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Erde, Sprung nach oben
 
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karlworn
Gast





Beitrag karlworn Verfasst am: 22. Dez 2011 22:20    Titel: Erde, Sprung nach oben Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Warum fällt man nicht woanders runter, wenn man von der Erde aus einfach hochspringt ?

Meine Ideen:
Schließlich dreht sich die Erde doch auch weiter während man in der Luft ist.
Äther



Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387

Beitrag Äther Verfasst am: 22. Dez 2011 22:30    Titel: Re: Erde, Sprung nach oben Antworten mit Zitat

Moin,

karlworn hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Warum fällt man nicht woanders runter, wenn man von der Erde aus einfach hochspringt ?

Meine Ideen:
Schließlich dreht sich die Erde doch auch weiter während man in der Luft ist.


weil Du durch Feine Masse eine gewisse Trägheit hast, und Dich trotz des Sprungs noch mit der (annähernd) gleichen Geschwindigkeit wie die Erde bewegst.
Wenn Du im Zug einen Ball nach oben wirfst fällt er doch auch auf Deine Hand zurück und nicht woanders hin, oder?
karlworn
Gast





Beitrag karlworn Verfasst am: 22. Dez 2011 22:40    Titel: Antworten mit Zitat

Könnte es dann auch sein, dass es vom Beobachter abhängt, dass es für mich wie ein senkrechter Sprung (gestrichelte Linie) aussieht, für jemanden aus dem All wie die durchgezogene ?

z10.img-up.net/Screenshot0qb5.png
Äther



Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387

Beitrag Äther Verfasst am: 22. Dez 2011 22:44    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, ich denke Du meinst das Richtige.
karlworn
Gast





Beitrag karlworn Verfasst am: 22. Dez 2011 23:02    Titel: Antworten mit Zitat

Ok,danke sehr, aber...
Wie könnte man es anders (besser) ausdrücken ?

Das mit den Beobachtern stimmt aber ?
Systemdynamiker



Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 594
Wohnort: Flurlingen

Beitrag Systemdynamiker Verfasst am: 23. Dez 2011 07:02    Titel: Erdrotation Antworten mit Zitat

Wenn sich die Erde wie ein fahrender Zug bewegen würde, könnte man mit der Trägheit argumentieren. Nun rotiert die Erde aber. Deshalb müssen wir beim Wechsel des Beobachters von "aussenstehend" auf "mitrotierend" die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft einführen.

Das Zentrifugalfeld überlagert sich mit dem von der Erdmasse erzeugten Gravitationsfeld. Zusammen gibt das ein leicht verändertes Gravitationsfeld. Aber die Corioliskraft macht sich beim Sprung bemerkbar und führt zu einer ganz kleinen Bahnabweichung.

rotierendes Bezugssystem: http://www.youtube.com/watch?v=uUVpdyxHO-I

Corioliskraft: http://www.youtube.com/watch?v=m31v1O9lFRQ

_________________
Herzliche Grüsse Werner Maurer
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Dez 2011 07:56    Titel: Re: Erde, Sprung nach oben Antworten mit Zitat

karlworn hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Warum fällt man nicht woanders runter, wenn man von der Erde aus einfach hochspringt ?

Meine Ideen:
Schließlich dreht sich die Erde doch auch weiter während man in der Luft ist.

Während man noch auf der Erde steht rotiert man mit der Erde mit; während des Sprungs rotiert man also weiter mit (eigtl. bewegt man sich dabei nicht mehr auf einer Kreisbahn wie die Erdoberfläche sondern auf einer tangentialen, geraden Bahn, aber für kleine Sprünge merkt man den Unterschied nicht). Somit landet man eben wieder da, wo man abgesprungen ist, weil sich die Erde eben nicht 'unter einem wegdreht'.

Auch Flugzeuge und die Lufthülle behalten bzw. haben ja diesen Drehimpulsnach, d.h. ihre Geschwindigkeit von Flugzeugen und Wolken bemisst sich immer relativ zur rotierenden Erde - sie müssen die Rotationsgeschwindigkeit der Erde nicht erst ausgleichen.

