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Teilchen im Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden
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aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 21. Jan 2017 17:45    Titel: Teilchen im Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden Antworten mit Zitat

Hallo,
ich hätte zu oberem Thema eine Frage.

Im Potentialtopf ist die maximale Energieunschärfe ja begrenzt durch die Länge des Topfes.
Das heißt die Impulsunschärfe kann nur einen minimalen Wert von ca. hquer/L erreichen.

Zudem ist die mögliche Energie des Teilchens gequantelt, da sich im Topf nur bestimmte stehende Wellen ausbilden können (links und rechts Knoten, da ja das zu überwindende Potential unendlich groß wäre)

Richtig?
Wie hängen nun beide aber zusammen?

Bin über jede Hilfe dankbar.


Zuletzt bearbeitet von aaabbb am 17. Feb 2017 16:38, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Jan 2017 21:13    Titel: Re: Teilchen im Potenzialtopf mit unendlich hohen Wönden Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Im Potentialtopf ist die maximale Energieunschärfe ja begrenzt durch die Länge des Topfes.

Nein.

Im Potentialtopf ist die Ortsuschärfe begrenzt durch die Ausdehnung des Topfes. Mit der Energieunschärfe hat das nichts zu tun.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Das heißt die Impulsunschärfe kann nur einen minimalen Wert von ca. hquer/L erreichen.

Das ist die richtige Größenordnung, aber grundsätzlich kann die Impulsunschärfe auch kleiner werden.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Zudem ist die mögliche Energie des Teilchens gequantelt, da sich im Topf nur bestimmte stehende Wellen ausbilden können.

Ja.

Kennst du die Definition für die Orts- und Energieunschärfe?
Ist dir klar, warum Impuls- und Energieunschärfe wenig miteinander zu tun haben?
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 504

Beitrag aaabbb Verfasst am: 22. Jan 2017 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

dx*dp >=hquer
dt*dE >=hqeur

Das erste sagt ja, je genauer ich den Ort des Teilvhens messe, desto ungenauer wird sein Impuls.

Das zweite sagt doch, dass ich eine Energie umso genauer messen kann, je länger ich messe. Wenn ich also lange messe ist zwar die Energie genau, aber dafür der Zeitpunkt unscharf.

So habe ich mir das mal erklärt.
Aber das scheint mir hier nicht viel zu bringen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jan 2017 18:31    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
dx*dp >=hquer
dt*dE >=hqeur.

Die zweite Gleichung ist - obwohl oft anders dargestellt - nicht fundamental; sie sollte nicht überinterpretiert werden.

Bei der ersten Gleichung geht es um die Berechnungen der Unschärfen für Ort und Impuls.

Nehmen wir einen Quantenzustand, der durch eine Wellenfunktion psi beschrieben wird. Dann gilt



A steht dabei für Operatoren x,p.

Dieser Ausdruck soll für das Teilchen im Kasten ausgewertet werden. Dazu muss du für psi eine der Eigenfunktionen einsetzen und die Erwartungswerte berechnen.
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 504

Beitrag aaabbb Verfasst am: 23. Jan 2017 13:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, ich glaube das würde ich noch hinbekommen.
Aber die von die gegebene Formel haben wir so noch nie besprochen.

Nehmen wir mal an ich hätte dann dx und xp berechnet.
Wie hilft mir das dann um die Frage zu beantworten?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 23. Jan 2017 23:18    Titel: Antworten mit Zitat

Die Berechnung zeigt dir, dass die stationären Zustände trotz diskreten und scharfen Energien jeweils eine Impulsunschärfe (und natürlich auch eine Ortsunschärfe) haben und dass die Unschärfenrelation erfüllt ist.

Außerdem siehst du im Verlauf der Rechnung, dass die Energieeigenzustände keine Impulseigenzustände sind.

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«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 504

Beitrag aaabbb Verfasst am: 23. Jan 2017 23:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ok,
Wäre es möglich das ganze auch ohne Rechnung, rein aus Überlegung heraus zu begründen?
Denn die Formel haben wir so nicht behandelt.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jan 2017 06:55    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Wäre es möglich das ganze auch ohne Rechnung, rein aus Überlegung heraus zu begründen?

Die Wellenfunktion im Ortsraum ist keine Eigenfunktion des Ortsoperators; sie hat offensichtlich eine gewisse Breite. Daher ist die Ortsunschärfe größer Null.

Durch Fouriertransformation in den Impulsraum erkennt man, dass auch hier eine gewisse Breite vorliegt. Daher ist die Impulsunschärfe ebenfalls größer Null. Das macht man sich wie folgt klar: die Eigenfunktion des Impulsoperators ist eine Deltafunktion im Impulsraum, d.h. eine unendlich ausgedehnte Welle exp[ikx] im Ortsraum. Durch den Kasten liegt jedoch eine abgeschnittene ebene Welle sin[kx] vor; durch das Abschneiden, d.h. das Lokalisieren im Kasten werden jedoch höhere Moden erzeugt.
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 25. Jan 2017 20:06    Titel: Antworten mit Zitat

Und was hat das ganze jetzt mit den diskreten Energie Niveaus zu tun?
Tut mir Leid, aber so ganz verstehe ich das noch nicht.
Die Frage war ja:
Wie kann man sich die Impulsunschärfe erklären, das Teilchen hat doch im Topf eine diskrete Energie?

Wir haben jetzt festgestellt, dass es sowohl eine Ortsvals auch eine Impulsunschärfe gibt.
Aber warum keine Energieunschärfe?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jan 2017 22:32    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Wir haben jetzt festgestellt, dass es sowohl eine Orts- als auch eine Impulsunschärfe gibt.
Aber warum keine Energieunschärfe?

Weil das eben zwei verschiedene paar Schuhe sind.

Um das genau zu verstehen, muss man aber die exakte Herleitung durcharbeiten. Die heuristischen Argumentate sind da nicht ausreichend.
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 504

Beitrag aaabbb Verfasst am: 26. Jan 2017 15:16    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke erstmal.
Ich denke aber nicht, dass die exakte Herleitung von uns verlangt wird.
Ich gehe mal davon aus, dass das ein größerer Aufwand ist.

Wie würdest also Du diese Frage beantworten (ohne exakte Herleitung)?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Jan 2017 15:25    Titel: Antworten mit Zitat

So wie oben :-)

Weniger exakt geht's nicht, sonst landest du wieder bei deinem Trugschluss, dass die Unschärfe verschwindet. Gefragt ist nach der Impulsunschärfe, und dazu benötigst du <p> sowie <p²>; die Energie ist scharf definiert, d.h. es liegt ein Eigenzustand zu H vor, jedoch nicht zu p; das ist der entscheidende Punkt
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 27. Jan 2017 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

Impulsunschärfe im Zustand psi:



"Scharf" bedeutet



"Unscharf" bedeutet


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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Jan 2017 15:09, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


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Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 27. Jan 2017 13:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Beispiel zur Berechnung der Impulsunschärfe

Im Ortsraum für einen normierten Zustand psi







Die Erwartungswerte gelten dabei immer bzgl. eines Zustandes psi.

Einfacher im Impulsraum






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aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 28. Jan 2017 16:58    Titel: Antworten mit Zitat

Tut mir Leid, aber ich hatte die letzten Tage keine Zeit mich mit der Frage weiter zu befassen.

Lass mich jetzt mal zusammenfassen.

Im Potentialtopf ist die Ortsuschärfe begrenzt durch die Ausdehnung des Topfes.
Darum kann laut Unschärferelation die Impulsunschärfe nur einen minimalen Wert in der Größenordning von hquer/L erreichen.
Zudem ist die mögliche Energie des Teilchens gequantelt, da sich im Topf nur bestimmte stehende Wellen ausbilden können.

Oder anders ausgedrückt: Die Wellenfunktion im Kasten ist eine Eigenfunktion der Energie, wodurch sich definierte Eigenwerte der Energie ergeben.
Jedoch ist die Wellenfunktion keine Eigenfkt. bezüglich dem Impuls. D.h. es liegt eine Impulsunschärfe vor.

Die Impulsunschärfe und die Energieunschärfe haben also nichts miteinander zu tun.

---------------------
Aber nun frage ich mich:
es gilt doch für die kinetische (nicht rel) Energie E=1/(2m)*p^2
Wenn wir im Kasten nun annehmen, dass die potentielle Energie Null ist,
so hängen doch Impuls und Energie über obere Formel zusammen.
Das steht doch im Widerspruch zu oberer Aussage?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 28. Jan 2017 20:05    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Im Potentialtopf ist die Ortsuschärfe begrenzt durch die Ausdehnung des Topfes.

Ja.

(aber da man die Wellenfunktionen kennt, sollte man die Ortsunschärfe eben exakt berechnen)

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Darum kann laut Unschärferelation die Impulsunschärfe nur einen minimalen Wert in der Größenordnung von hquer/L erreichen.

Das ist eine vernünftige Größenordnung

(aber da man die Wellenfunktionen kennt, sollte man die Impulsunschärfe eben exakt berechnen)

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Zudem ist die mögliche Energie des Teilchens gequantelt, da sich im Topf nur bestimmte stehende Wellen ausbilden können.

Ja.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Oder anders ausgedrückt: Die Wellenfunktion im Kasten ist eine Eigenfunktion der Energie, wodurch sich definierte Eigenwerte der Energie ergeben.

Ja.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Jedoch ist die Wellenfunktion keine Eigenfkt. bezüglich dem Impuls. D.h. es liegt eine Impulsunschärfe vor.

Ja.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Die Impulsunschärfe und die Energieunschärfe haben also nichts miteinander zu tun.

Ja.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
es gilt doch für die kinetische (nicht rel) Energie E=1/(2m)*p^2
Wenn wir im Kasten nun annehmen, dass die potentielle Energie Null ist,
so hängen doch Impuls und Energie über obere Formel zusammen.
Das steht doch im Widerspruch zu oberer Aussage?

Nein, das steht nicht im Widerspruch.

Es liegt keine Eigenfunktion zu p, jedoch eine zu p² vor, wie du durch Nachrechnen leicht zeigst.

Wie lautet denn die Formel für die Energieunschärfe, ausgedrückt durch H bzw. p²? Das solltest du jetzt eigtl. hinschreiben können.

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jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Jan 2017 20:22    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es liegt keine Eigenfunktion zu p, jedoch eine zu p² vor, wie du durch Nachrechnen leicht zeigst.

Was Tom sagen will: Das wäre eine schöne Übung smile
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 28. Jan 2017 23:13    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:


Wie lautet denn die Formel für die Energieunschärfe, ausgedrückt durch H bzw. p²? Das solltest du jetzt eigtl. hinschreiben können.


Ich komme genau so weit. Und wie setze ich jetzt <E>und <E^2> in untere Formel ein?



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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Jan 2017 08:58    Titel: Antworten mit Zitat

Es liegt ein Eigenzustand zu H vor; was also ist



aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 29. Jan 2017 21:17    Titel: Antworten mit Zitat

Das entspricht jeweils den Eigenwerten mal der Wellenfkt., oder?


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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 11333

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Jan 2017 06:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ja.

Und weiter? Was fehlt dir noch?
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 30. Jan 2017 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Ich brauche jetzt ja irgendwie |H| und |H^2|
Ich miss das ganze doch jetzt irgendwie so umformen, dass ich die Erwartungswerte einsetzen kann, oder?

Ich glaub ich bin auf der falschen Spur. :/



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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2017 22:12    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Ich brauche jetzt ja irgendwie |H| und |H^2|
Ich miss das ganze doch jetzt irgendwie so umformen, dass ich die Erwartungswerte einsetzen kann, oder?

Ich glaub ich bin auf der falschen Spur. :/

Lies Dir nochmal die BraKet-Notation durch. Da steht nirgends der Betrag von H und H^2.
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 30. Jan 2017 23:14    Titel: Antworten mit Zitat

Da steht doch |A| und |A^2|.
Oder?
Und das A steht doch für die Operatoren.
Also in unserem Fall H?
aaabbb



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Beitrag aaabbb Verfasst am: 09. Feb 2017 11:59    Titel: Antworten mit Zitat

Achso, die hatten wir nicht behandelt. Dann müsste das eidentlich gehen.
Habe unten mal den Ansatz aufgeschrieben.

Könnte ich das ganze auch beweisen in dem ich die Eigenwerte für die Energie und den Impuls berechne?
Für die Energie müssten ja dann Eigenwerte rauskommen und für den Impuls nicht.
Darum ist die Energie diskret, nicht aber de Impuls.
Denn wie man Eigenwerte berechnet haben wir behandelt.



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aaabbb



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Beitrag aaabbb Verfasst am: 09. Feb 2017 13:00    Titel: Antworten mit Zitat

Hab das für den Impulseigenwert kurz mal gerechnet.


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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Feb 2017 08:54    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast gezeigt, dass die stehenden Wellen im Kasten keine Eigenzustände des Impulsoperators sind (wir zu erwarten war).

Du musst jedoch noch die Integrale über den Topf berechnen, um die Erwartungswerte <x²>, <x>², <p²>, <p>² und daraus Δx und Δp zu bestimmen.

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aaabbb



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Beitrag aaabbb Verfasst am: 11. Feb 2017 19:47    Titel: Antworten mit Zitat

Also zu zeigen, dass die Wellenfunktion keine Eigenfkt. des Impulses ist und es damit keine Impulseigenwerte gibt, reicht nicht um die Impulsunschärfe zu erklären?
Ich frage desshalb, weil die ganz oben von mir gepostete Frage nur eine kleine Teilaufgabe war. Ich kann mir nicht vorstellen, dass man da alle genannten Erwartungswerte berechnen muss. grübelnd
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 11. Feb 2017 21:08    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Also zu zeigen, dass die Wellenfunktion keine Eigenfkt. des Impulses ist und es damit keine Impulseigenwerte gibt, reicht nicht um die Impulsunschärfe zu erklären?

Man kann das schon irgendwie verargumentieren, aber um das präzise zu zeigen solltest du einfach diese vier Integrale berechnen. So viel Arbeit ist das nicht.
aaabbb



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Beitrag aaabbb Verfasst am: 12. Feb 2017 21:01    Titel: Antworten mit Zitat

Ok.
Es ist nur so, dass das eine Klausuraufgabe war.
Ich denke in der Prüfung kostet das zu viel Zeit (vorallem da es wie gesagt nur eine kleine Teilaufgabe war).

Wenn das eine Aufgabe für zu Hause wäre würde ich das jetzt rechen und damit hätte ich das lückenlos bewiesen. In der Prüfung kann ich mich damit aber nicht so lange befassen.

Daher mein ständiges Nachfragen, ob es nicht noch anders geht und mein Widerwille die Aufgabe zu rechnen. Nicht, dass du meinst ich wäre zu faul smile.
aaabbb



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Beitrag aaabbb Verfasst am: 16. Feb 2017 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

Hi, habe mir jetzt doch mal die Mühe gemacht das ganze für den Impuls mal auszurechnen.

Vorausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet komme ich darauf, dass die Unschärfe des Impulses ungleich Null ist. Damit hätte ich das jetzt gezeigt.

Aber ich bin mir zu 100% sicher, dass das so von der Aufgabenstellung nicht verlangt wird. Denn zum einen ist es wie bereits gesagt nur eine kleine Teilaufgabe und zum anderen hatte man keine Integraltafel in der Prüfung.
Und das ganze von Hand zu rechnen ist dann wirklich unschaffbar in der Prüfungszeit.

Wie würdet Ihr also die Aufgabe unter Prüfungsbedingungen beantworten?



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Zuletzt bearbeitet von aaabbb am 17. Feb 2017 16:40, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2017 21:20    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ein Zustand |E> vorliegt, der Element eines vollständigen Orthonormalsystems {|E_n>} ist, dann gilt für die Impulsunschärfe in diesem Zustand



Mittels Einschieben der Eins



im ersten Term folgt



Da nun



tritt der zweite Term an genau einer Stelle in der Summe auf und es gilt



mit der Schreibweise



Da nun gemäß der Voraussetzung der vorliegende Zustand |E> kein Eigenzustand von p ist, ist sicher



wobei links der Operator p und rechts eine Zahl f_E steht, d.h. es gilt stattdessen



wobei der zweite Vektor orthogonal zu |E> und sicher ungleich dem Nullvektor ist.

Damit können nicht alle Terme der Summe Null sein, denn



wobei ich unter der Summe



benutzt habe.

Man kann das noch umschreiben zu



wobei ich wieder



benutzt habe.

(der Beweis enthält einige implizite Annahmen, z.B. dass p symmetrisch ist, dass ein diskretes Spektrum und somit normierbare Eigenzustände vorliegen; für eine Klausur ist das aber sicher zulässig)

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2017 22:18    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, alles viel zu kompliziert.

Im Zustand |E> gilt



Da |E> kein Eigenzustand zu p ist, gilt



mit





Damit ist







Daraus folgt sofort


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aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
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Beitrag aaabbb Verfasst am: 16. Feb 2017 23:04    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank zunächst mal für deine Mühe.

Leider komme ich da nicht ganz mit.
Sehe das "Xi" in diesem Zusammenhang zum ersten mal smile.
Was meinst du genau mit dem Zustand |E> ?
Und warum schreibt du jetzt E anstelle der Wellenfunktion?
Ich habe das Gefühl das übersteigt mein Wissen über die Quantenmechanik.
Bin kein Physik Student Augenzwinkern
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2017 23:23    Titel: Antworten mit Zitat

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Sehe das "Xi" in diesem Zusammenhang zum ersten mal.

Das ist einfach eine Bezeichnung für den zu |E> orthogonalen Anteil.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Was meinst du genau mit dem Zustand |E> ?

|E> ist einfach ein beliebiger Energieeigenzustand im Kasten, für den die Unschärfe zu berechnen ist.

aaabbb hat Folgendes geschrieben:
Und warum schreibt du jetzt E anstelle der Wellenfunktion?

Weil's kompakter ist als



Wenn du kein Physikstudent bist, was bist du dann?
Ich



Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 628
Wohnort: Mintraching

Beitrag Ich Verfasst am: 17. Feb 2017 10:15    Titel: Antworten mit Zitat

E ist nicht die kinetische Energie, auch wenn V über ein Stück Weg verschwindet. Die kinetische Energie hat genausowenig feste Eigenwerte wie der Impuls.
http://www.didaktik.physik.uni-muenchen.de/archiv/inhalt_materialien/milq/potentialtopf.pdf
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 504

Beitrag aaabbb Verfasst am: 17. Feb 2017 10:57    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, dass für uns eine qualitative Begründung reicht.
Auch wenn sie für dich zu oberflächlich erscheinen mag Augenzwinkern.
Hättest du eine Idee wie man das in Worten sagen könnte?


Zuletzt bearbeitet von aaabbb am 17. Feb 2017 16:42, insgesamt einmal bearbeitet
Scharf
Gast





Beitrag Scharf Verfasst am: 17. Feb 2017 11:15    Titel: Antworten mit Zitat

Bevor ich auf deine Frage eingehe, möchte ich dich fragen, ob Du weißt ,dass die Unschärfe nichts mit der Messung zu tun hat, sondern ist auf grundlegende und prinzipielle Erkenntnisse in der QM begründet?
aaabbb



Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 504

Beitrag aaabbb Verfasst am: 17. Feb 2017 11:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, dann versuch es mal.
Ich



Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 628
Wohnort: Mintraching

Beitrag Ich Verfasst am: 17. Feb 2017 12:10    Titel: Antworten mit Zitat

Die Erklärung ist aber wirklich die, dass das Eigenzustände der Gesamtenergie sind und nicht der kinetischen Energie. Da diese genauso unscharf ist wie der Impuls, gibt es da keinen Widerspruch.
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