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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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 Dreimal0 Verfasst am: 22. Sep 2020 12:09 Titel: |
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Vielen Dank für die rege Diskussion.
Insbesondere auch vielen Dank an Myon für die ausführliche Herleitung der Berechnung des Ablösewinkels!
Ich hätte nicht gedacht, dass bei einem auf den ersten Blick doch recht einfach erscheinenden Problem derart viele Überlegungen ins Spiel kommen können.
Sehr beeindruckend! 
Wenn nun noch jemand die Berechnung der erforderlichen Höhe des Sprungbrettes (Schwimmer kommt nach 1 kompletten Umdrehung mit den Füßen auf dem Wasser auf) darstellen könnte, wäre ich froh. Vielleicht hat ja noch jemand Lust und Zeit dazu?
Rotiert der Stab nach dem Ablösen vom Brett um seinen Schwerpunkt? Ändert sich also beim Ablösen vom Brett die Rotationsachse?
Anschaulich ist das für mich schwer vorstellbar. Kann jemand helfen?
Bis hierher nochmal vielen Dank!
Dreimal0 (es null, bliev null...)
Zuletzt bearbeitet von Dreimal0 am 22. Sep 2020 13:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Sep 2020 12:55 Titel: |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | Wenn nun noch jemand die Berechnung der erforderlichen Höhe des Sprungbrettes (Schwimmer kommt nach 1 kompletten Umdrehung mit den Füßen auf dem Wasser auf) darstellen könnte, wäre ich froh. Vielleicht hat ja noch jemand Lust und Zeit dazu?
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Das ist nicht mehr weiter schwer. Ich gehe im folgenden davon aus, dass der Springer (l = 2m) sich unmittelbar an der vorderen Kante befindet, wo er direkt nach vorne in den freien Fall überkippen kann, so dass die oben diskutierten Probleme nicht auftreten.
Bei Erreichen des kritischen Winkels von  ist die (von nun an konstante) Winkelgeschwindigkeit:
} = 139°/s)
Die benötigte Zeit für die Vollendung der Umdrehung beträgt also:
In dieser Zeit fällt der Schwerpunkt eine Strecke von
Berücksichtigt man noch die Starthöhe, sowie den Abstand der Füße vom Schwerpunkt ergibt sich für den Sprungturm eine Höhe von
 + \frac{l}{2} = 24.3m)
| Zitat: | Rotiert der Stab nach dem Ablösen vom Brett um seinen Schwerpunkt? Ändert sich also beim Ablösen vom Brett die Rotationsachse?
Anschaulich ist das für mich schwer vorstellbar. Kann jemand Helfen? |
Wie schon mal gesagt: welchen Punkt man als Bezugspunkt für die Rotation wählt, ist allein eine Frage der Zweckmäßigkeit. Üblicherweise wählt man denjenigen Punkt, dessen Dynamik sich am einfachsten beschreiben lässt.
Solange der Springer auf dem Brett steht, ist der untere Fußpunkt die geeignete Wahl für den Bezugspunkt, da sich dieser nicht bewegt. Sobald der Springer aber den Kontakt zum Brett verliert und in den freien Fall übergeht, ist der Schwerpunkt die geschicktere Wahl, da die Gesetze des freien Falls sich stets auf den Schwerpunkt beziehen.
Viele Grüße,
Nils
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5872
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| Myon Verfasst am: 22. Sep 2020 13:29 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | |
Ich denke, da fehlt noch ein Summand
t)
da der Springer beim kritischen Winkel bereits eine senkrechte Geschwindigkeitskomponente hat. Ich käme dann auf etwa h=28.6m.
| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | sobald der Stab den Kontakt verliert und in den freien Fall übergeht, drückt das untere Ende wieder auf den Untergrund. Während des Wegrutschens nach vorne wirkt also wieder eine Normalkraft nach oben und bewirkt so ein Drehmoment. Dadurch dreht sich der Stab etwas schneller, was zur Folge hat, dass die Normalkraft wieder abnimmt.... uff. |
Ja stimmt, im Mittel muss eine Normalkraft wirken. Sonst würde der Schwerpunkt mit g beschleunigt, was aber wiederum ein Drehomoment bedingt.
Spielt die Haftreibungskraft dann doch eine Rolle? Verhindert ein hoher Reibungskoeffizient ein Rutschen nach vorne? Wahrscheinlich gelten die üblichen Gleichungen nicht, da es sich nicht um einen stabilen Zustand handelt. Muss da aber mal eine Pause einschalten...
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 22. Sep 2020 13:33 Titel: |
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Hallo Nils,
vielen Dank für die rasche Antwort.
