RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Energieerhaltung beim harmonischen Oszillator
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik
Autor Nachricht
Max.1403



Anmeldungsdatum: 09.12.2021
Beiträge: 1

Beitrag Max.1403 Verfasst am: 09. Dez 2021 16:24    Titel: Energieerhaltung beim harmonischen Oszillator Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo, ich muss zeigen, dass beim harmonischen Oszillator der Energieerhaltungssatz gilt. Kann mir jemand bei der Aufgabe zeigen, wie ich diese Aussage beweisen soll? Danke im Voraus :)

Meine Ideen:
Mein Ansatz: d/dt E=0
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15880

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Dez 2021 16:40    Titel: Antworten mit Zitat

Welches Vorwissen hast du und Voraussetzungen sind gegeben. Wie setzt sich die Gesamtenergie zusammen? Kennst die Bewegungsgleichungen und deren Lösungen? ...

Elegantestes Argument: da die Lagrangefunktion L des ungedämpften harmonischen Oszillators invariant unter Zeittranslationen



ist, folgt mittels des Noether-Theorems die Erhaltungsgröße



Aber das meinst du wahrscheinlich nicht.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Max.104
Gast





Beitrag Max.104 Verfasst am: 09. Dez 2021 16:45    Titel: Antworten mit Zitat

Ich soll das anhand von Ekin und Epcot beweisen
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5112

Beitrag Myon Verfasst am: 09. Dez 2021 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst ja von einer harmonischen Schwingung



ausgehen mit omega^2=k/m. Wie gross sind denn in diesem Fall Ekin(t), Epot(t) und die Summe der beiden? Den Phasenverschiebungswinkel kann man auch weglassen, denn wenn für die Energieerhaltung gilt, dann gilt sie sicher auch für eine phasenverschobene Schwingung.
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 176

Beitrag gast_free Verfasst am: 10. Dez 2021 08:44    Titel: Antworten mit Zitat

Bei einem harmonischen Oszillator in der Mechanik gilt immer ein lineares Kraftgesetz:



Wirkt die Kraft auf eine Masse, wird diese beschleunigt. Hierdurch entsteht eine gleich große, aber entgegengesetzte Trägheitskraft.



Aus dem Kräftegleichgewicht leitet sich die Differentialgleichung für die Bewegung her.



Lösung.











Allgemeine Lösung.


Anfangsbedingungen.







Ort.



Geschwingkeit.



Gesamtenergie.






Q.E.D.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15880

Beitrag TomS Verfasst am: 10. Dez 2021 09:35    Titel: Antworten mit Zitat

Es funktioniert auch ohne explizite Lösung der Bewegungsgleichung.

Gegeben ist letztere, d.h.



sowie die Gesamtenergie



Für deren zeitliche Änderung folgt mittels Ableiten und Ausklammern



wobei das letzte Gleichheitszeichen aus der Bewegungsgleichung folgt.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 176

Beitrag gast_free Verfasst am: 10. Dez 2021 09:52    Titel: Antworten mit Zitat

@TomS: Setzt Du damit nicht das voraus, was Du beweisen möchtest? Es soll ja gezeigt werden das bzw. gilt.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3108

Beitrag index_razor Verfasst am: 10. Dez 2021 09:57    Titel: Antworten mit Zitat

gast_free hat Folgendes geschrieben:
@TomS: Setzt Du damit nicht das voraus, was Du beweisen möchtest? Es soll ja gezeigt werden das bzw. gilt.


wird nicht vorausgesetzt, sondern gezeigt. Die Voraussetzungen sind

1) und

2)

Jetzt leitest du 1) ab und setzt 2) ein.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15880

Beitrag TomS Verfasst am: 10. Dez 2021 09:59    Titel: Antworten mit Zitat

gast_free hat Folgendes geschrieben:
@TomS: Setzt Du damit nicht das voraus, was Du beweisen möchtest? Es soll ja gezeigt werden das bzw. gilt.

Ich setze die Bewegungsgleichung voraus, d.h. ich nehme an, dass ein harmonischer Oszillator vorliegt; dann benutze ich die Bewegungsgleichung, um für deren Lösungen dE/dt =0 zu zeigen; hier setze ich noch die Form von E voraus (die man aber auch aus den Bewegungsgleichungen rückwärts ermitteln kann *)

@index_razor war schneller

*) Edit: wenn die Bewegungsgleichung gegeben ist, dann multipliziert man diese mit und erkennt, dass ein totales Differential vorliegt; d.h. man konstruiert die Form von E aus der Bewegungsgleichung, man setzt sie nicht voraus

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 176

Beitrag gast_free Verfasst am: 10. Dez 2021 10:10    Titel: Antworten mit Zitat

O.K. verstanden. Ist ja elegant!
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3108

Beitrag index_razor Verfasst am: 10. Dez 2021 10:33    Titel: Antworten mit Zitat

Das Argument zeigt übrigens auch, daß das oben definierte E für alle Bewegungsgleichungen der Form erhalten ist, nicht nur für den harmonischen Oszillator. Aus diesem Grund bezeichnet man ja auch ein Kraftfeld der Form als "konservativ", also "(energie)-erhaltend". (Ich wundere mich auch immer wieder über Aufgaben, die verlangen eine Aussage für einen einzigen Spezialfall zu beweisen, die man ohne den geringsten Zusatzaufwand auch allgemein beweisen könnte.)
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik