktesten Weg geht, um die Wurzeln zu beseitigen), fühlt sie sich dann schnell auch mal bösartig an Augenzwinkern

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

aha, interessant. Lehrer

mir hat dann eben diese Info gefehlt, dass der Abstand der Lautsprecher von einander die Anzahl der Minima bestimmt. Kann man sich das irgendwie klarmachen? Weil mit diesem Beweis ließe sich die Aufgabe viel schneller lösen, nämlich weil man berechnet welches Minimum am Punkt P ist, und sagt, dass es eben soviele bis dahin sind, und warum keins mehr kommt sollte sich ja direkt aus dem Beweis ergeben

ich meine speziell dieses Zitat

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Am einfachsten siehst du das, wenn du dir das für die Punkte auf der Geraden überlegst, auf der die beiden Lautsprecher liegen:

In der Mitte ist der Gangunterschied Null, am oberen Lautsprecher ist der Gangunterschied 6 Wellenlängen, und an allen Punkten oberhalb des oberen Lautsprechers ist der Gangunterschied ebenfalls 6 Wellenlängen.

An dieser linearen Überlegung siehst du schnell, dass der Gangunterschied nicht größer sein kann als der Abstand der beiden Quellen, denn der Gangunterschied ist ja gerade der Weg, den die eine Welle mehr läuft als die andere.

Für alle anderen Punkte, also auch für die, die nicht auf obiger Gerade liegen, wird der maximale Gangunterschied nur angenähert, aber nicht ganz erreicht, da der Unterschied der schrägen Strecken immer kleiner ist als der Unterschied zwischen zwei Strecken auf derselben Gerade.

Am schönsten wird das ganze anschaulich, wenn du dir mal die Kurven aufmalst, auf denen die Punkte einen bestimmten Gangunterschied haben. (Oder ein Bild anschaust, in dem jemand diese Kurven gemalt hat, siehe z.B.:

http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/simulationen/11interferenz/interferenz_fendt.htm

). Dann stellt sich heraus, dass diese Kurven mit Punkten gleichen Gangunterschieds Hyperbeln sind.

Je größer der Gangunterschied wird, desto näher krümmt sich die zugehörige Hyperbel um den einen Lautsprecher, bis sie schließlich für den maximalen Gangunterschied zu einer Halbgeraden wird, die in diesem Lautsprecher anfängt.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

alles klar. Ich habs mir aufgemalt und kapiert. Interessant ist nur, dass wir uns sowas nie überlegt haben, sondern einfach den Fakt konstantiert haben, dass bei den Wannenexperimenten diese Hyperbeln auftauchten, und es je nach frequenz verschieden viele waren.

ich danke dir, damit hat es sich imo gelöst =)

und wie immer erspart einem etwas Verständnis eine lange Rechnung...