Deine Rechnung kann ich soweit nachvollziehen.
Allerdings bemerkte Myon in einer seiner ersten Beiträge zum Thema, dass man bei der Berechnung der Turmhöhe auch berücksichtigen müsse, dass der Schwimmer beim Ablösen vom Brett bereits eine senkrecht nach unten gerichtete Geschwindigkeitskomponente hat.
Kannst du dazu etwas sagen?
Die Sache mit der Drehachse will mir nicht in den hohlen Schädel.
Kannst du das vielleicht nochmal mit anderen Worten erklären (für Dummies!).
Viele Grüße
Dreimal0
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Sep 2020 14:04 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Ich denke, da fehlt noch ein Summand
da der Springer beim kritischen Winkel bereits eine senkrechte Geschwindigkeitskomponente hat. Ich käme dann auf etwa h=28.6m.
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Jo, stimmt. Das hatte ich übersehen. Damit komme ich ebenfalls auf h = 28.6 m
Viele Grüße,
Nils
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Sep 2020 14:13 Titel: |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: |
Die Sache mit der Drehachse will mir nicht in den hohlen Schädel.
Kannst du das vielleicht nochmal mit anderen Worten erklären (für Dummies!).
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Vielleicht mal ein konkretes Beispiel: Betrachte einen Stab, der sich mit konstanter Winkelgeschwindung um sein Ende dreht. Das Ende ruhe im Ursprung unseres Koordinatensystems
Diese Bewegung kann ich beschreiben als Rotation um das feste Ende. Oder alternativ: als kreisförmige Bewegung des Schwerpunkts um den Ursprung bei gleichzeitiger Rotation des Stabes um den Schwerpunkt (statt den Schwerpunkt hätte man natürlich auch einen beliebigen anderen Punkt auf dem Stab wählen können).
Beide Beschreibungen führen zum gleichen Ergebnis. Die Wahl der Drehachse ist also im Prinzip beliebig.
Viele Grüße,
Nils
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 22. Sep 2020 16:23 Titel: |
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Vielen Dank für die Rechnungen und Erklärungen!
Ich glaube, ich hab den Lösungsweg und die Rechnungen verstanden.
Mein Trauma ist besiegt! Hurra!
Aber jetzt mal im Ernst:
War das eine Übungsaufgabe für Greenhorns aus dem 1. Semester? Wie sieht das heute aus? Sind die Schweirigkeitsgrade von Übungsaufgaben heute höher?
Vielleicht könnt ihr mal aus eigener Erfahrung berichten.
Nochmal vielen Dank für euren Einsatz!
Viele Grüße
Dreimal0 (es null, bliev null...)
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Sep 2020 17:33 Titel: |
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Solche harten Nüssen kommen durchaus mal vor. Das Ziel solcher Aufgaben ist aber weniger, dass man eine perfekte Lösung erwartet, sondern eher, dass sich die Studenten nochmal intensiv mit den Grundlagen beschäftigen und miteinander ins Gespräch kommen. Ich kann mich noch gut an eine Übungsaufgabe aus dem 1. Semester erinnern, da wurde gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass sich ein Stein spontan abkühlt und dafür 10 cm hoch hüpft (es ist übrigens eher unwahrscheinlich).
Cheers,
Nils
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 22. Sep 2020 19:17 Titel: |
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Hallo Nils,
solche Aufgaben sind ja hier und da schon mal o.k. und interessant.
Wenn man aber immer befürchten muss, dass sowas letztlich auch irgendeine Note oder den Erhalt eines Scheins (oder Credits oder so) beeinflussen kann, bin ich durchaus froh, das Studienfach damals (1978!) frühzeitig gewechselt zu haben (obwohl ich damals alle Scheine bekommen habe!!! - Stolz, Stolz, Stolz!).
Vermutlich werden solche Aufgaben auch zu diesem Zweck eingestreut;-)
- Die guten ins Töpfchen, die schlechten ins Kröpfchen - oder andersrum?
Dann schau ich mir doch lieber die Videos von Josef M. Gaßner auf Youtube an ("Urknall, Weltall und das Leben"). Die öffnen den Blick für "das Große und Ganze". Da muss man zwar auch schon mal hinterhergrübeln, kann aber wenigstens nachts gut schlafen.
Kommt diese Video-Serie auch "in Euren Kreisen" gut an oder ist das "Kinderstunde"?
Nochmal vielen Dank für die Unterstützung!
