Teilchen im Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden - Seite 2

Scharf · Gast

Was scharf und was unscharf bedeutet, was er mathematisch im Beitrag von
27.Jan 2017 12:02 geschrieben hat.

Kannst Du erklären, was die mathematische Formel aussagen?
also wann ist der Impuls oder Ort ."SCHARF"

Scharf · Gast

Nachtrag ( jedoch höchstwahrscheinlich überflüssig)

Tom hat geschrieben

„Scharf“ bedeutet

Delta P=0

„Unscharf“ bedeutet

Delta P>0

Kannst Du diese in Worten fassen?

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Das heißt doch, dass bei scharf die Impulsunschärfe nicht vorhanden ist. Das heißt der Impuls hat einen genauen Wert, nämlich die Eigenwerte.

Sollte delta p größer sein als 0 so ist der Impuls nicht genau bestimmt. Es gibt also keine Eigenwerte die man messen kann.
grübelnd

@ich:
Aber im Potentialtopf ist doch die potentielle Energie konstant. Das heißt man kann sie gleich Null setzen. Damit ist die Kinetische Energie gleich der Gesamtenergie.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Aus der Wellenfunktion eines quantenmechanischen Zustandes folgen mögliche Messwerte für Observable, d.h. physikalisch messbare bzw. beobachtbare Größen, die in der QM durch selbstadjungierte Operatoren beschrieben werden: Ort, Impuls, Energie, Spin, …

Wenn ein Eigenzustand einer Observablen A mit Eigenwert a vorliegt, d.h. wenn die Eigenwertgleichung

für die Wellenfunktion gilt, dann ist a der einzig mögliche Messwert. D.h. wenn eine Messung durchgeführt wird, dann liefert diese Messung von A sicher den Wert a. Die Beschreibung gilt jedoch unabhängig von der Messung; diese muss nicht tatsächlich durchgeführt werden.

In diesem Fall ist die Observable A in diesem Zustand „scharf“.

Wenn kein Eigenzustand einer Observablen vorliegt, dann gilt die o.g. Eigenwertgleichung nicht. Dies bedeutet, dass auch andere Messwerte möglich sind. Diese möglichen Messwerte sind Eigenwerte, aber eben nicht nur ein Eigenwert. Aus der Wellenfunktion folgen dann Erwartungswert und Varianz der Messwerte (im Falle eines Eigenzustandes ist der Erwartungswert gleich dem Eigenwert, die Varianz ist Null). Die Wellenfunktion beschreibt dann, mit welcher Wahrscheinlichkeit welcher Eigenwert gemessen wird (im Falle eines Eigenzustandes ist diese Wahrscheinlichkeit für den vorliegenden Eigenwert gleich Eins, für alle anderen Null).

Die entsprechenden Gleichungen für Erwartungswert und Varianz lauten

D.h. wenn Messungen an einem Ensemble identischer Systeme durchgeführt werden, dann gelten der o.g. Erwartungswert bzw. Varianz für die Messwerte. Die Beschreibung ist wiederum unabhängig von den Messungen; diese müssen nicht tatsächlich durchgeführt werden.

In diesem Fall, dass kein Eigenzustand vorliegt, hat die Wahrscheinlichkeitsdichte eine gewisse Breite, d.h. für die Messwerte liegt eine gewisse Varianz vor. D.h. A ist in diesem Zustand „unscharf“.

Meine letzte Rechnung zeigt, dass alleine aus der Tatsache, dass kein Eigenzustand zu A vorliegt, folgt, dass die Varianz = die Unschärfe von A in diesem Zustand A nicht verschwindet.

Konkret für Energie und Impuls gilt folgendes: in vielen Fällen ist der Hamilton- bzw. Energieoperator gegeben als

Wenn V verschwindet, gilt

Nun gilt, dass wenn ein Eigenzustand zum Impuls p vorliegt, dass dann auch ein Eigenzustand zum Hamiltonoperator H vorliegt. Allerdings gilt i.A. umgekehrt nicht, dass wenn ein Eigenzustand zum Hamiltonoperator H vorliegt, dass dann auch ein Eigenzustand zum Impuls p vorliegt. Im Falle der stehenden Welle im Kasten kann man das leicht einsehen, da die Wellenfunktion

als Überlagerung zweier verschiedener Impulseigenzustände mit den Eigenwerten

geschrieben werden kann. Wenn also ein derartiger Energieeigenzustand als stehende Welle vorliegt, dann sind genau diese zwei verschiedenen Impulse als Messwerte möglich; wenn aber zwei verschiedene Messwerte möglich sind, dann ist die Varianz ungleich Null, d.h. es liegt eine Impulsunschärfe vor.

Der vorliegende Fall ist etwas speziell, die Wellenfunktion als Überlagerung zweier einzelner Wellenfunktionen mit jeweils scharfem Impuls und identischer, ebenfalls scharfer Energie geschrieben werden kann. Dies liegt ausschließlich an den Randbedingungen im Kasten, die erzwingen, dass stehende Wellen vorliegen, d.h. dass keine laufenden angesetzt werden dürfen.

Da kein Eigenzustand des Impulses vorliegt, gilt die o.g. Eigenwertgleichung nicht. Damit muss auf der rechten Seite zwingend ein Zusatzterm auftreten, der nicht proportional zur vorliegenden Wellenfunktion ist; das ist der Anteil, den ich mit xi bezeichnet habe. Aus den weiteren Rechnungen folgt, dass genau dieser Teil die Unschärfe trägt.

EDIT:

Stellt man die Wellenfunktion nicht im Orts- sondern mittels Fouriertransformation im Impulsraum dar, dann entsricht diese direkt der Wahrscheinlichkeitsdichte für die Impulsverteilung.

Für eine laufende ebene Welle mit Impuls p_n gilt (bis auf Normierungskonstanten)

Die delta-Funktion ist scharf und hat einen Peak bei p_n.

Für eine stehende ebene Welle gilt (bis auf Normierungskonstanten)

Die Wellenfunktion ist selbst nicht scharf; sie besteht aus zwei scharfen Peaks bei p_n und -p_n.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Ok, habe ich das richtig verstanden?
Ich kann das jetzt auf 2 Weisen begründen:

1)
Wellenfkt. erfüllt Eigenwertgleichung der Energie E--> Energie E scharf da nur ein einziger Messwert möglich

Wellenfkt. erfüllt Eigenwertgleichung des Impulses nicht--> Impuls p unscharf da verschiedene Messwerte möglich da Wahrscheinlichkeitsdichte gewisse Breite.

Oder:

2)
Wenn ein Eigenzustand zur Energie E vorliegt heißt das nicht, dass auch ein Eigenzustand zum Impuls vorliegt.
Denn es gilt E=p^2/(2m)
Wenn ich das nach p auflöse komme ich auf 2 mögliche Werte für p --> Unschärfe

Wäre das vom Prinzip her so richtig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

aaabbb · Anmeldungsdatum: 26.09.2013 Beiträge: 509

Ok, also dann bin ich mit Begründung 1) und durch kurzes Zeigen, dass die Eigenwertgleichung für den Impuls nicht erfüllt ist auf der sicheren Seite.
Und ich denke das entspricht eher unserem Niveau als die von dir gezeigte Rechnung smile

.

Vielen Dank an dieser Stelle für deine Geduld.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich hat recht, ich entschuldige mich für den Irrtum. Meine Argumentation bzgl. der beiden ebenen Wellen mit jeweils scharfem Impuls gilt für unendlich ausgedehnte Wellenzüge, jedoch nicht für endliche Wellen im Kasten.

bbbaaa · Gast

unendlich ausgedehnte Wellenzüge, jedoch nicht für endliche Wellen im Kasten.

Die Frage bezog sich von Anfang an auf endliche Wellen im Kasten.

Was nun?
Wie lautet jetzt Deine Antwort?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

bbbaaa · Gast

Was meinst Du mit "verschmiert" in diesem Zusammenhang?

wie sieht "nicht verschmierte" Impulsverteilung aus?
und wo ist der Zusammenhang mit der Unschärfe?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062