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Schlauerpeter
Gast
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 Schlauerpeter Verfasst am: 28. Jun 2021 21:42 Titel: Radius von Kugel bestimmen |
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Meine Frage:
Eine große, nicht punktförmige Kugel (Masse m, Radius r) hängt an einem masselosen Faden der Länge l = 2r. Die Pendelanordnung wird ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen. Die Bewegung erfolgt zunächst reibungsfrei. Im tiefsten Punkt beträgt die Winkelgeschwindigkeit 0,7 rad/s, im höchsten Punkt beträgt die Winkelbeschleunigung 2,8 rad/s2.
a) Welchen Zahlenwert hat der Radius r der Kugel?
Meine Ideen:
Ich komm Eindach nicht drauf... habe die Formel für das Physikalische Pendel genommen, für das Massenträgheitsmoment das einer Kugel eingesetzt, nach r umgestellt.. doch bekomme eine Zahl jenseits der 100 m raus. Laut Lösung kommt hier 0,196 m raus... wie berechnet man diesen Wert?
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Schlauerpeter
Gast
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| Schlauerpeter Verfasst am: 28. Jun 2021 21:46 Titel: |
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b) Die Anordnung wird viskos gedämpft, nach 3 Schwingungen ist die Amplitude auf 1/20 der
Ausgangsamplitude gefallen. Bestimmen Sie zahlenmäßig die Werte für das logarithmische
Dekrement und die Abklingkonstante.
Den 2. Teil verstehe ich auch überhaupt nicht..
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 28. Jun 2021 22:06 Titel: Re: Radius von Kugel bestimmen |
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| Schlauerpeter hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Eine große, nicht punktförmige Kugel (Masse m, Radius r) hängt an einem masselosen Faden der Länge l = 2r. Die Pendelanordnung wird ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen. Die Bewegung erfolgt zunächst reibungsfrei. Im tiefsten Punkt beträgt die Winkelgeschwindigkeit 0,7 rad/s, im höchsten Punkt beträgt die Winkelbeschleunigung 2,8 rad/s2.
a) Welchen Zahlenwert hat der Radius r der Kugel?
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Aus den Angaben der maximalen Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung ergibt sich die Kreisfrequenz:
Dies kann man dann in die Formel für das physikalische Pendel einsetzen:
wobei für I das Trägheitsmoment einer (Voll?) Kugel zu nehmen ist. Das Ganze dann nach r auflösen.
So wäre zumindest mein Vorgehen.... funktioniert das nicht?
Viele Grüße,
Nils
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 29. Jun 2021 12:34 Titel: Re: Radius von Kugel bestimmen |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | ...
wobei für I das Trägheitsmoment einer (Voll?) Kugel zu nehmen ist. Das Ganze dann nach r auflösen
... |
Zwei Bemerkungen dazu:
1. Es fehlt der Steiner-Anteil
2. Es fehlt die Definition von d, wobei eine Skizze hilfreich gewesen wäre
Eine nicht punktförmige Masse kann eine beliebige Form haben. Da hier aber ein Radius angegeben ist, soll es sich wohl um eine Vollkugel handeln.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2021 13:16 Titel: Re: Radius von Kugel bestimmen |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Zwei Bemerkungen dazu:
1. Es fehlt der Steiner-Anteil
2. Es fehlt die Definition von d, wobei eine Skizze hilfreich gewesen wäre
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Danke für die Anmerkungen!
1. Ja, das war missverständlich formuliert. Ich meinte das Trägheitsmoment der Kugel bezüglich des Aufhängungspunkt (also inklusive Steineranteil).
2. d ist der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt der Kugel.
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 29. Jun 2021 16:27 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | 2. d ist der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt der Kugel. |
Ja natürlich. Das war wiederum von mir missverständlich oder sogar falsch formuliert. Was ich meinte: Wie groß ist d? 2r oder 3r? Ich hatte durch "Rückwärtsrechnen" d=3r gefunden. Das steht allerdings auch in der Aufgabenstellung. Man muss sie nur richtig lesen (was ich offenbar zunächst nicht konnte).
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Jun 2021 17:21 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Ja natürlich. Das war wiederum von mir missverständlich oder sogar falsch formuliert. Was ich meinte: Wie groß ist d? 2r oder 3r? Ich hatte durch "Rückwärtsrechnen" d=3r gefunden. Das steht allerdings auch in der Aufgabenstellung. Man muss sie nur richtig lesen (was ich offenbar zunächst nicht konnte). |
Ich hab mir über solche Details ehrlich gesagt noch gar keine Gedanken gemacht. Ich hatte eher den Eindruck, dass der Fragesteller die angegebene Winkelgeschwindigkeit des Pendels mit der Kreisfrequenz omega verwechselt hat und deshalb so unrealistische Werte herausbekommen hat. Daher wollte ich erstmal einen Hinweis geben, wie diese Größen zueinander in Beziehung stehen und die Reaktion abwarten. :)
Aber d = 3r macht natürlich Sinn.