Viele Grüße
Dreimal0
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 22. Sep 2020 20:48 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Deinen obigen Beitrag über den Schwerpunkt konnte ich noch nicht recht verstehen. |
Ich probiers mal anders. wir gehen ja davon aus, daß der Stab am Boden um einen Fixpunkt rotiert. Nun gibt es irgendein Kriterium, daß dieser Fixpunkt nicht gehalten werden kann.
Dazu schreibst du.
| Zitat: | Beim kritischen Winkel werden die radiale Komponente der Gewichtskraft und die notwendige Zentripetalkraft gleich
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Diese Zentripetalbeschleunigung vs²/rs kann aber nur von der resultierenden Beschleunigung (Fres/m) im Schwerpunkt kommen, indem ich den radialen Anteil untersuche und g*sin phi habe ich nur, wenn die resultierende Kraft, die Gewichtskraft ist und alleine wirkt.
dann muß FN=0 und FR=0 sein.
wenn wir uns den Stab vorstellen wir er um den Fixpunkt rotiert bis zu diesem Kriterium, dann können wir diese Bewegung auch zerlegen in eine Translation und eine Rotation um den Schwerpunkt und damit die Beschleunigung im Fixpunkt ermitteln, positive Koordinaten siehe Skizze.
Der Schwerpunkt beschleunigt translatorisch tangential mit at und radial mir ar=vs²/rs, was sich auf den Fixpunkt parallel verschieben lässt, gleichzeitig gibt es eine Winkelbeschleunigung um den Schwerpunkt, die im Fixpunkt eine genau gegenteilige Beschleunigung zur Schwerpunktsbeschleunigung at mit alpha*rs erzeugt und eine Winkelgeschwindigkeit um den Schwerpunkt, die den Fixpunkt aufgrund Formgebung radial mit omega²*rs in Richtung
Schwerpunkt beschleunigt.
Wir haben also für den Fixpunkt
tangential:
radial:
solange alles um den Fixpunkt kreist ist
 und
und damit ist er unbeschleunigt.
wenn aber FN=0 ist, dann gibt es keine Kraft die um den Schwerpunkt dreht somit ist alpha null und es wirkt im Fixpunkt die Schwerpunktsbeschleunigung at.
Radial bleibt er weiter unbeschleunigt.
wenn das bei 0<phi <pi/2 passiert geht at schräg in den Boden,
Der Fixpunkt würde in den Boden beschleunigen und das ist nicht möglich, daher kann FN nicht null sein.
wenn FN aber nicht null ist, ist die resultierende vertikale Kraft nicht G sondern G-FN, dann kann man aber nicht ein Kriterium ansetzen, daß nur gilt wenn G alleine wirken würde,sondern dann müsste man ansetzen.
*sin \varphi=\frac {m*v_{s}²}{r_{s}})
das wäre aber genau der Fall, wenn FR in den vorher hingeschrieben Gleichungen (über meiner Skizze) null wird, jetzt wissen wir aber, daß FR zuerst nach aussen wirkt dann null werden kann und dann sogar nach innen wirken könnte,
Also kann auch dies kein Kriterium für das verlassen sein.
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 07:54 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | Wenn nun noch jemand die Berechnung der erforderlichen Höhe des Sprungbrettes (Schwimmer kommt nach 1 kompletten Umdrehung mit den Füßen auf dem Wasser auf) darstellen könnte, wäre ich froh. Vielleicht hat ja noch jemand Lust und Zeit dazu?
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Das ist nicht mehr weiter schwer. Ich gehe im folgenden davon aus, dass der Springer (l = 2m) sich unmittelbar an der vorderen Kante befindet, wo er direkt nach vorne in den freien Fall überkippen kann, so dass die oben diskutierten Probleme nicht auftreten.
Bei Erreichen des kritischen Winkels von ist die (von nun an konstante) Winkelgeschwindigkeit:
Die benötigte Zeit für die Vollendung der Umdrehung beträgt also:
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@Nils
Da sich nach dem Abheben die Rotationsachse des Stabs vom Fusspunkt zum Schwerpunkt verlagert, ändert sich sein Massenträgheitsmoment. Gemäß Impulserhaltung rotiert er mit 4 x omega = I_Fuss/I_Schwerpunkt x omega = 12/3 x omega.
Oder irre ich mich?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5872
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| Myon Verfasst am: 23. Sep 2020 08:19 Titel: |
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Ohne Kontakt mit dem Sprungbrett wirkt kein Drehmoment mehr, der Drehimpuls bleibt erhalten und die Winkelgeschwindigkeit konstant.
