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Teilchen im Kreiskegel
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WhiteRussian



Anmeldungsdatum: 16.05.2011
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Beitrag WhiteRussian Verfasst am: 24. Mai 2011 11:28    Titel: Teilchen im Kreiskegel Antworten mit Zitat

Hallo,
darf man für ein Teilchen, dass reibungsfrei auf der Innenseite eines Kreiskegels gleitet die potentielle Energie benutzen? Alpha ist der halbe Öffnungswinkel, r der Radius des Kreiskegels auf der Höhe h. Siehe Skizze

Bin mir insofern nicht sicher, da wir die Lagrangefunktion mit r und Theta aufstellen sollen. Theta ist aber der (horizontale) Winkel. Theta gibt also an, wo sich das Teilchen bei konstanter Höhe im Kegel befindet. Bei meiner Lösung kommt kein Theta vor... Ich weiß auch nicht, wozu man das braucht, denn das Teilchen rutscht doch immer gerade da runter? Der Kreiskegel dreht sich ja nicht. Einzige Kraft ist die Schwerkraft.



trichter.png
 Beschreibung:
Skizze
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 Angeschaut:  13196 mal

trichter.png


TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Mai 2011 12:59    Titel: Antworten mit Zitat

Es gibt mehrere Möglichkeiten dafür.

Zum ersten ist die potentielle Energie immer über die Höhe definiert, unabhängig davon, ob das Teilchen nun auf dem Kegel sitzen muss oder nicht.

Um das Teilchen auf den Kegel zu setzen, kannst du zwei Vorgehensweisen wählen
1) du nutzt eine Parameterdarstellung des Kegels und die darin enthaltenen zwei Koordinaten als verallgemeinerte Koordinaten, durch die du die Geschwindigkeiten ausdrückst und die Lagrangefunktion bestimmst
2) du lässt das Teilchen zunächst in drei Dimensionen leben und zwingst es durch die Einführung einer Zwangsbedingung mit Lagrangemultiplikator auf den Kegel

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
WhiteRussian



Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56

Beitrag WhiteRussian Verfasst am: 24. Mai 2011 13:37    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Es gibt mehrere Möglichkeiten dafür.

Zum ersten ist die potentielle Energie immer über die Höhe definiert, unabhängig davon, ob das Teilchen nun auf dem Kegel sitzen muss oder nicht.


Das Teilchen muss auf der Kegelwand sitzen. Die Frage ist, ob es dabei Kreisbewegungen machen kann.
Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 24. Mai 2011 13:48    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, kann es! smile

Es kommt dabei auf die Anfangsbedingung an. Wenn du dir einen Roulettetisch vorstellst, in den der Angestellte des Casinos die Kugel wirft, wird die Sache vielleicht klarer. Dieses "Kreisen" funktioniert auch, wenn das Roulette selbst sich dabei nicht dreht.

Zur Illustration:

http://www.youtube.com/watch?v=fnRo2REqPnY
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14156

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Mai 2011 15:14    Titel: Antworten mit Zitat

WhiteRussian hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es gibt mehrere Möglichkeiten dafür.

Zum ersten ist die potentielle Energie immer über die Höhe definiert, unabhängig davon, ob das Teilchen nun auf dem Kegel sitzen muss oder nicht.


Das Teilchen muss auf der Kegelwand sitzen..


Das ist schon klar. Ich wollte auf folgendes hinaus: du kannst die Lagrangefunktion in physikalischen Koordinaten aufstellen (siehe mein 1) oder zunächst in unphysikalischne Koordinaten (siehe mein 2). In beiden Fällen ist die potentielle Energie immer mgh, wobei h eben von den jeweiligen Koordinaten abhängt. Die Methode, wie du das Teilchen auf den Kegel zwingst, kannst du dir aussuchen; 1) und 2) liefern beide das richtige Ergebnis.

Warum schreibst du nicht einfach mal deine Darstellung für den Kegel, d.h. die Koordinaten, sowie die daraus resultierende Lagrangefunktion (oder Lagrangefunktionen für 1 und 2) hin?