Viele Grüße,
Nils
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 29. Jun 2021 19:00 Titel: |
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Mich verwirrt etwas, dass nur von einer Winkelgeschwindigkeit bzw. -beschleunigung die Rede ist. Die Geschwindigkeit, mit der der Faden um den Aufhängepunkt rotiert und die Geschwindigkeit, mit der die Kugel sich um sich selbst dreht, können aber nicht gleich sein. Offenbar wird vereinfachend angenommen, dass das doch der Fall ist. Kann man mit überschaubarem Aufwand abschätzen, wie groß der Fehler ist, den man damit macht?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 30. Jun 2021 10:55 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Die Geschwindigkeit, mit der der Faden um den Aufhängepunkt rotiert und die Geschwindigkeit, mit der die Kugel sich um sich selbst dreht, können aber nicht gleich sein. |
Warum nicht? Es geht doch um die Winkelgeschwindigkeit, oder?
Wenn der Faden einen bestimmten Winkel um die Aufhängeachse zurückgelegt hat, hat die Kugel in derselben Zeit denselben Winkel um seine parallel zur Aufhängeachse liegende Mittelpunktachse zurückgelegt. Am einfachsten vorstellbar, wenn man eine volle Umdrehung betrachtet.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2021 11:18 Titel: |
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Der obige Lösungsweg setzt eigentlich voraus, dass die Kugel fest an einer masselosen Stange befestigt ist, nicht an einem Faden.
Damit die Kugel hin- und herrotiert, muss ja ein Drehmoment auf die Kugel wirken. Das geht nur, wenn der Mittelpunkt der Kugel, der Befestigungspunkt der Kugel und der Aufhängepunkt des Fadens nicht auf einer Geraden liegen. Insofern sind die Winkelgeschwindigkeit von Faden und Kugel nicht gleich. Wie man den Fehler einfach abschätzen könnte, wüsste ich nicht. Er wird umso höher sein, je grösser das Verhältnis von Kugelradius zu Fadenlänge ist, und je grösser die Amplitude.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Jun 2021 15:32 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Damit die Kugel hin- und herrotiert, muss ja ein Drehmoment auf die Kugel wirken. Das geht nur, wenn der Mittelpunkt der Kugel, der Befestigungspunkt der Kugel und der Aufhängepunkt des Fadens nicht auf einer Geraden liegen. |
Interessant, so hab ich das noch gar nicht gesehen. Aber stimmt schon: damit die Kugel rotiert, muss der Faden immer ein bisschen in Richtung der senkrechten Mittellage gewölbt sein. D.h. der Abstand vom Aufhängepunkt zum Mittelpunkt der Kugel variiert mit der Zeit. Puh... ganz schön kompliziert.
Viele Grüße,
Nils
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 30. Jun 2021 20:48 Titel: |
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Hmm.., eigentlich hatte ich nicht gemeint, dass der Faden gewölbt ist. Wenn er masselos ist, solllte das nicht passieren. Aber -sofern es überhaupt eine stabile Schwingung gibt, und die Kugel nicht immer etwas rumtaumelt- so müsste die Auslenkung des Fadens immer grösser sein als diejenige der Kugel, sodass der Faden ein rücktreibendes Drehmoment auf die Kugel ausübt. Möglicherweise hat das Ganze auch eine gewisse Ähnlichkeit mit einem Doppelpendel. Man müsste dazu mal die Lagrange-Gleichung aufstellen.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 01. Jul 2021 12:54 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Man müsste dazu mal die Lagrange-Gleichung aufstellen. |
Ich hab es mal probiert:
Die Lagrange-Funktion setz sich zusammen aus der Rotationsenergie der Kugel, der translatorischen kinetischen Energie ihres Masseschwerpunktes und der potentiellen Energie im Gravitationsfeld
Die Höhe ist
 - r \cdot \cos \left( \beta \right))
wobei  die Auslenkung des Fadens und  die der Kugel aus der Ruhelage (senkrecht nach unten) ist.