Dass sich die Rotationsachse zum Schwerpunkt verlagere, kann man so nicht sagen, vgl. die Erklärungen dazu von Nils weiter óben.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5872
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| Myon Verfasst am: 23. Sep 2020 08:39 Titel: |
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@VeryApe: Ich denke, Du hast recht. Von der Unterlage wirkt eine Normalkraft nach oben sowie eine Haftreibungskraft "nach hinten". Die Normalkraft hat eine radiale Komponente nach aussen, die Reibungskraft hingegen eine radiale Komponente nach innen, welche diejenige der Normalkraft übertreffen kann. In Abhängigkeit vom Reibungskoeffizienten ist der kritische Winkel daher grösser, oder es kommt gar nie zum Rutschen nach vorne.
Bei der Aufgabe mit dem Sprungturm ist der Vorgang vielleicht auch etwas anders gemeint: wenn der Springer am Rand steht und sich um die Kante dreht, wirkt vom Sprungbrett keine Komponente nach radial innen. Dies vereinfacht die Situation entscheidend. Zumindest in diesem Fall müsste der Winkel von 53 Grad korrekt sein, was nach Dreimal0 ja auch die gesuchte Lösung ist.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 23. Sep 2020 09:29 Titel: |
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Hallo zusammen,
bzgl. der Reibung etc. gab es in der Originalaufgabe noch den Hinweis:
"Das Sprungbrett ist ideal rauh, der Springer rutscht nicht ab."
Also modellmäßige, idealisierte Rechnung!
@Nils: Du hast in einem deiner vorhergehenden Beiträge eine deiner Übungsaufgaben aus dem 1. Semester erwähnt. Ich meine die Sache mit dem "spontan hüpfenden Stein". Kannst du dich vielleicht noch an die Lösung der Aufgabe erinnern - wär mal interessant zu wissen.
Evtl. kannst du ja auch eine anschauliche Interpretation der Lösung mitliefern. Also ähnlich wie: Nach wieviel Jahren ist der Stein mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit gehüpft, o.ä.?
Sowas wär doch mal ne Info fürs Leben - Partywissen halt! :-))
Viele Grüße
Dreimal0
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 13:06 Titel: |
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@Myon
| Myon hat Folgendes geschrieben: | Ohne Kontakt mit dem Sprungbrett wirkt kein Drehmoment mehr, der Drehimpuls bleibt erhalten und die Winkelgeschwindigkeit konstant.
Dass sich die Rotationsachse zum Schwerpunkt verlagere, kann man so nicht sagen, vgl. die Erklärungen dazu von Nils weiter óben. |
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Über die daraus resultierende Bahnkurfe muss ich noch nachdenken. Muss irgendwas zykloidisches sein ... |
Weshalb?
-Vor dem gesuchten Winkel: Springer dreht sich um festes Fussende, der Schwerpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn
-Nach diesem Winkel: der Schwerpunkt bewegt sich auf einer Parabelbahn, gleichzeitig dreht sich der Springer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seinen Schwerpunkt. |
Ich bin irritiert. Dreht sich der Stab nun um seinen Schwerpunkt oder nicht?
Wenn nein, dann ist die Rechnung von Nils richtig, wenn ja ändert sich wg. Schwerpunktverlagerung Omega.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 13:12 Titel: |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | Hallo zusammen,
bzgl. der Reibung etc. gab es in der Originalaufgabe noch den Hinweis:
"Das Sprungbrett ist ideal rauh, der Springer rutscht nicht ab."
Also modellmäßige, idealisierte Rechnung! |
Wäre das sofort bekannt gewesen, wäre viel Rechnerei und Diskussion überflüssig gewesen. Ich hatte schonim Verlauf darauf hingewiesen: Ohne Reibung keie Rotation.
Also, demnächst immer Originalaufgabe einsenden.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 23. Sep 2020 14:16, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. Sep 2020 13:25 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Ich bin irritiert. Dreht sich der Stab nun um seinen Schwerpunkt oder nicht?
Wenn nein, dann ist die Rechnung von Nils richtig, wenn ja ändert sich wg. Schwerpunktverlagerung Omega. |
Die Wahl des Drehpunktes ist ja eine reine Definitionssache. Nach Erreichen des kritischen Winkels wählt man einfach einen anderen Bezugspunkt, da die Bewegung sich jetzt geschickter als Drehung um den Schwerpunkt beschreiben lässt. Physikalisch ändert sich ja nichts.
Oder anders gefragt: Wieso sollte sich die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers erhöhen, wenn weder Drehmoment noch Massenumverteilung vorhanden ist?
Viele Grüße,
Nils
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 14:02 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Ich bin irritiert. Dreht sich der Stab nun um seinen Schwerpunkt oder nicht?
Wenn nein, dann ist die Rechnung von Nils richtig, wenn ja ändert sich wg. Schwerpunktverlagerung Omega. |
Die Wahl des Drehpunktes ist ja eine reine Definitionssache. Nach Erreichen des kritischen Winkels wählt man einfach einen anderen Bezugspunkt, da die Bewegung sich jetzt geschickter als Drehung um den Schwerpunkt beschreiben lässt. Physikalisch ändert sich ja nichts.
Oder anders gefragt: Wieso sollte sich die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers erhöhen, wenn weder Drehmoment noch Massenumverteilung vorhanden ist?
Viele Grüße,
Nils |
Hallo Nils,
vielen Dank für Deine Antwort.
Ich bin von folgender Überlegung ausgegangen:
Es gilt Impulserhaltung. Der Drehimpuls bei dem kritischen Winkel - Drehachse des Stabs ist der Fusspunkt - beträgt
Es ändert sich das Trägheitsmoment
Winkelgeschwindigkeit nach dem kritischen Winkel um den Schwerpunkt als Drehachse
Oder anders gefragt: Ein Stab habe den Drehimpuls L. Wie gross ist seine Winkelgeschwindigkeit bei Rotation um seinen Schwerpunkt?
Wo ist mein Denkfehler?
Liegt er da, dass auch vor dem kritischen Winkel das Trägheitsmoment bezogen auf die Schwerpunktachse = I' ist?
Die Winkelgeschwindigkeit am kritischen Winkel wird allerdings durch I und nicht I' bestimmt.
Beste Grüsse
mathefix
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. Sep 2020 14:33 Titel: |
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Hallo Mathefix,
zu beachten ist, dass der Drehimpuls von der Wahl des Bezugspunkts der Drehhung abhängig ist. Drehimpulserhaltung bezieht sich immer auf den Fall, dass der Bezugspunkt unverändert bleibt.
Viele Grüße,
Nils
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 14:42 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Hallo Mathefix,
zu beachten ist, dass der Drehimpuls von der Wahl des Bezugspunkts der Drehhung abhängig ist. Drehimpulserhaltung bezieht sich natürlich immer auf den Fall, dass der Bezugspunkt unverändert bleibt.
Viele Grüße,
Nils |
Hallö Nils,
vielen Dank. Alles klar.D.h. dass in diesem Fall die Impulserhaltung nicht gilt.
Damit widersprechen sich in diesem Fall Impuls- und Energieerhaltung?
Beides muss gleichzeitig erfüllt sein.
Beste Grüsse
mathefix
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5872
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| Myon Verfasst am: 23. Sep 2020 15:05 Titel: |
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Eine Schwierigkeit hier könnte ja sein, dass man die Drehimpulserhaltung bezüglich eines sich beschleunigt bewegenden Punktes betrachtet. Bezüglich eines ortsfesten Punktes in einem Inertialsystem wäre der Drehimpuls nicht erhalten, weil die Gewichtskraft i.a. ein Drehmoment ausübt.
Da der Bezugspunkt hier der Schwerpunkt ist, gilt der Drehimpulssatz auch im Fall des bewegten Bezugspunktes, wenn sich die Drehmomente ebenfalls auf den Schwerpunkt beziehen. Die Gewichtskraft übt dann kein Drehmoment aus, und der Drehimpuls bezüglich des Schwerpunkts bleibt erhalten. Vgl. im folgenden Link die Gleichung (912) und die Erklärung davor:
https://itp.tugraz.at/LV/schnizer/Analytische_Mechanik/node10.html
@Mathefix: Wie meinst Du das mit der Impuls- und Energieerhaltung, und dass hier ein Widerspruch vorläge?
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 23. Sep 2020 16:10 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | Hallo zusammen,
bzgl. der Reibung etc. gab es in der Originalaufgabe noch den Hinweis:
"Das Sprungbrett ist ideal rauh, der Springer rutscht nicht ab."
Also modellmäßige, idealisierte Rechnung! |
Wäre das sofort bekannt gewesen, wäre viel Rechnerei und Diskussion überflüssig gewesen. Ich hatte schonim Verlauf darauf hingewiesen: Ohne Reibung keie Rotation.
Also, demnächst immer Originalaufgabe einsenden. |
Hallo Mathefix,
tut mir leid, die Sache mit der Reibung nicht bereits am Anfang erwähnt zu haben. Ich bin davon ausgegangen, dass das auch ohne Erwähnung vorausgesetzt würde, wie ja auch sonst bei solchen Aufgaben typischerweise modellhafte, idealisierte Voraussetzungen angenommen werden.
Es war aber für mich (und sicher auch für andere) hochinteressant zu sehen und nachzuvollziehen, welche, dem Laien verborgenen Aspekte, Ihr, als Menschen vom Fach, bei so einer doch eigentlich auf den ersten Blick simpel erscheinenden Aufgabe berücksichtigt.
Ich bitte nochmal um Entschuldigung. Soll nicht wieder vorkommen!!
Ansonsten entnehme ich den Diskussionsbeiträgen, dass die Frage nach der Drehachse (Drehpunkt) nach dem Ablösen des Springers offenbar auch für andere nicht ganz trivial erscheint.
Das beruhigt mich ungemein. :-)
Viele Grüße
Dreimal0
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 17:52 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
@Mathefix: Wie meinst Du das mit der Impuls- und Energieerhaltung, und dass hier ein Widerspruch vorläge? |
@Myon
Danke für die Erläuterung und den Link.
Zu Deiner Frage:
Energieerhaltung
Mit den bekannten Trägheitsmomenten
Impulserhaltung
nur bei identischer Bezugsachse (Nils)
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 23. Sep 2020 18:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. Sep 2020 18:04 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Energieerhaltung
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Hier fehlt auf einer Seite noch die kinetische Energie aufgrund der Bewegung des Bezugspunkts.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. Sep 2020 18:50 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Energieerhaltung
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Hier fehlt auf einer Seite noch die kinetische Energie aufgrund der Bewegung des Bezugspunkts. |
 \cdot m\cdot l^{2}\cdot \omega ^{2} )
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 23. Sep 2020 19:39, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5872
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| Myon Verfasst am: 23. Sep 2020 21:15 Titel: |
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Wobei die obige Rechnung richtig ist, solange der Springer sich noch auf dem Sprungbrett befindet und das Fussende ortsfest ist.
Im freien Fall wird der Ausdruck für die kinetische Energie komplizierter, wenn man nicht den Schwerpunkt als Bezugspunkt nimmt. Neben der Translations- und Rotationsenergie des Bezugspunkts kommt ein weiterer Term für die Wechselwirkungsenergie zwischen Translation und Rotation hinzu, siehe ebenfalls das obige Skript.
Den Link hatte ich gar nicht gesehen... Uh, das tut schon beim Zuschauen weh. Vielleicht sollte man die Aufgabe mit einem Warnhinweis versehen: „Die Aufgabe ist nur theoretisch und nicht mittels experimenteller Versuche zu lösen!“ 
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 24. Sep 2020 10:46 Titel: |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: |
@Nils: Du hast in einem deiner vorhergehenden Beiträge eine deiner Übungsaufgaben aus dem 1. Semester erwähnt. Ich meine die Sache mit dem "spontan hüpfenden Stein". Kannst du dich vielleicht noch an die Lösung der Aufgabe erinnern - wär mal interessant zu wissen.
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Ist zwar off-topic, aber das ging ungefähr so: Wenn N1 und N2 die Anzahl der Mikrozustände zum Makrozustand "Stein liegt unten" bzw. "Stein hüpft 10 cm" hoch sind, dann sind die dazugehörigen Entropien:
S1 = k ln(N1)
S2 = k ln(N2)
Und damit
Delta_S = S2 - S1 = k ln(N2/N1)
Da N1 näherungsweise gleich der Anzahl aller möglichen Mikroszustände ist, ist W = N2/N1 ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit, dass man den Makrozustand "Stein hüpft 10 cm" beobachtet.
Die Entropieänderung ermittelt man über die Gesetze der Wärmelehre: dS = dQ/T. Aufgrund der großen Wärmekapazität von Stein ändert sich die Temperatur beim Hochhüpfen nur wenig und wir erhalten zusammen mit der Energieerhaltung:
Delta_S =~ Delta_Q/T = -mgh/T
Kombiniert man beide Gleichungen folgt:
W = e^-(mgh/(kT))
Für m = 1kg und T = 300K, erhält man
W = 10^(-10^20).
Also 0,00.....1 mit 10^20 Nullen hinter dem Komma. Es ist also nicht sonderlich wahrscheinlich (wer hätte das gedacht).
Viele Grüße,
Nils
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 24. Sep 2020 14:18 Titel: |
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Hallo Nils,
vielen Dank für diese Wahrscheinlichkeitsabschätzung.
Ist schon spannend, dass man zu so einer total beknackten Frage tatsächlich etwas vernünftiges berechnen kann! :-)
Naja, diese Übungsaufgaben sollten ja, wie du sagtest, oft nur dem Gehirn-Jogging und der Beschäftigung mit den "Grundlagen" dienen.
Nochmal vielen Dank!
