Zeitentwicklung bei zwei unterscheidbaren Teilchen in 1D

justlikemanuel · Anmeldungsdatum: 13.12.2022 Beiträge: 2 Wohnort: Stuttgart

Hallo liebe Physiker,

ich komme auf meinem aktuellen QM Blatt einfach nicht weiter, auch nicht mit der Suchfunktion hier.

wir haben zwei unterschiedbare Teilchen in 1D, welche über ein Abstandsabhängiges Potential gekoppelt sind.

Teil a), also die Lösung der Gleichung, habe ich hinbekommen.
In b) soll nun der Anfangszustand zeitlich entwickelt werden, also über exp(-iHt/hbar). Der Term sieht aber sehr bösartig aus (2. Ableitungen in der Taylorreihe, die auf den Produktterm wirken).
Da muss es doch einen Trick geben?

Danke schon mal vorab.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich verstehe das Problem nicht. Wo kommt da eine Taylorreihe ins Spiel?

Zunächst mal verwendest du neue Koordinaten

Dann drückst du die Schrödingergleichung in den neuen Variablen aus. Das liefert

Habt ihr das gezeigt? So verstehe ich jedenfalls (a).

Damit erhältst du

d.h. den Term der kinetischen Energie des Schwerpunktes M sowie den Hamiltonian der Relativbewegung inkl. Potential. Beide vertauschen, d.h.

Habt ihr das gezeigt?

Da beide vertauschen, funktioniert ein Separationsabsatz, d.h.

also eine ebene Welle für die Schwerpunktsbewegung, da es für R kein Potential gibt, R also frei ist, mal die Lösung für die Relativbewegung.

Aber so ist die Anfangsbedingung ja schon gegeben.

Die Zeitentwicklung erfolgt je Koordinate separat, d.h. für R und r kann die Schrödingergleichung separat gelöst werden:

Zur Zeitentwicklung

1. Wenn H eine Summe aus vertauschenden Operatoren ist

dann gilt

Das ist bei dir der Fall.

2. Wenn du eine Eigenfunktion als Anfangszustand gegeben hast, dann gilt für die Zeitentwicklung