WhiteRussian hat Folgendes geschrieben:
Die Frage ist, ob es dabei Kreisbewegungen machen kann

Dazu musst du die Bewegungsgleichungen aufstellen und lösen. Du wirst u.U. als Lösung einen Kegelschnitt finden (auch das ist sicher nicht der allgemeinste Fall), ein Kreis wäre dabei ein Spezialfall. Ich bezweifle jedoch (aus physikalischen Gründen), dass unter Berücksichtugung der Schwerkraft ein Kreis (bei konstanter Höhe h) eine zulässige Lösung ist.

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Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 24. Mai 2011 15:22    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Dazu musst du die Bewegungsgleichungen aufstellen und lösen. Du wirst u.U. als Lösung einen Kegelschnitt finden (auch das ist sicher nicht der allgemeinste Fall), ein Kreis wäre dabei ein Spezialfall. Ich bezweifle jedoch (aus physikalischen Gründen), dass unter Berücksichtugung der Schwerkraft ein Kreis (bei konstanter Höhe h) eine zulässige Lösung ist.


Meiner Meinung nach müsste ein Kreis eine zulässige Lösung sein. Man bekommt sie, wenn man die radiale Anfangsgeschwindigkeit null setzt und die anfängliche Winkelgeschwindigkeit so wählt, dass die Zentrifugalkraft die Schwerkraft gerade kompensiert.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 24. Mai 2011 15:42    Titel: Antworten mit Zitat

OK, ja, könnte gehen. Aber warum schreibst du nicht die Bewegungsgleichunegn auf und überprüfst diesen Spezialfall?
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WhiteRussian



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Beitrag WhiteRussian Verfasst am: 25. Mai 2011 11:04    Titel: Antworten mit Zitat

Gelobt sei das Repetitorium der höheren Mathematik Big Laugh Dort habe ich folgende Parametrisierung des Kegels gefunden:


H ist die Maximalhöhe, R der maximalumfang. Das ganze ist nach oben geöffnet. Scheint doch zu passen, oder?

Doch wie stelle ich nun die Lagrangefunktion auf? Theta, Alpha und r sind wohl die verallgemeinerten Koordinaten? Wobei das Alpha ja konstant ist, d.h. r und Theta würden wohl ausreichen. [/latex]


Zuletzt bearbeitet von WhiteRussian am 25. Mai 2011 11:14, insgesamt einmal bearbeitet
Keplerfan



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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 11:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ja ... da steckt aber kein Geheimnis dahinter: Die ersten beiden Koordinaten sind normale Polarkoordinaten und die letzte die Beziehung . smile

Zwei Koordinaten ist richtig. Du hast ja drei Dimensionen minus eine Zwangsbedingung, also bleiben 2 Koordinaten übrig.


Zuletzt bearbeitet von Keplerfan am 25. Mai 2011 11:18, insgesamt einmal bearbeitet
WhiteRussian



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Beitrag WhiteRussian Verfasst am: 25. Mai 2011 11:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin noch sehr ungeübt mit den Lagrange-Funktionen (deswegen spamme ich hier auch soviel rum).

Also ich versuchs mal



Nur wie setze ich jetzt hier die Parametrisierung richtig ein?
Keplerfan



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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 11:24    Titel: Antworten mit Zitat

WhiteRussian hat Folgendes geschrieben:
Ich bin noch sehr ungeübt mit den Lagrange-Funktionen (deswegen spamme ich hier auch soviel rum).

Also ich versuchs mal



Nur wie setze ich jetzt hier die Parametrisierung richtig ein?


Ich nehme an, du meinst

h ist ja das gleiche wie z.

Du musst zunächst die zeitlichen Ableitungen bilden, indem du deine Parametrisierung differenzierst:



In der pot. Energie kannst du einfach das z einsetzen, das schon in der Parametrisierung steht.
WhiteRussian



Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56

Beitrag WhiteRussian Verfasst am: 25. Mai 2011 11:48    Titel: Antworten mit Zitat



Womit wir dann die Lagrangefunktion

hätten.

Sieht gut aus, oder?
Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 12:01    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, und nun bitte ausrechnen. Big Laugh Augenzwinkern
franz



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Beitrag franz Verfasst am: 25. Mai 2011 12:07    Titel: Antworten mit Zitat

Mein Hinweis, wie immer: LANDAU / LIFSCHITZ, I § 14 Aufgabe 2 ... kubische Gleichung in r; übrigens mit zwei positiven Lösungen, welche die horizontalen Extremalkreise sind, zwischen denen sich der Punkt bewegen kann.
Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 14:50    Titel: Antworten mit Zitat

Moment ... deine letzte Komponente stimmt nicht. Da steckt kein drin.

Ich erhalte für die kinetische Energie den Ausdruck

Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 15:46    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Lagrangegleichungen sind (Korrektur:)



Zuletzt bearbeitet von Keplerfan am 25. Mai 2011 16:26, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2011 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

Man hat natürlich die Wahl, welche Koordinaten man nutzt; ich hätte jetzt nicht r sondern direkt z, also h als Koordnate verwendet





und damit fürL = T - V




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franz



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Beitrag franz Verfasst am: 25. Mai 2011 15:56    Titel: Antworten mit Zitat

Das erste ist doch der Drehimpulssatz (zyklische Variable)?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2011 16:09    Titel: Antworten mit Zitat

M.E. ist der Weg über die Lagrange-Gleichungen zu kompliziert.

Besser ist es, die Erhaltungsgrößen (Stichwort: zyklische Koordinaten) zu bestimmen.

Konkret:
- konjugierter Impuls zum Winkel theta: entspricht Drehimpuls L und ist erhalten, da theta zyklisch ist
- konjugierter Impuls zu r (bzw. bei mir: z); ist nicht erhalten, da r nicht zyklisch

Energie E = T + V ist natürlich ebenfalls erhalten. Daraus folgt eine DGL erster Ordnung durhc Trennung der Variablen.

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2011 16:14    Titel: Antworten mit Zitat

Deine Gleichungen stimmen m.E. nicht.

Wenn du die Gleichung für theta betrachtest, dann bekommst du ja



theta ist zyklisch.

Dann leitest du ab:



Die Zeitableitung angewandt auf diesen Term wirkt aber sowohl auf theta als auch auf r, d.h. dass eben nicht



sondern



OK?

Die Gleichung fürr musst du daraufhin ebenfalls nochmal prüfen.

Aber wie gesagt, ich denke, du kommst mittels des Einsetzens des erhaltenen Drehimpulses L in die erhaltene Energie E zu einer DGL. erster Ordnung - und das ist wesentlich leichter.

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Anmeldungsdatum: 19.05.2011
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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, hoffe ich habs jetzt korrigiert. Kam mir auch komisch vor, da der Drehimpuls ja erhalten sein sollte. Die Gleichung für r sollte richtig sein, da nach der Ableitung nach kein mehr übrig bleibt. Danke. smile

Deine Anmerkungen zu den Erhaltungsgrößen sind sehr hilfreich!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14156

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2011 17:06    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt wärst du soweit, um zu diskutieren ob eine Kreisbahn mit r=const. als Lösung zulässig ist ...
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Beitrag WhiteRussian Verfasst am: 25. Mai 2011 17:17    Titel: Antworten mit Zitat

Kommt ihr auch aus Freiburg oder macht ihr das nur zum Spaß Big Laugh
Dass die letzte Komponente falsch war habe ich gesehen. Das muss natürlich ein Alpha sein.

Jetzt sollen wir aus dieser Funktion die Lagrangegleichung gewinnen. Ich habe leider nicht so ganz den Plan wie das geht, da ich das mit den verallgemeinerten Koordinaten nicht so ganz verstehe.
Keplerfan



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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 25. Mai 2011 21:49    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst dir das mit den Lagrange-Gleichungen so ähnlich vorstellen wie mit der Gesamtenergie. Aus der Gesamtenergie eines Teilchens in einer Dimension kann man ja auch die Bewegungsgleichungen des Teilchens gewinnen, nämlich gemäß:



Die Bewegungsgleichungen folgen nun gemäß



Wenn du diese Gleichungen mit den Lagrange-Gleichungen

vergleichst, sehen sie diesen schon recht ähnlich. Wenn man die Energie oben in die Energie-Gleichung einsetzt, ergibt sich:



Es lässt sich also tatsächlich die Bewegungsgleichung aus der Energie herleiten. Der einzige Unterschied bei den Lagrange-Gleichungen zu der Gleichung oben ist nun, dass das Vorzeichen vor der Ableitung nach x vertauscht ist. Das liegt einfach darin, dass ja für die Energie gilt



Für die Lagrangefunktion hingegen



Sie hat das Minus beim Potential also sozusagen schon eingebaut.

