Ununterscheidbare Teilchen

Horst0815 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte mal eine etwas seltsame Frage bezüglich der ununterscheidbaren Teilchen. Im deutschen Wikipedia Artikel steht das durch die Entdeckung, dass Elementarteilchen und Atome ununterscheidbar sind, das Principium identitatis indiscernibilium quasi widerlegt wurde - obwohl es anscheinend auch einen formalen Beweis für dieses Prinzip gibt (dieser wurde allerdings nicht genannt).
Nun frage ich mich, ob man formale Beweise überthaupt widerlegen kann. Diese sind ja innerhalb ihrer Axiome gültig, wenn man diese akzeptiert.

Meine Ideen:
Ich würde eher dahin gehen zu sagen, dass dieses Prinzip für die ununterscheidbaren Teilchen ungültig ist (bei gewöhnlichen Dingen vermutlich gültig). Der formale Beweis behält für dieses Prinzip aber trotzdem seine Gültigkeit - immerhin kann man ja viele logische Systeme aufstellen und bei entsprechender Akzeptanz der Axiome auch unsinniges beweisen (die Sinnhaftigkeit von sowas ist eine andere Sache).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Aussage und Begründung in der Wikipedia sind in dieser Form falsch.

Elektronen eines Atoms sind ununterscheidbar in dem Sinne, dass es keine gedachte Nummerierung oder Benennung gibt, also nicht "dieses Elektron vs. jenes Elektron". Zwei Elektronen in einem Atom sind aber sehr wohl unterscheidbar, da sie unterschiedliche Quantenzahlen (Bahndrehimpuls, Spin) oder andere Eigenschaften wie den Ort des Atoms tragen müssen; in allen Quantenzahlen identische Elektronen sind aufgrund des Pauli-Prinzips verboten.

Rein mathematisch ist das trivial, da ein Zustand mit n = 1,2,3 … N in ihrem Zustand Z identischen Fermionen durch den Operator

erzeugt wird, dieser Operator jedoch für n > 1 identisch Null.

Horst0815 · Gast

Oh, okay, dass wusste ich so nicht. Ich dachte immer, sie seien wirklich nicht unterscheidbar, da dies ja als Lösung zum Gibbsschen Paradoxon genannt wird. Dann bezieht sich das also nur auf eine gedachte Nummerierung. Danke für die Aufklärung!

Waren meine anderen Überlegungen zu der Widerlegung des Beweises soweit korrekt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Mir fällt auf, dass meine Argumentation nur die Hälfte der Wahrheit ist.

Für Fermionen erzwingt das Pauli-Prinzip, dass irgendeine Form der Unterscheidbarkeit vorliegen muss.

Für Bosonen ist mein Argument ungültig, der genannte Operator ist für alle n von Null verschiedenen. Es stellt sich allerdings die Frage, was hier eigentlich das "Ding" beschreiben soll. Ist es der Zustand (mit zwei identischen Bosonen, wobei diese nicht als "Ding" sondern lediglich als formale Rechenvorschriften aufzufassen sind)? Dann gäbe es nur ein derartiges "Ding". Oder sind es die beiden Photonen (wobei sich die Frage stellt, wie diese als "Ding" zu verstehen sind).

Horst0815 · Gast

Gute Frage. Ist dann das Principium identitatis indiscernibilium doch ungültig?

Kann man bei solchen philosophischen Prinzipien überhaupt von einer allgemeinen Gültigkeit sprechen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Was soll ich dazu sagen? Der deutsche Wikipedia-Artikel war falsch, offensichtlich von Leuten geschrieben, die das Thema nicht verstanden haben. Der Stanford-Artikel [9] ist differenzierter, er leidet jedoch unter dem selben Problem wie viele andere derartige Diskussionen.

