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Geodätengleichung (Potential durch Metrik)
 
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shipi



Anmeldungsdatum: 11.06.2022
Beiträge: 4

Beitrag shipi Verfasst am: 11. Jun 2022 16:07    Titel: Geodätengleichung (Potential durch Metrik) Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,
Es ist folgende Aufgabenstellung gegegebn.


Berechne die Geodätengleichungen einer 2-dimensionalen Fl ache (generalisierte
Koordinaten (u, x)), deren Metrik durch
ds^2 = f(x) du^2 + dx^2 (1)
gegeben ist. Bestimme f(x) so, dass die Trajektorien der 1-dimensionalen Bewe-
gung eines Massenpunktes im Potential V (x) den x-Komponenten von Geod aten
auf der oben definierten 2-dimensionalen Fl ?ache entsprechen.


Ich habe schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, da ich nicht verstehe inwiefern, dass eine Metrik darstellen soll bzw. ich darauf die Gleichung berechnen soll oder genauer gesagt, wie man bei dieser Aufgabe vorgehen muss.

Ich wäre dankbar, wenn ich paar Tipps bekommen würde!



Meine Ideen:
Ideen habe ich momentan nicht. Ich bin mir unsicher ob ich hier ein komplett neues Variationsproblem durchführen soll....
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2970

Beitrag index_razor Verfasst am: 11. Jun 2022 21:19    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist eine Metrik in dem Sinne, daß ein Tangentialvektor in der Fläche die Norm



besitzen soll. Oder anders formuliert, die Metrikkoeffizienten sind



Die Geodätengleichung kannst du am leichtesten aus den Euler-Lagrange-Gleichugen



und



mit der Lagrangefunktion erhalten.

_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt
shipi



Anmeldungsdatum: 11.06.2022
Beiträge: 4

Beitrag shipi Verfasst am: 11. Jun 2022 23:21    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Das ist eine Metrik in dem Sinne, daß ein Tangentialvektor in der Fläche die Norm



besitzen soll. Oder anders formuliert, die Metrikkoeffizienten sind



Die Geodätengleichung kannst du am leichtesten aus den Euler-Lagrange-Gleichugen



und



mit der Lagrangefunktion erhalten.






Hey,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ich verstehe nicht so ganz wie du auf die Metrik kommst. Also zum Beispiel:


[latex]g_{uu} = f(x)



Das ist ja ds/du*ds/du richtig oder liege ich hier falsch?
und zweitens verstehe ich nicht diesen Satz in der Aufgabenstellung: Bestimme f(x) so, dass die Trajektorien der 1-dimensionalen Bewe-
gung eines Massenpunktes im Potential V (x) den x-Komponenten von Geod aten
auf der oben definierten 2-dimensionalen Fläche entsprechen.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2970

Beitrag index_razor Verfasst am: 12. Jun 2022 07:49    Titel: Antworten mit Zitat

shipi hat Folgendes geschrieben:

Ich verstehe nicht so ganz wie du auf die Metrik kommst. Also zum Beispiel:





Die habe ich aus dem Linienelement abgelesen


.


Zitat:

und zweitens verstehe ich nicht diesen Satz in der Aufgabenstellung: Bestimme f(x) so, dass die Trajektorien der 1-dimensionalen Bewe-
gung eines Massenpunktes im Potential V (x) den x-Komponenten von Geod aten
auf der oben definierten 2-dimensionalen Fläche entsprechen.


Ich vermute du sollst die Geodätengleichung in der Ebene in die Form umschreiben. Dazu würde ich als erstes also mal die Geodätengleichung aufstellen.

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shipi



Anmeldungsdatum: 11.06.2022
Beiträge: 4

Beitrag shipi Verfasst am: 12. Jun 2022 14:41    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
shipi hat Folgendes geschrieben:

Ich verstehe nicht so ganz wie du auf die Metrik kommst. Also zum Beispiel:





Die habe ich aus dem Linienelement abgelesen


.


Zitat:

und zweitens verstehe ich nicht diesen Satz in der Aufgabenstellung: Bestimme f(x) so, dass die Trajektorien der 1-dimensionalen Bewe-
gung eines Massenpunktes im Potential V (x) den x-Komponenten von Geod aten
auf der oben definierten 2-dimensionalen Fläche entsprechen.


Ich vermute du sollst die Geodätengleichung in der Ebene in die Form umschreiben. Dazu würde ich als erstes also mal die Geodätengleichung aufstellen.




Hey,
verstehe nicht so ganz wie du auf die mittlere Formel kommst, also die mit der biomischen Formel und der Metrik. Also zum Beispiel wenn man guu berechnen will, würde man doch die Ableitung nach du bilden und ins quadrat nehmen bzw. die ableitung zweimal vom selben Term nehmen und multiplizieren, kenne das so.
Verstehe nicht so ganz, wie man bei dir auf den mittleren Term kommt...
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2970

Beitrag index_razor Verfasst am: 12. Jun 2022 15:20    Titel: Antworten mit Zitat

shipi hat Folgendes geschrieben:

verstehe nicht so ganz wie du auf die mittlere Formel kommst, also die mit der biomischen Formel und der Metrik. Also zum Beispiel wenn man guu berechnen will, würde man doch die Ableitung nach du bilden und ins quadrat nehmen bzw. die ableitung zweimal vom selben Term nehmen und multiplizieren, kenne das so.


Du mußt die Metrikkoeffizienten nicht berechnen. Die Metrik ist schon gegeben. Du mußt die Koeffizienten nur ablesen. Schau mal im Wikipedia-Artikel über die Erste Fundamentalform wie das geht. Da steht unter anderem:

Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:



Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:



Was anderes habe ich auch nicht gemacht.

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