Es gibt einen netten Effekt: stell dir irgendwo am Äquator einen senkrechten Schacht bis zum Erdmittelpunkt vor. Wenn du einen Stein hineinfallen lässt, was passiert?
a) der Stein bleibt in der Mitte des Schachtes?
b) der Stein stößt an die westliche Innenwand des Schachtes
c) der Stein stößt an die östliche Innenwand des Schachtes

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karlworn
Gast





Beitrag karlworn Verfasst am: 23. Dez 2011 16:37    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen.

Ich tippe hier auf (b), da sich die Erde von "oben" betrachtet gegen den Uhrzeigersinn dreht.

eine Querschnittsabbildung:
i76.img-up.net/Screenshot0o3r.png

Allerdings könnte ich mir auch (a) vorstellen, da er ja mitrotiert, allerdings am Anfang zu schnell, dann wird der Radius kleiner, also doch (b) ?

Klingt für mich alles plausibel...
Catweasel



Anmeldungsdatum: 06.08.2011
Beiträge: 330

Beitrag Catweasel Verfasst am: 23. Dez 2011 18:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ich würde vielleicht sogar c) sagen ,bin mir auch nich sicher. Der Stein hat an der Erdoberfläche ja dieselbe Winkelgeschwindigkeit wie die Erde, mit sinkendem Abstand zum Erdmittelpunkt verringert sich die Geschwindigkeit des Erdschachts, aber die des Steins müsste dieselbe bleiben. (wodurch sollte sie sich ändern)

Zuletzt bearbeitet von Catweasel am 24. Dez 2011 11:23, insgesamt 2-mal bearbeitet
karlworn
Gast





Beitrag karlworn Verfasst am: 23. Dez 2011 19:38    Titel: Antworten mit Zitat

Interessante Fragestellung, würde mich über eine Äußerung von TomS freuen Augenzwinkern
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Dez 2011 08:26    Titel: Antworten mit Zitat

So, ich hoffe mittels der Graphik wird das klar (mir ist .

Schwarz sind die Geschwindigkeitskomponenten des Steines. Zu Beginn ist die Tangentialgeschwindigkeit des Steines gleich der Tangentialgeschwindigkeit eines Punktes auf der Erdoberfläche, der Stern ist also relativ zur Erdoberfläche in Ruhe. Im Verlauf des Falls nimmt die Radialgeschwindigkeit (Fallgeschwindigkeit) des Steines natürlich zu, die Tangentialkomponente bleibt aber identisch, da in Tangentialrichtung keine Kraft wirkt!

Rot ist die Tangentialgeschwindigkeit eines beliebigigen Punktes der Erde, also z.B. der jeweiligen Schachtwand. Diese nimmt mit zunehmender Tiefe des Schachtes ab. Im Vergleich zur Tangentialgeschwindigkeit des Steines (schwarze Pfeile) werden die roten Pfeile also kürzer.

Der Stein holt die (bzgl. der Pfeilrichtung) vor ihm liegende Tunnelwand also ein und stößt gegen diese.



Rot.png
 Beschreibung:
Erde mit Schacht sowie Geschwindigkeiten: schwarz: Stein; rot: Punkt der Erde
 Dateigröße:  5.19 KB
 Angeschaut:  11397 mal

Rot.png



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Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 24. Dez 2011 09:04    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Im Verlauf des Falls nimmt die Radialgeschwindigkeit (Fallgeschwindigkeit) des Steines natürlich zu, die Tangentialkomponente bleibt aber identisch, da in Tangentialrichtung keine Kraft wirkt!
grübelnd
Wird der Stein nicht eine Ellipsenbahn beschreiben?(abgesehen von der abfallenden Gravitationskraft)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Dez 2011 09:20    Titel: Antworten mit Zitat

Die Bahnkurve hab' ich ja nicht eingezeichnet. Müsste man mal ausrechnen, aber nicht an Weihnachten. Wie kommst du auf die Idee mit der Ellipse?
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Beitrag Rmn Verfasst am: 24. Dez 2011 09:28    Titel: Antworten mit Zitat

Wegen der Drehimpulserahltung bei konstanter Gravitationskraft.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Dez 2011 13:08    Titel: Antworten mit Zitat

Rmn hat Folgendes geschrieben:
Wegen der Drehimpulserahltung bei konstanter Gravitationskraft.