Deren Ausgangspunkt sind historische, metaphysische Überlegungen und insbs. Begriffe, geprägt von Kategorien, die der Quantenmechanik nicht werden (Leibnitz, Kant …). Solange Philosophen derart über Quantenmechanik reden, den Formalismus – das einzig verlässliche was wir haben – nicht wirklich verstehen, jedoch eine Übersetzung desselben in ihre Sprache vornehmen und meinen, daraus Schlüsse ziehen zu dürfen, kann man nur Wolfgang Pauli zitieren.

Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!

Man könnte umgekehrt versuchen, im Rahmen des quantenmechanischen Formalismus Theoreme im Sinne des Principium identitatis indiscernibilium zu formulieren.

Ich habe jetzt erst mal den Wikipedia-Artikel korrigiert (wartet auf Freigabe).

Horst0815 · Gast

Alles klar, danke für deine Antwort.

Womit ich bei dem Artikel auch noch ein Problem hab, ist, dass ich meiner Meinung nach einen formalen Beweis durch Experimente widerlegen kann. Der Beweis beruht ja auf seinen Grundlagen, den Axiomen. Ich kann höchstens die Axiome nicht mehr anerkennen und somit den Beweis als falsch ansehen. Kann man das so sagen?

Aber das sind ja eher Spitzfindigkeiten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Horst0815 · Gast

Danke für deine Anmerkungen. Das Physiker und Philosophen wahrscheinlich schon bei den Begriffen weit auseinander gehen, ist sehr plausibel.

Sind ansonsten meine Annahmen, dass ich einen formalen Beweis nicht experimentell widerlegen kann sondern höchstens die Axiome ablehnen kann und somit den Bewis als ungültig erkläre korrekt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Horst0815 · Gast

Okay, danke! Die Theorie wäre dann, wenn sie nicht zum Experiment passt, falsifiziert. Oder entsprechende Randbedingungen wären falsch.

Und um nochmal auf die logischen Prinzipe in der Philosophie zu kommen: hier ist es ja, wenn die formale Herleitung korrekt ist, nicht ganz so ähnlich, aber es geht tendenziell in die gleiche Richtung: wenn die Herleitung eines Prinzipes formal korrekt ist, kann ich höchstens die Axiome oder/und die Annahmen/Definition als falsch ansehen (was ja experimentell nicht überprüft werden kann) und somit das Prinzip und die entsprechenden Schlussfolgerungen ablehnen. Dadurch ergeben sich ja so gesehen erst die verschiedenen Ansichten und Meinungen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Ja.

Ich würde hier auf die Definitionen bzw. die Terminologie abgeben. Schauen wir uns doch mal das "Ding" an.

Nehmen wir ein Photon im k-ten Zustand. k wäre z.B. ein Index, der z.B. die Energie bezeichnet, also

Wir könnten jedoch auch allgemeinere Zustände betrachten, z.B. kohärente Zustände.

Der Fock-Zustand mit einem Photon im k-ten Zustand lautet dann

wobei rechts der k-te Erzeugungsoperator auf das Vakuum wirkt, und links eine Eins an der k-ten Position steht.

Die linke Seite bezeichnet im weitesten Sinne das, was wir als "Ding" bezeichnen.

Nun betrachten wir stattdessen

wobei wir nun davon sprechen, dass wir einen Zustand mit n Photonen vorliegen haben.

Bezeichne wieder die linke Seite das "Ding", so haben wir kein Problem. Das entsteht erst, wenn wir von n "Dingen", also n Photonen sprechen. Existieren diese aber wirklich als einzelne "Dinge"? Oder sind es nur Rechengrößen? Das wäre ja auch eine experimentelle Frage. Können wir sie tatsächlich trennen, z.B. in einem Laserstrahl? Und selbst wenn wir das könnten, inwiefern hätten sie denn im ursprünglichen Zustand schon einzeln existiert?

