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Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltung?
 
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Kelvin1995
Gast





Beitrag Kelvin1995 Verfasst am: 21. Nov 2021 02:02    Titel: Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltung? Antworten mit Zitat

Ich mache grade wahrscheinlich einen gedanklichen Fehler.

Mal angenommen ich habe folgendes Kraftgesetz zwischen zwei Teilchen entdeckt, wobei ich nur eine Raumdimension als Freiheitsgrad betrachte.




Dieses Gesetz würde das dritte newtonsche Axiom verletzen (wobei in der Elektrodynamik durchaus das Reaktionsprinzip nicht immer gültig ist) und damit gilt auch keine Impulserhaltung. Nun ist es aber invariant gegenüber einer räumlichen Translation und wenn es so eine Invarianz gibt, sollte auch die Impulserhaltung gelten.
Wo ist mein Fehler?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2750

Beitrag index_razor Verfasst am: 21. Nov 2021 07:37    Titel: Re: räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltun Antworten mit Zitat

Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben:
Nun ist es aber invariant gegenüber einer räumlichen Translation und wenn es so eine Invarianz gibt, sollte auch die Impulserhaltung gelten.
Wo ist mein Fehler?


Dieser Zusammenhang existiert im allgemeinen nur bei Translationsinvarianz der Wirkung.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15182

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 07:55    Titel: Antworten mit Zitat

… bzw. der Lagrangefunktion



Diese liefert bis auf ein Vorzeichen die von dir genannten Bewegungsgleichungen. Sie beschreibt für n = 2 zwei durch eine Feder gekoppelte Massen, die ansonsten kräftefrei sind. Sie ist außerdem invariant unter einer gemeinsamen Translation beider Koordinaten



Aus dieser Invarianz folgt die Erhaltung des Schwerpunktimpulses P mit





nicht jedoch des Relativimpulses zu



Das gilt auch für zwei unterschiedliche Massen.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
curious
Gast





Beitrag curious Verfasst am: 21. Nov 2021 11:17    Titel: Re: Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltun Antworten mit Zitat

Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben:
Dieses Gesetz würde das dritte newtonsche Axiom verletzen (wobei in der Elektrodynamik durchaus das Reaktionsprinzip nicht immer gültig ist)


kannst Du dafür ein Beispiel nennen?
Kelvin1995
Gast





Beitrag Kelvin1995 Verfasst am: 21. Nov 2021 11:38    Titel: Re: Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltun Antworten mit Zitat

curious hat Folgendes geschrieben:
Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben:
Dieses Gesetz würde das dritte newtonsche Axiom verletzen (wobei in der Elektrodynamik durchaus das Reaktionsprinzip nicht immer gültig ist)


kannst Du dafür ein Beispiel nennen?


Betrachte zwei Punktladungen und ein kartesisches Koordinatensystem. Zum Zeitpunkt t=0 befinden sich beide Ladungen am Koordinatenursprung. Die erste Ladung bewege sich entlang der x-Achse und die zweite Ladung entlang der y-Achse. Nehme dabei an, dass diese Ladungen irgendwie auf den Achsen festgehalten werden. Sie bewegen sich auf ne Art Schiene, ansonsten würden sie ja aufgrund ihrer gegenseitigen Wechselwirkung die Koordinatenachsen verlassen. Betrachte nun den magnetischen Anteil der Lorentzkraft die Ladung 1 auf 2 sowie Ladung 2 auf 1 ausübt. Du wirst feststellen, dass das Reaktionsprinzip nicht erfüllt ist.

@index_razor

Also gilt das Noether-Theorem nicht, weil meine Differentialgleichung nicht aus einem Variationsprinzip ableitbar ist?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15182

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 11:54    Titel: Re: Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltun Antworten mit Zitat

Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben:
Also gilt das Noether-Theorem nicht, weil meine Differentialgleichung nicht aus einem Variationsprinzip ableitbar ist?

Zunächst mal kannst du die Erhaltung des Schwerpunktimpulses für deinen Fall auch ohne Lagrangedichte explizit prüfen.

Ich sehe aktuell keine Lagrangedichte, die die Bewegungsgleichungen reproduziert, was nicht bedeuten muss, dass keine existiert; das ist eine andere Frage. Die meinige leistet das nur bis auf ein essenzielles Vorzeichen. Wenn eine solche existiert, dann würde sie die Translationsinvarianz brechen.

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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2750

Beitrag index_razor Verfasst am: 21. Nov 2021 12:04    Titel: Re: Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltun Antworten mit Zitat

Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben:

Also gilt das Noether-Theorem nicht, weil meine Differentialgleichung nicht aus einem Variationsprinzip ableitbar ist?


Ja, es gibt kein Potential V(x,y) mit



Also kannst du das Noether-Theorem nicht anwenden.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2750

Beitrag index_razor Verfasst am: 21. Nov 2021 12:07    Titel: Re: Räumliche Translationsinvarianz und keine Impulserhaltun Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Kelvin1995 hat Folgendes geschrieben:
Also gilt das Noether-Theorem nicht, weil meine Differentialgleichung nicht aus einem Variationsprinzip ableitbar ist?

Zunächst mal kannst du die Erhaltung des Schwerpunktimpulses für deinen Fall auch ohne Lagrangedichte explizit prüfen.


Der Gesamtimpuls ist ja gerade nicht erhalten, da



Die Frage war, wie das mit der Translationsinvarianz der Bewegungsgleichungen vereinbar ist.
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