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Zeitentwicklung bei zwei unterscheidbaren Teilchen in 1D
 
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justlikemanuel



Anmeldungsdatum: 13.12.2022
Beiträge: 2
Wohnort: Stuttgart

Beitrag justlikemanuel Verfasst am: 31. Jan 2024 09:48    Titel: Zeitentwicklung bei zwei unterscheidbaren Teilchen in 1D Antworten mit Zitat

Hallo liebe Physiker,

ich komme auf meinem aktuellen QM Blatt einfach nicht weiter, auch nicht mit der Suchfunktion hier.

wir haben zwei unterschiedbare Teilchen in 1D, welche über ein Abstandsabhängiges Potential gekoppelt sind.

Teil a), also die Lösung der Gleichung, habe ich hinbekommen.
In b) soll nun der Anfangszustand zeitlich entwickelt werden, also über exp(-iHt/hbar). Der Term sieht aber sehr bösartig aus (2. Ableitungen in der Taylorreihe, die auf den Produktterm wirken).
Da muss es doch einen Trick geben?

Danke schon mal vorab.



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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17973

Beitrag TomS Verfasst am: 31. Jan 2024 11:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe das Problem nicht. Wo kommt da eine Taylorreihe ins Spiel?

Zunächst mal verwendest du neue Koordinaten



Dann drückst du die Schrödingergleichung in den neuen Variablen aus. Das liefert



Habt ihr das gezeigt? So verstehe ich jedenfalls (a).

Damit erhältst du



d.h. den Term der kinetischen Energie des Schwerpunktes M sowie den Hamiltonian der Relativbewegung inkl. Potential. Beide vertauschen, d.h.



Habt ihr das gezeigt?

Da beide vertauschen, funktioniert ein Separationsabsatz, d.h.



also eine ebene Welle für die Schwerpunktsbewegung, da es für R kein Potential gibt, R also frei ist, mal die Lösung für die Relativbewegung.

Aber so ist die Anfangsbedingung ja schon gegeben.

Die Zeitentwicklung erfolgt je Koordinate separat, d.h. für R und r kann die Schrödingergleichung separat gelöst werden:



Zur Zeitentwicklung

1. Wenn H eine Summe aus vertauschenden Operatoren ist



dann gilt





Das ist bei dir der Fall.

2. Wenn du eine Eigenfunktion als Anfangszustand gegeben hast, dann gilt für die Zeitentwicklung




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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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