Ein einfaches Analogon wäre ein Bankkonto mit 50 Euro Guthaben …

PS. Ich schätze Philosophie und gewisse Philosophen sehr. Aber wenn ich so etwas wie "Für den Bereich der Quantenfeldtheorie … steht die genauere Analyse noch aus; die Diskussion dauert an" lesen muss, jedoch das Gefühl habe, dass weder das einfache Photon-Beispiel noch das Konto o.ä. diskutiert und verstanden wurde, dann halte ich es mit Popper: "Jeder Intellektuelle hat eine ganz spezielle Verantwortung. Er hatte das Privileg und die Gelegenheit, zu studieren. Dafür schuldet er es seinen Mitmenschen (oder „der Gesellschaft“), die Ergebnisse seiner Studien in der einfachsten und klarsten und verständlichsten Form darzustellen. Das Schlimmste – die Sünde gegen den heiligen Geist – ist, wenn die Intellektuellen versuchen, sich ihren Mitmenschen gegenüber als große Propheten aufzuspielen und sie mit orakelnden Philosophien zu beeindrucken. Wer’s nicht einfach und klar sagen kann, der soll schweigen und weiterarbeiten, bis er’s klar sagen kann."

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Horst0815 · Gast

Wow, Poppers Aussage ist echt genial!

Zu deinen anderen Ausführungen: das kann ich als Laie nicht beantworten. Ich weiß lediglich, dass der Qm Formalismus sehr unterschiedlich interpretiert wird. So manch einer würde sagen, er würde gar keine Aussage zu einem "Ding" treffen können, sondern nur reine Berechnungen für Phänomene. Aber da gehen die Meinungen weit auseinander.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Die Frage ging ja nicht an dich, sondern an die Philosophen ;-)

Richtig, die Diskussion ist natürlich sinn- und ziellos, wenn man den Formalismus der Quantenmechanik eher als reines Instrument zur Kodierung von Wissen etc. auffasst, nicht als Repräsentation der Realität.

Bzgl. letzterer bin ich jedoch der Meinung, dass man sich strenger von dem leiten lassen sollte, was einem die Natur erzählt, wie sie sich verhält oder nicht verhält, und nicht von menschengemachten Denkmodellen. Liest man Kant u.a. Philosophen der Aufklärung, so wird klar, dass zusammen mit der menschlichen Vernunft auch menschliche Kategorien – also Kategorien unserer Erkenntnis – Einzug gehalten haben. Und diese können eben für die Welt der Quanten inadäquat bis falsch sein. Daher bin ich immer irritiert, wenn man die Quantenmechanik dennoch durch diese Brille analysieren möchte.

Liest man bei Kant über "das Ding an sich", so wird klar, dass und warum er eben zur Auffassung kam, es sei letztlich nicht erkennbar. Der Denkfehler, der evtl. in dem hier diskutierten Prinzip steckt, ist, dass man mit "das Ding an sich" zumindest immer noch als etwas isoliertes oder isolierbares, zählbares usw. assoziiert. Warum sollte das so sein?? (Ich weiß nicht, was Kant dazu geschrieben hat).

Ein anderes Beispiel sind zwei verschränkte Teilchen. In wie weit sind es denn tatsächlich zwei "Dinge" – obwohl sie unterschiedliche Eigenschaften haben bzw. man ihnen diese in gewisser Weise zuschreiben kann? Wenn bestimmte Eigenschaften immer vollständig korreliert sind, und wenn weder etwas nachweisbares existiert, das diese Korrelation über große Entfernung aufrechterhalten kann, noch allein die Erzeugung die später beobachteten Eigenschaften erklären kann, dann liegt doch der Verdacht nahe, dass diese gedankliche Trennung in "isolierte Dinge" der eigentliche Denkfehler ist.

Der selbe problematische Ansatz wie oben: Nur weil es mit meiner klassischen Sichtweise vereinbar ist, in speziellen Fällen in |a> und |b> zu denken, ist es dennoch wohl der falsche Ansatz, die linke Seite krampfhaft anhand von einzelnen |a> und |b> verstehen zu wollen. Sowohl die Mathematik als auch das Experiment sind hier doch glasklar.