Bei der Berechnung einer analytischen Lösung der entstehenden Gleichungen (auch aus der DGL 1. Ordnung aus der Energie) bin ich bislang gescheitert, werd es vielleicht in ein paar Tagen noch einmal versuchen. Die Kreisbahn müsste sich bei meinen Lagrange-Gleichungen rel. leicht beweisen lassen, wenn man die anfängliche radiale Geschwindigkeit auf 0 setzt und die anfängliche Winkelgeschwindigkeit so wählt, dass sich Schwerkraft und Fliehkraft in der Gleichung für r aufheben. Dann gibt es keine Beschleunigung irgendeiner Koordinate, und die Kreisbahn ist stabil. smile
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Mai 2011 22:22    Titel: Antworten mit Zitat

Die hier beschriebene Vorgehensweise entspricht dem kanonischen Formalismus, in dem die Bewegungsgleichungen in x und p ausgehend von der Hamiltonfunktion H (die im wesentlichen der Energie E entspricht) hergeleitet werden
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franz



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Beitrag franz Verfasst am: 26. Mai 2011 00:49    Titel: Antworten mit Zitat





Die Energiegleichung kann gelesen werden als eindimensionale Bewegung eines Massepunktes im Ersatzpotential U_eff(r). An einer vollständigen Lösung bestehen Zweifel.


Zuletzt bearbeitet von franz am 26. Mai 2011 13:28, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2011 01:37    Titel: Antworten mit Zitat

Idee: damit könnte man durch Reskalierung von m und g das Problem in ein einfacheres überführen; die Energie und damit auch die Lagrangefunktion wären dann äquivalent zu der eines Teilchen neuer Masse m' mit neuer Konstante g' auf einer Ebene mit linear ansteigendem Potential.
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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 26. Mai 2011 09:59    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du kurz erläutern, was mit "Reskalierung" gemeint ist und wie das konkret aussehen würde?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2011 13:58    Titel: Antworten mit Zitat

Ich gehe aus von





Jetzt führe ich ein







Dann erhalte ich eine neue Darstellung der Energie



Dies ist die Energie E eines Teilchens der Masse m' mit Drehimpuls J' in einem linearen Potential; d.h. der Effekt des Kegels wird durch die Reskalierung der Konstanten in diese absorbiert und man hat ein ganz normales Teilchen (in einem linearen Potential) in der Ebene (natürlich ist die Reskalierung singulär für bestimmte Öffnungswinkel des Kegels).

Jetzt betrachte ich noch den Drehimpuls J'



Nun könnte man statt r(t) wie üblich für die Parameterdarstellung r(\theta) berechnen, indem man Trennung der Variablen anwendet und formal dt mittels d\theta eliminiert. Ich denke aber nicht, dass das geschlossen lösbar ist.

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Anmeldungsdatum: 19.05.2011
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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 26. Mai 2011 19:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe zum Spaß mal versucht, das hinzubekommen - leider ohne Erfolg. Allein der kräftefreie Fall (g'=0) gestaltet sich in Polarkoordinaten schon wesentlich schwieriger als in kartesischen Koordinaten und ergibt eine komplizierte Abhängigkeit der Form



Das jetzt noch mit zusätzlicher Kraft - Puh. unglücklich
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14156

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2011 20:15    Titel: Antworten mit Zitat

Du könntest versuchen, den Fall r(t) = const. zu lösen - oder zu beweisen, dass es keine Lösung gibt.
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Anmeldungsdatum: 19.05.2011
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Beitrag Keplerfan Verfasst am: 26. Mai 2011 21:01    Titel: Antworten mit Zitat







Kreise mit diesem Radius sollten also stabil sein.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
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Beitrag franz Verfasst am: 26. Mai 2011 23:07    Titel: Antworten mit Zitat