Die Ellipse im Gravitationsfeld (hier: im harmonichen Oszillatorpotential im Inneren der Erde) ergibt sich nur in einem Inertialsystem.

Im vorliegenden Fall findet man für kleine Zeiten als Näherung eine Gerade (nämlich der freie Fall ins Zentrum). Dem überlagert wird nun ebenfalls für kleine Zeiten die Anfangsbedingung, d.h. die Tangentialgeschwindigkeit.

Zunächst gilt im ruhenden Bezugssystem mit Koordinatenursprung in der Drehachse und für kleine Zeiten







Natürlich gilt die Bewegungsgleichung in der Praxis so nicht, denn irgendwann stößt der Stein an die Schachtwand.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Dez 2011 08:18, insgesamt einmal bearbeitet
karlworn
Gast





Beitrag karlworn Verfasst am: 24. Dez 2011 13:40    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

danke für die ausführliche Antwort.
Die Begründung mit der Winkelgeschwindigkeit gefällt mir am besten.

So wäre hier ja (c) richtig,

Karl
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Dez 2011 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

jetzt fehlt eigtl. nur noch die Umrechung in das mitrotierende Bezugssystem des Beobachters am oberen Ende des Schachtes
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Beitrag Rmn Verfasst am: 24. Dez 2011 15:40    Titel: Antworten mit Zitat

Würde das nicht heißen, dass der Stein, abgeworfen z.B. in 10km Höhe über der Erdoberfläche, die Erde verlassen würde?
(nicht rotierende Bezugssystem)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Dez 2011 08:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe jetzt zunächst mal den obigen Beitrag korrigiert, da ich da die Lösung für kleine Zeiten (steht jetzt da) und die volle Lösung unzulässigerweise vermischt habe. Die volle Lösung im Inertialsystem ist eine Ellipse. Sorry an Rmn, hab' ich irgendwie falsch verstanden.

Interessiert die volle Lösung plus die Transformation ins rotierende Bezugssystem?

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Dez 2011 11:19    Titel: Antworten mit Zitat

Man betrachtet die exakte Lösung.

Im Inneren einer Kugel homogener Dichte mit Radus R herrscht am Radius r<R immer ein Gravitationspotential, das nur von der Masse m(r) im Inneren des Radius r erzegt wird; die Kugelschale >r trägt nicht bei. Man darf sich im Falle der homogenen Kugel immer vorstellen, dass dieses Gravitationspotential statt durch eine homogene Kugel der Masse m(r) durch eine punktförmige Masse bei r=0 erzeugt wird.

Zunächst berechnen wir m(r)



Dann berechnen wir das Gravitationspotential



Dabei ist R der Erdradius und M die Gesamtmasse der Erde. Man erkennt, dass demnach ein harmonisches Oszillatorpotential vorliegt. Wir führen nun noch die Abkürzung



ein.

Die Bewegungsgleichung in der xy-Ebene (also der durch die xy-Ebene definierte Schnittfläche der Erde) lautet (i=1,2 für x,y)



Die allgemeine Lösung dafür lautet



Nun setzt man noch die Anfangsbedingung ein x(0) = R, y(0) = 0, sowie die Tangentialgeschwindigkeit v in y-Richtung, und erhält die spezielle Lösung





Da wir später die Winkelgeschwindigkeit der Erde (der Rotation eines Punktes der Erdoberfläche) benötigen, führen wir diese hier bereits ein:



und damit





Damit haben wir die Ellipsengleichung im Inertialsystem



Diese Bahnkurve ist natürlich unrealistisch, da sie eine Bewegung des Steines durch die Erde annimmt. Für kleine Zeiten, zu denen sich der Stein innerhalb des Schachtes befindet, gilt natürlich die o.g. Näherung.

Diese Bahnkurve kann man nun in ein mitbewegtes Koordinatensystem umrechnen, dessen Ursprung immer am oberen Schachtende befindet, und dessen x-Achse tangential zur Erdoberfläche bzw. dessen y-Achse senkrecht zur Erdoberfläche verläuft.

Dazu später mehr ...