"Der Satz des Nichtzuunterscheidenden gründete sich eigentlich auf die Voraussetzung: daß, wenn in dem Begriffe von einem Dinge überhaupt eine gewisse Unterscheidung nicht angetroffen wird, so sei sie auch nicht in den Dingen selbst anzutreffen; folglich seien alle Dinge völlig einerlei (numero eadem), die sich nicht schon ihrem Begriffe (der Qualität oder Quantität nach) voneinander unterscheiden."

Kant kommt hier von den Begriffen her. Wenn es begrifflich nicht möglich ist, von zwei verschiedenen Dingen zu sprechen, dann sollte man es einfach lassen. Und insofern liegt der Fehler, auf Basis inadäquater Begriffe sinnlose Diskussionen über einzelne Quantenobjekte zu führen, wohl nicht bei ihm.

Für mich beginnen die Denkfehler lange vor dem Principium identitatis indiscernibilium.

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Und hoffentlich auch für Naturphilosophen.

Ich denke immer noch über das Prinzip und seine Formulierung nach.

Nach Kant könnte man die Prämisse eventuell so formulieren: "Wenn man etwas gedanklich nicht trennen kann …"

Entsprechend der Regeln der Quantenmechanik könnte man evtl. schärfer formulieren: "Weil man etwas gedanklich nicht trennen darf …".

Man denkt ja gewissermaßen Trennen und Zuschreiben unterschiedlicher Eigenschaften gemeinsam. Man hat sich entschieden, Trennen anhand klassisch zuschreibbarer Eigenschaften zu diskutieren. Und das ist beweisbar falsch.

Wenn man dies tut, gelangt man mit Bell zu einem Widerspruch zum Experiment. Und mit dem weiteren Formalismus zu der Erkenntnis, dass zunächst mal gar keine klassischen Eigenschaften vorliegen.

Das einzige, was vorliegt, ist ein eindimensionaler Zustandsvektor im Hilbertraum, bei dem eine Trennung immer anhand einer ausgezeichneten Basis vorzunehmen ist. Diese wird aber erst durch eine irgendwie geartete Wechselwirkung (oder speziell einer Messung) ausgezeichnet. D.h. ohne eine solche ist die Wahl einer Basis und daher die Trennung willkürlich – sogar die Anzahl der Teile, in die man trennen möchte. Es ist also für "das Ding oder die Dinge an sich" sinnlos, diese Trennung zu denken. Mit Wechselwirkung ist eine Trennung tatsächlich sinnvoll, aber da ist es eben keine gedankliche Zerlegung sondern ein realer Eingriff, d.h. man betrachtet nicht mehr "das Ding an sich" sondern trivialerweise die "zwei Dinge, die man getrennt hat".

Und damit kann man das ganze Prinzip wirklich beerdigen.

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

Ich persönlich freunde mich bei den Interpretationen der QM ja immer mehr mit der Sichtweise an, dass die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung weitgehend ein reales/echtes physikalisches Feld beschreibt.

Mit dieser Sichtweise vermeidet man viele grundlegende Paradoxien. Komplizierter wird es erst bei den Quantenfeldtheorien mit ihrer "Vielteilchensichtweise". Nicholas Maxwell (Philosoph) https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/037596019491107X schlägt an dieser Stelle ja eine Wahrscheinklichkeitsinterpretation anstelle des Superpositionsprinzips vor. Inwieweit das notwendig ist, ist nicht trivial zu beurteilen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

antaris

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

Aruna_Gast · Gast

Bezüglich des ursprünglichen Themas kamen mir folgende Gedanken:

1.) Kann man die ununterscheidbaren Teilchen nicht auch einfacher veranschaulichen?
Z.B. Fermionen als Objekte, die sich mehr gleichen, als ein Ei dem anderen.
Es ist kein Unterschied festzustellen. Z.B. wie zwei perfekte Kugeln, aus dem gleichen Material.
Wenn man die vertauscht, kann man nicht feststellen, dass die vertauscht sind.
Aber man kann feststellen, dass die sich zur gleichen Zeit an unterschiedlichen Orten befinden.
Auch ein antiker Philosoph würde die dann wohl nicht als das gleiche Objekt ansehen, da man sie zwar nicht aufgrund innerer Eigenschaften unterscheiden kann, aber aufgrund der Lage.
Wenn die beiden Kugeln allerdings auch noch gleichzeitig am gleichen Ort im gleichen Bewegungszustand befänden, wären das dann noch zwei verschiedene Objekte, oder ein neues Objekt, mit doppelter Masse?
Einem antiken Philosophen würde die Vorstellung zweier massiver Objekte, die sich zur gleichen Zeit am gleichen Ort befinden, eventuell absurd vorkommen, da es seiner Alltagserfahrung widerspricht...
... bei Schatten würde es eventuell gehen: was ist mit zwei Schatten zweier unterschiedlicher Objekte, die sich überlagern? Sind das in dem Überlagerungsbereich noch unterschiedliche Schatten, oder ein und derselbe Schatten?

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2.) Wenn man sich die Idee des Ein-Elektronen-Universums von Wheeler betrachtet:

Sonnenwind · Anmeldungsdatum: 25.04.2022 Beiträge: 678

Man darf aber doch schon mal dumm fragen, ob ein hier auf der Erde gemessenes Elektron sich von einem auf dem Sirius unterscheidet?

Wie soll sich dieses denn in der nächsten Minute mit einem auf dem Sirius austauschen?

Der Ort bleibt wohl für lange Zeit verschieden.

antaris

Aruna_Gast · Gast

Joho123 · Gast

Hallo, ich bin gerade hier auf das Thema gestoßen und hätte zu den ununterscheidbaren Teilchen eine Frage:

So wie ich es verstanden habe, sind alle Teilchen, wenn sie im selben Zustand vorliegen, ununterscheidbar (zb die einzelnen Moleküle in einem Gas).

Aber wie verhält sich das in Festkörpern? Dort sind ja die einzelnen Atome fest gebunden und schwingen im Gitter (zB Metalle). Sind dort die einzelnen Atome dann auch ununterscheidbar?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Ich denke, es hilft, mal etwas formaler zu werden.

Der entscheidende Punkt ist, dass die Teilchen völliger ununterscheidbar sind – bis auf den jeweils vorliegenden konkreten Zustand, in dem sich befinden. Das klingt irgendwie trivial, aber es besagt, dass es keine zusätzliche Nummer eines Teilchens gibt.

Nehmen wir zwei Teilchen im einen Festkörper. Diese können lokalisiert an zwei Atomen sein, oder wie die Leitungselektronen völlig delokalisiert über das gesamte Metall. Bezeichnen wir die Teilchen mit 1,2 und die beiden Zustände mit A, B. Dann ist es falsch, zu sagen "das Teilchen 1 sei im Zustand A und das Teilchen 2 im Zustand B". Richtig ist, "ein Teilchen sei im Zustand A und das andere im Zustand B".

Bezeichnen wir die Zustände wie in der Quantenmechanik üblich psi.

Dann ist das folgende falsch:

Richtig ist

Das Vorteichen plus bzw. minus gilt für Bosonen bzw. Fermionen.

Sind beide Teilchen im selben Zustand, so gilt für Fermionen

d.h. dieser Zustand ist verboten.

Joho123 · Gast

Danke für die Ausführung!

Aber wie verhält es sich denn mit lokalisierten Atomen in einem Metallgitter? Darf ich die theoretisch auch nicht nummerieren, oder betrifft dass nur die Elementarteilchen ( zb die Valenzelektronen)?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Wenn du ein gesamtes Atom als Teilchen betrachten möchtest, dann hättest du näherungsweise Orte n=1,2 … im Gitter, um die die Wellenfunktion jeweils lokalisiert ist, und du müsstest diesbzgl. in ähnlicher Weise symmetrisieren bzw. antisymmetrisieren. Die Abhängigkeit von den Orten steckt dann in dem A,B … Aber bzgl. der Nummer n kannst du nicht unterscheiden; diese ist ein Hilfskonstrukt.