Das müßte der Extrempunkt des effektiven Potentials sein; als "singuläre" Lösung. Und der "Normalfall"? grübelnd
Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 26. Mai 2011 23:11    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, warum singulär? Ist es keine gültige Lösung?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 26. Mai 2011 23:16    Titel: Antworten mit Zitat

Die Lösung wird schon stimmen.
"Singulär" würde ich sagen, weil es sich um einen (instabilen) Sonderfall handelt. J (oder P) zum Beispiel ist ja nicht der Drehimpuls, sondern nur die z - Komponente. Bei geringer Abweichung beginnt meines Erachtens der "Normalbetrieb"...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14156

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Mai 2011 23:27    Titel: Antworten mit Zitat

Für konstantes r musst du dr/dt gleich Null setzen, nicht dE/dr
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Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 27. Mai 2011 18:08    Titel: Antworten mit Zitat

Da ich nun nicht dafür verantwortlich sein will, dass dieser Thread an der ursprünglichen Fragestellung vorbeischrammt, sollte vielleicht vor der Diskussion über Kreisbahnen geklärt werden, wie man zu den Lagrange-Gleichungen gelangt.

Die verallgemeinerten Koordinaten sind in diesem Falle und . Allgemein können diese Koordinaten alle Koordinaten sein, die Punkte auf dem Kreiskegel beschreiben, auf dem sich das Teilchen bewegt. Jede Parametrisierung der Kegeloberfläche liefert ein Paar gültiger verallgemeinerter Koordinaten. Die Idee von Lagrange-II ist nun, dass alle Zwangsbedingungen (nämlich hier: Teilchen bewegt sich auf dem Kegel) dadurch berücksichtigt sind, dass man eben solche Koordinaten wählt, die, egal wie man und wählt, immer nur Punkte auf dem Kreiskegel beschreiben. Du musst also, nachdem du die Lagrange-Funktion erhalten hast, einfach die Gleichung

aufschreiben. Dies ist dann deine Bewegungsgleichung für r. Genauso verfährst du für . Du musst und dabei bei der partiellen Ableitung als unabhängige Koordinaten betrachten, so als ob du z.B. einmal nach x und einmal nach y ableiten würdest.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 27. Mai 2011 19:51    Titel: Antworten mit Zitat

Möchte mich für mein Dazwischenquatschen entschuldigen! Andererseits gibt es, meiner Ansicht nach, bisher gar keine klare Fragestellung:
Zitat:
darf man für ein Teilchen .. auf der Innenseite eines Kreiskegels die potentielle Energie ... benutzen?

Insofern hatte ich (neugierig) interpretiert: Wie bewegt sich ein Punkt in einem "Trichter"? [Und man erläutere nebenbei LAGRANGE II !] smile
Keplerfan



Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252

Beitrag Keplerfan Verfasst am: 27. Mai 2011 20:04    Titel: Antworten mit Zitat

Kein Problem, franz. smile
Ich meinte diese, spätere, Frage:

WhiteRussian hat Folgendes geschrieben:
Kommt ihr auch aus Freiburg oder macht ihr das nur zum Spaß Big Laugh
Dass die letzte Komponente falsch war habe ich gesehen. Das muss natürlich ein Alpha sein.

Jetzt sollen wir aus dieser Funktion die Lagrangegleichung gewinnen. Ich habe leider nicht so ganz den Plan wie das geht, da ich das mit den verallgemeinerten Koordinaten nicht so ganz verstehe.
Netw
Gast





Beitrag Netw Verfasst am: 29. Jun 2013 20:53    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Deine Gleichungen stimmen m.E. nicht.

Wenn du die Gleichung für theta betrachtest, dann bekommst du ja



theta ist zyklisch.

Dann leitest du ab:



Die Zeitableitung angewandt auf diesen Term wirkt aber sowohl auf theta als auch auf r, d.h. dass eben nicht



sondern



OK?

Die Gleichung fürr musst du daraufhin ebenfalls nochmal prüfen.

Aber wie gesagt, ich denke, du kommst mittels des Einsetzens des erhaltenen Drehimpulses L in die erhaltene Energie E zu einer DGL. erster Ordnung - und das ist wesentlich leichter.

der drehimplus der hier erhalten ist in welcher richtung zeigt er?
wenn der drehimplus erhalten ist muss doch die bewegung in einer ebene verlaufen?
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