Für die Geschwindigkeit des Massescherpunktes gilt
 \cdot \cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right)} \right])
Das ergibt
 \cdot \cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right)} \right] + g \cdot l \cdot \cos \left( \alpha \right) + g \cdot r \cdot \cos \left( \beta \right)
<br />
)
und somit
 \cdot \cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right)} \right] \\
<br />
+ l \cdot r \cdot \dot \beta ^2 \cdot \left[ {\sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \beta \right) - \cos \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right)} \right] + g \cdot l \cdot \sin \left( \alpha \right) \\
<br />
\end{array} \right\} = 0
<br />
)
und
 \cdot \cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right)} \right] \\
<br />
+ l \cdot r \cdot \dot \alpha ^2 \cdot \left[ {\cos \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \beta \right)} \right] + g \cdot r \cdot \sin \left( \beta \right) \\
<br />
\end{array} \right\} = 0)
Nach Substitution mit
 \cdot \cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right))
 \cdot \cos \left( \beta \right) - \cos \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \beta \right)} \right] + \frac{g}{r} \cdot \sin \left( \alpha \right))
 \cdot \sin \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \beta \right)} \right] + \frac{g}{r} \cdot \sin \left( \beta \right))
erhalte ich die Bewegungsgleichungen
und
Da ich das zu Fuß ausgerechnet habe, kann ich leider keine Fehlerfreiheit garantieren.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 01. Jul 2021 13:40 Titel: |
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Ist die Frage wirklich so gemeint oder soll man das System Faden+Kugel nicht näherungsweise als starr betrachten? Denn da kommt man ja - so wie Nils anfangs schon gesagt hat- mit einer einfachen Rechnung genau auf r=0,196m.
Wäre schon interessant, wie groß der Fehler tatsächlich ist, vor allem, was die Verkippung der Kugel angeht. Für das Aufstellen der Lagrangefunktion bin ich zugegebenermaßen momentan zu faul...
Aber dem Fragesteller hilft das glaub ich nichts, denn es sieht aufgrund des typischen "Schulbeispiels" nicht so aus, als wäre er des Lagrange Formalismus' mächtig. Gemeldet hat er sich aber wiederum auch nicht mehr... 
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 01. Jul 2021 14:24 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Frage wirklich so gemeint oder soll man das System Faden+Kugel nicht näherungsweise als starr betrachten? |
Letzteres ist naheliegend, aber es wurde nicht klar formuliert. Ich vermute, dass sich der Fragesteller der Komplexität seiner Konstruktion nicht bewusst ist.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Wäre schon interessant, wie groß der Fehler tatsächlich ist, vor allem, was die Verkippung der Kugel angeht. |
Wenn meine obige Rechnung korrekt ist, könnte ich es damit simulieren. Allerdings muss ich mich dann entscheiden, für welchen Winkel ich das Ganze berechne. wäre wegen der initialen Winkelbeschleunigung wenig sinnvoll. Wenn ich davon ausgehe, dass der Schwerpunkt der Kugel zunächst auf der Verlängerung des Fadens liegt, dann gäbe es hier keine Winkelbeschleunigung und wenn ich das nicht annehme, dann hätte ich mit dem initialen Winkel einen zusätzlichen unbekannten Parameter. Es bliebt also oder der Winkel zwischen der Vertikalen und der Verbindungslinie zwischen Aufhängung und Masseschwerpunkt.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Aber dem Fragesteller hilft das glaub ich nichts, denn es sieht aufgrund des typischen "Schulbeispiels" nicht so aus, als wäre er des Lagrange Formalismus' mächtig. |
Für den Fragesteller ist wohl nur die Information hilfreich, dass das Problem komplexer ist, als es auf den ersten Blick aussieht und dass obige Lösung eine Näherung ist. Die Rechnung wird ihm nicht viel sagen. Man könnte das Ganze auch mit Newton berechnen, aber das wird sehr wahrscheinlich schlimmer als Lagrange. Deshalb probiere ich es erst gar nicht.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 01. Jul 2021 19:06 Titel: |
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Ich habe meine obigen Differentialgelichungen jetzt einfach mal numerisch integriert. Dabei stellt sich heraus, dass sich zwar die Winkel und deutlich anders verhalten als der gemeinsame Winkel  des starren physikalischen Pendels, letzterer aber am Anfang kaum vom Winkel  zu unterscheiden ist, um den der Schwerpunkt der am Faden hängenden Kugel ausgelenkt wird (siehe Anhang).
Obwohl die Masseschwerpunkte sich so ähnlich verhalten, dass man den Unterschied mit bloßem Auge wahrscheinlich gar nicht erkennen würde, gibt es trotzdem einen signifikanten Unterschied zwischen den resultierenden Radien. Während die Kugel beim physikalischen Pendel einen Radius von r=0,196m hat, sind es beim Fadenpendel r=0,218m. Das liegt an der unterschiedlichen Beschleunigung bei maximaler Auslenkung. Diese ist bei gleichem Radius und gleicher Auslenkung beim Fadenpendel größer (nämlich 2,92 rad/s² anstelle von 2,8 rad/s²), weil zu Begin der Bewegung keine Energie in die Rotation der Kugel fließt. Um das zu kompensieren, muss der Radius größer werden.
| Beschreibung: |
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