Dreimal0
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Sep 2020 20:49 Titel: |
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Nachtrag zur Reibung
 =Radialkraft
 =Normalkraft
 =Reibkraft
 )
 = F_N )
 \cdot \mu_h)
Gleichgewichtsbedingung
 \cdot \mu_h = F_r\cdot \sin(\alpha ))
 = tan(\alpha ))
Ablösungswinkel
Damit die Drehachse des Stabs bis zum Erreichen des Ablösungswinkels ortsfest ist, muss der Haftreibungskoeffizient
sein.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2020 13:56 Titel: |
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Nochmal zu einem anderen Ansatz bzgl. der Wahrscheinlichkeitsabschätzung.
Wir betrachten ein quantenmechanisches Vielteilchensystem, aus dessen Wechselwirkung ein gebundener Zustand wie zum Beispiel ein Sandkorn resultiere; dieses befinde sich außerdem in einem Gravitationspotential
 + \sum_n gm_nz_n)
Daraus folgt
mit der kollektiven Schwerpunktskoordinate Z sowie dem konjugierten Impuls P und der Gesamtmasse
für N Teilchen gleicher Masse m. Der erste Term für die Paar-Wechselwirkungen in den Relativkoordinaten und -impulsen interessiert uns im folgenden nicht.
Der Ansatz für die Wellenfunktion lautet
 \, v(\Omega) \, \phi_r)
Die Wahrscheinlichkeit P(h), das Teilchen innerhalb der Höhe h d.h. bei 0 < Z < h über der Erdoberfläche zu finden, lautet
 = \int_0^h dZ \, |u(Z)|^2 \cdot \int d\Omega \, | v(\Omega) |^2 \, \int \prod_n dr_n \, |\phi_r|^2 )
 = 1 )
wobei über die Winkel Omega auf der Erdoberfläche sowie alle weiteren Freiheitsgrade integriert wird. Die rechten Terme interessieren im folgenden nicht, sie gehen nur in die Normierung ein.
Die Lösung der Schrödingergleichung für das o.g. Potential für Z > 0
]\,u(\zeta) = 0)
folgt mittels
^{1/3})
Der reskalierte niedrigste Energieeigenwert = der Grundzustand des Sandkorns im Gravitationsfeld
folgt mittels der ersten Nullstelle der Wellenfunktion
 = 0)
und diese wiederum als Airy-Funktion
 = c \cdot \text{Ai}(\zeta - \epsilon) \sim \frac{\exp\left[-2/3 \cdot(\zeta-\epsilon)^{3/2}\right]}{(\zeta-\epsilon)^{1/4}})
wobei der letzte Term die asympotische Form für sehr großes Argument darstellt.
Damit folgen die Wahrscheinlichkeiten
 = c^2 \cdot \int_0^{h/l_0} d\zeta \, |\text{Ai}(\zeta-\epsilon)|^2 )
 = c^2 \cdot 0.491696\ldots = 1)
 = 1 - P(h))
Q(h) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, das Sandkorn oberhalb der Höhe h über dem Erdboden anzutreffen.
Zur Abschätzung setzen wir für die Masse M ein Gramm und eine Höhe h von einem Millimeter an.
Daraus folgt für die charakteristische Länge
sowie für die untere Integrationsgrenze
Zu berechnen ist das Integral für Q(h), d.h. bis auf Konstanten der Größenordnung Eins der Term
^{3/2}\right]}{(\zeta-\epsilon)^{1/2}} )
Wolfram alpha liefert für die Wahrscheinlichkeit, das Sandkorn der Masse ein Gramm höher als einen Millimeter über dem Erdboden anzutreffen, Null bzw. “underflow”.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Sep 2020 19:40, insgesamt 14-mal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 28. Sep 2020 14:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nochmal zu einem anderen Ansatz bzgl. der Wahrscheinlichkeitsabschätzung.
Wir betrachten ein quantenmechanisches Vielteilchensystem, aus dessen Wechselwirkung ein gebundener Zustand wie ein Sandkorn resultiert |
Ich denke, in dem Beispiel von Nils ging es weniger um quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, als um die Verdeutlichung der statistischen Natur der Entropie. Da lässt sich auch schon klassisch argumentieren. Natürlich müssen da auch Erhaltungssätze (Schwerpunkt, etc.) berücksichtigt werden.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2020 15:08 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Nochmal zu einem anderen Ansatz bzgl. der Wahrscheinlichkeitsabschätzung.
Wir betrachten ein quantenmechanisches Vielteilchensystem, aus dessen Wechselwirkung ein gebundener Zustand wie ein Sandkorn resultiert |
Ich denke, in dem Beispiel von Nils ging es weniger um quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, als um die Verdeutlichung der statistischen Natur der Entropie. Da lässt sich auch schon klassisch argumentieren. Natürlich müssen da auch Erhaltungssätze (Schwerpunkt, etc.) berücksichtigt werden. |
Das ist schon klar.
