RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Zeitentwicklung Maxwellgleichungen
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Elektrik
Autor Nachricht
Voltobal
Gast





Beitrag Voltobal Verfasst am: 15. Aug 2020 00:04    Titel: Zeitentwicklung Maxwellgleichungen Antworten mit Zitat

Meine Frage:

Hi,

Ich sitze vor einem Problem der Elektrodynamik. Und zwar verstehe ich die Angabe einer Aufgabe nicht ganz. Sie lautet wie folgt:

"Die beiden Maxwellgleichungen



enthalten keine Zeitableitung und sind daher Bedingungen für die Anfangswerte der Felder. Zeige, dass sie durch die restlichen beiden "Zeitentwicklungsgleichungen" propagiert werden, d.h. immer gelten, wenn sie zu einer Zeit gelten."

Meine Ideen:

Nun ich denke, dass ich die Grundlagen der Elektrodynamik zwar halbwegs passabel beherrsche, nur habe ich hier das Problem, dass ich die Frage schon nicht so recht verstehe bzw. nicht ganz weiß was überhaupt zu tun ist. Kann mir jemand einen Tipp geben? Ich würde aber gerne selbst versuchen die Aufgabe zu lösen, ich bitte daher nur um einen Ansatz ;)

MfG
Voltobal
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14183

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Aug 2020 07:05    Titel: Antworten mit Zitat

Zum Hintergrund

Die erste der genannten Gleichungen spielt formal die Rolle einer Zwangsbedingung. Man kann die Lagrangedichte der Elektrodynamik so umformen, dass A° als Lagrangemultiplikator wirkt, so dass aus



genau diese Zwangsbedingung folgt. A° hat keinen konjugierten Impuls, daher ist A° kein dynamischer Freiheitsgrad.


Beide Gleichungen enthalten keine Zeitableitungen und erscheinen zunächst als Anfangsbedingung; das ist jedoch nur die halbe Wahrheit, denn aufgrund der zuvor genannten Argumentation müssen sie für alle Zeiten erfüllt sein. Das ist für eine gewöhnliche Anfangsbedingung nicht der Fall.


Man hat zwei Möglichkeiten, damit umzugehen:

1) Man löst die Gleichungen zu Beginn explizit. Bei der ersten Gleichung ist das nicht ganz einfach, da ein Differentialoperator zu invertieren ist. Bei der zweiten Gleichung erfolgt dies durch die Einführung des Vektorpotentials



Dies stellt automatisch sicher, dass die zweite Gleichung für alle Zeiten erfüllt ist.

2) Man löst die Gleichungen noch nicht, stellt jedoch sicher, dass die Zeitentwicklung sie respektiert. Das ist in der vorliegenden Aufgabe gefordert.


Zur Aufgabe

Am Beispiel der ersten Gleichung: es ist mittels der bekannten Gleichungen der Elektrodynamik zu zeigen, dass



identisch gilt.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Voltobal
Gast





Beitrag Voltobal Verfasst am: 15. Aug 2020 11:20    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Antwort. Ich verstehe allerdings die Angabe bzw. die Aufgabe leider immer nicht ganz. Dass die Gleichung



gilt, ist doch sowieso klar, oder nicht? Indem nämlich



erfüllt ist, muss die Ableitung natürlich auch null sein.

MfG

Voltobal
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14183

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Aug 2020 12:44    Titel: Antworten mit Zitat

Genau das sollst du zeigen.

Sei



und sei



eine explizite Lösung E(x,t) für gegebene rechte Seite, z.B. mittels Fouriertransformation.

Sei außerdem



mit



Dann ist





ebenfalls eine Lösung für t=0, jedoch nicht für t>0, denn



Wenn die Gleichung also als Anfangsbedingung interpretiert wird, dann garantiert die Lösung für alle x und ein t=0 nicht automatisch, dass die Gleichung auch für t>0 gelöst wird.

Du musst also die Zeitableitungen auf E und rho wirken lassen und mittels weiterer Gleichungen der Elektrodynamik explizit zeigen, dass die gegebene Gleichung damit automatisch erfüllt wird.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Voltobal
Gast





Beitrag Voltobal Verfasst am: 15. Aug 2020 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

Mein Ansatz dazu:



Dies ist die Kontinuitätsgleichung und diese ist für alle Zeiten gleich Null. Ist die Lösung der Aufgabe derart gemeint?

MfG
Voltobal
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14183

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Aug 2020 22:10    Titel: Antworten mit Zitat

Genau, so ist das gemeint.

Die Maxwell-Gleichungen sind nur dann konsistent, wenn auch der Strom erhalten ist.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Elektrik