Joho123 · Gast

Ja, also wenn ich das gesamte Atom betrachte. Das ist doch lokalisiert und ortsfest in der Gitterstruktur, oder?

Ich verstehe zwar, dass die Nummerierung wie du schreibst mathematisch gesehen verboten ist und nur ein gedanklichen Hilfsmittel wäre, aber trotzdem leuchtet es mir rein vom Verstand noch nicht ganz ein. Immerhin sind ja die Atome im Gitter fest.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Nehmen wir zwei n=1,2 Atome des selben Elements an zwei Orten a,b (wobei r im folgenden für die Vektoren steht) die sich evtl. noch im weitere Größen (Energie o.ä) unterscheiden. Dann hätten wir für letzteres noch unterschiedliche Formen der Wellenfunktion, die wir mir alpha, beta bezeichnen.

Das wäre dann

Joho123 · Gast

Ok, aber so komplett ununterscheidbar sind die Teilchen dann ja doch nicht, oder ist das ein Fehlschluss?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Die Zustände der Teilchen sind unterscheidbar, nicht die Teilchen selbst.

S.o. Es ist falsch, zu sagen "das Teilchen 1 sei im Zustand A und das Teilchen 2 im Zustand B". Richtig ist, "ein Teilchen sei im Zustand A und das andere im Zustand B".

Joho123 · Gast

Ok. Aber mal angenommen, ich habe ein Atom im Metallgitter, welches ich betrachte und ein anderes, welches 100 mm entfernt von dem anderen in der gleichen Gitterstruktur ist. Allein durch die verschiedenen Orte im Gitter muss ich doch eigentlich die Atome unterscheiden können, oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Ja.

Aber diese Unterscheidung steckt allgemein im Zustand A,B, hier den Orten a,b und den weiteren Eigenschaften alpha,beta – jedoch nicht in den Nummern 1,2.

Joho123 · Gast

Gut, dass leuchtet ein, danke!

So wie ich es in einem Thema gelesen habe, darf man aber solche Eigenschaften (also Lokalisierung) den Quantenobjekten nicht unabhängig zuschreiben. Wie kann ich das allerdings in solch einer festen Gitterstruktur?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18082

Was meinst du mit "nicht unabhängig zuschreiben"?

Nehmen wir n Elektronen, die einen bestimmten gebundenen Zustand psi an einem Atom in einem Gitter Gamma einnehmen.

Für unterscheidbare Teilchen hätten wir "erstes Elektron am ersten Atom am ersten Gitterplatz, zweites Elektron am zweiten Atom am zweiten Gitterplatz …". Das wäre

wobei das Produkt über alle gamma in Gamma, d.h. über alle Gitterplätze läuft.

Für ununterscheidbare Teilchen müssen wir (wie oben für zwei Teilchen) geeignete Summen über permutierte Produkte mit Vorzeichen einführen damit der Ausdruck insgs. antisymmetrisch ist; d.h. wenn man gedanklich die Teilchen am i-ten und k-ten Gitterplatz vertauscht, dann

Siehe hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Slater_determinant

Mittels der o.g. Operatoren erfolgt diese Antisymmetrisierung automatisch.

Joho123 · Gast

Ich meinte damit, dass ich mal gelesen habe, dass es verboten wäre, Quantenobjekten im Vorhinein Eigenschaften wie Orte, Impulse usw. zuzuschreiben.
Oder bezieht sich das nur auf ungebundene freie Teilchen? Denn irgendwie müssen die ja fest innerhalb ihrer Bindung bleiben, sonst hätten wir ja keine Festkörper und mein Zahnputzbecher, den ich eben noch in der Hand hielt, wäre womöglich schon nicht mehr da.