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Dez 2011 11:56    Titel: Antworten mit Zitat

Nochwas: Die Herleitung der Ellipsengleichung erfolgt unter der Annahme, dass die Bahn vollständig im Erdinneren verläuft, da nur dann das harmonische Oszillatorpotential ~ r² gilt; andernfalls müsste man ~ 1/r annehmen, was natürlich die Bewegungsgleichung und damit die Bahnkurve verändert. Dies bedeutet, dass die große bzw. kleine Halbachse der Ellipse in x-Richtung (mit einer Länge von R) bzw. in y-Richtung vorliegt.

Daraus folgt eine Bedingung für den Quotient der Winkelgeschwindigkeiten, d.h.



Nur dann handelt es sich in y-Richtung tatsächlich um die kleine Halbachse.

Definiert man statt der Winkelgeschwindigeiten die entsprechenden Perioden





so folgt



d.h. die Rotationsdauer der Erde (ein Tag) muss größer sein als die Schwingungsdauer für einen vollständigen Durchlauf der Ellipsenbahn.

Anschaulich gesprochen fällt der Stein "nach unten" aufgrund der Erdbeschleunigung und nicht "zur Seite" aufgrund der Tangentialbewegung. Die Fallbeschleunigung in y-Richtung dominiert die Tangentialbeschleunigung. Das entspricht aber auch unserer Anschauung, wenn wir einen Stein in einen Schacht werfen, d.h. es handelt sich wohl um eine extrem schlanke Ellipse.

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Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 06. Jan 2012 07:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe den Thread über Feiertage aus der Sicht verloren, danke für die ausführliche Antwort.
gwiazdy



Anmeldungsdatum: 21.05.2013
Beiträge: 4

Beitrag gwiazdy Verfasst am: 21. Mai 2013 22:19    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo, ist zwar ein wenig her aber eine Frage zu den Ausführungen. Wenn der Stein irgendwann gegen die Wand stößt ... warum gilt das nicht für einen Sprung ... ich müsste doch genau so (unveränderte tangential Komponente) in der Luft irgendwand gegen eine Wand stoßen, d.h die Erde dreht sich unter meinen Füssen weg.

Danke & Gruß
koon



Anmeldungsdatum: 14.12.2018
Beiträge: 1

Beitrag koon Verfasst am: 14. Dez 2018 01:15    Titel: Was ist mich der Höhe? Antworten mit Zitat

Wir haben jetzt von der Drehung der Erde gesprochen. Aber was ist mit der Höhe? Wenn die Erde sich um die Sonne dreht, dann gibt es praktisch eine Vorderseite und eine Rückseite. Ich nehme jetzt mal fiktive Zahlen. Wenn die Erde sich mit 100 KMH bewegt und ich mit 30 KMH auf der Vorderseite hochspringe habe ich noch vor dem Hochsprung die 100 KMH von der Erde, direkt nach dem Absprung habe ich dann nochmal + 30 KMH also 130. Ich bewege mich solange nach oben bis mich die Schwerkraft auf 100 KMH abgebremst hat und ich für kurze Zeit auf unter 100 KMH komme und wieder auf dem Boden lande. Auf der Rückseite haben wir das gleiche mit negativen Zahlen. Also -100 KMH vor dem Absprung, nach dem Absprung -70 KMH. Bis ich wieder bei -100 KMH bin für kurze Zeit auf über -100 komme und wieder lande. So viel zur allgemeinen Logik hinter der Schwerkraftstheorie.

Was aber aber fehlt ist folgendes. Wenn ich auf der Hinterseite stehe. Dort abspringe bewegt sich die Erde aber weiter um die Sonne und zwar mit unvorstellbaren ~30 KM pro Sekunde. Wenn ich nur für eine Sekunde durch den Absprung in der Luft bin, hat sich die Erde bereits 30 KM von mir entfernt. Ich denke in dem Fall komme ich nicht einmal mehr zurück auf die Erde, weil die Schwerkraft dafür wohl nicht ausreicht. Denn die Fluchtgeschwindigkeit der Erde soll bei 11 KM pro Sekunde liegen.

Tut mir leid, dass ich in einem so alten Thread schreibe, aber ich habe im Internet nur diese eine Seite darüber gefunden und wollte, dass andere das auch finden können.
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