Die allgemeine Frage lautet doch aber “wie wahrscheinlich sind diese prinzipiell möglichen jedoch nie beobachteten Vorhänge?” Und da sehe ich eben diesen alternativen Erklärungsansatz. Mehr wollte ich nicht darstellen.
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Dreimal0
Anmeldungsdatum: 20.09.2020
Beiträge: 11
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| Dreimal0 Verfasst am: 28. Sep 2020 19:18 Titel: |
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Hallo TomS,
vielen Dank für die Mühe, die Du Dir mit der Darstellung der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsabschätzung gemacht hast.
Allerdings verstehe ich da natürlich nur noch "Bahnhof"!
Selbst die Gleichungsbestandteile erscheinen mir wie kryptische Zeichen aus dem Jenseits.
Mich würde mal interessieren, welche Ausbildung man genossen haben müsste, um Deine Rechnung (und auch die in manchen anderen Beiträgen) wirklich Schritt für Schritt nachvollziehen zu können.
Reicht es aus "einfach nur" ein Physikstudium abgeschlossen zu haben (wobei ich davor schon einen Heidenrespekt habe!)? Oder muss man dazu weiter spezialisiert sein?
Falls es nicht zu indiskret ist: Welchen Uni-Abschluss (oder Abschlüsse) hast Du persönlich?
Ich hoffe, ich bin nicht der einzige interessierte und mit (wie ich hoffe) einigermaßen durchschnittlicher Intelligenz ausgestattete Leser, der absolut nicht mehr folgen kann! - Ganz schön frustrierend! :-)
Der einzige Trost ist, dass auch durch die mysteriösesten Rechnungen letztlich das intuitive Bauchgefühl bestätigt wird:
Dass sich ein Stein spontan frei schwebend über dem Erdboden aufhält, ist so unwahrscheinlich, dass es wohl auch in weiteren Milliarden Jahren nicht vorkommen dürfte.
Aber wer weiß - schaun ´mer mal! ;-)
Noch mal vielen Dank für die Mühen!
Dreimal0
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2020 21:58 Titel: |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | vielen Dank für die Mühe, die Du Dir mit der Darstellung der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsabschätzung gemacht hast. |
Das war keine Mühe.
| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings verstehe ich da natürlich nur noch "Bahnhof"! |
Meine Idee war nicht, dich zu verwirren, sondern lediglich die Ableitung einer konkret berechenbaren Zahl. Dazu fehlt noch das letzte Integral.
| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | Mich würde mal interessieren, welche Ausbildung man genossen haben müsste, um Deine Rechnung ... wirklich Schritt für Schritt nachvollziehen zu können. |
Zum Nachvollziehen reicht Quantenmechanik I. Wer dann noch einen gewissen Draht zu der Sache entwickelt, liest hier evtl. mit und findet einen Fehler ;-)
| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | Ich hoffe, ich bin nicht der einzige interessierte und mit (wie ich hoffe) einigermaßen durchschnittlicher Intelligenz ausgestattete Leser, der absolut nicht mehr folgen kann! - Ganz schön frustrierend! :-) |
Ich habe mir nicht die Mühe gemacht, irgendetwas zu erklären; von daher erst mal kein Wunder. Um das wirklich zu verstehen, benötigst du eine fundierte Ausbildung - Mathematik und Quantenmechanik. Umgekehrt wär‘s für uns ebenso frustrierend, wenn das jeder intelligente Mensch auch ohne diese Ausbildung einfach so rechnen könnten.
| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | Der einzige Trost ist, dass auch durch die mysteriösesten Rechnungen letztlich das intuitive Bauchgefühl bestätigt wird:
Dass sich ein Stein spontan frei schwebend über dem Erdboden aufhält, ist so unwahrscheinlich, dass es wohl auch in weiteren Milliarden Jahren nicht vorkommen dürfte. |
Das unterschätzt die mittlere Wartezeit erheblich. Ich muss aber noch über eine vernünftige Näherung für das Integral nachdenken; einfach nur „Null“ ist‘s ja sicher nicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 29. Sep 2020 06:29 Titel: |
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Ich komme hier auf
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18076
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| TomS Verfasst am: 29. Sep 2020 11:54 Titel: |
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| Dreimal0 hat Folgendes geschrieben: | | Falls es nicht zu indiskret ist: Welchen Uni-Abschluss (oder Abschlüsse) hast Du persönlich? |
Siehe PN.
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