RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Zeitentwicklung von Orts- und Impulsoperator
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik
Autor Nachricht
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 16. Nov 2020 18:37    Titel: Zeitentwicklung von Orts- und Impulsoperator Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,
gegeben sei

Bestimme die Zeitentwicklung von Orts- und Impulsoperator

im Heisenbergbild.

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe. Meine Idee wäre jetzt, den Zeitentwicklungsoperator zu berechnen und damit die beiden Operatoren im Heisenbergbild. Aber ich bin skeptisch, ob das die Aufgabe ist. In dem Fall hätte ich

angesetzt und überprüft, ob die "Schrödingergleichung" für den Zeitentwicklungsoperator erfüllt ist (ist sie nach meiner Rechnung). Bloß habe ich dann das Problem, dass sich wenn ich dann mit diesen U meine Heisenbergbildoperatoren berechnen will, sich nur der Impulsoperator ändert, dabei müsste gerade der meiner Meinung nach gleich bleiben.
Ich bin wie gesagt ein wenig ratlos, was in der Aufgabe überhaupt verlangt wird, vielleicht kann mir zumindest das jemand sagen xD
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Nov 2020 08:35    Titel: Antworten mit Zitat

Ob du die Zeitentwicklung integrieren kannst, muss man erst noch sehen. Zunächst solltest du wohl die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für einen Operator A - hier x,p - aufstellen.


_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 17. Nov 2020 10:27    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ob du die Zeitentwicklung integrieren kannst, muss man erst noch sehen. Zunächst solltest du wohl die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für einen Operator A - hier x,p - aufstellen.



Was sind denn in dem Fall meineOrts und Impulsoperatoren. Außerdem kenne ich ja bereits die beiden Bewegungsgleichungen für Orts- und Impulsoperator.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Nov 2020 10:56    Titel: Antworten mit Zitat

Dein Hamiltonian enthält den üblichen Term p^2 sowie ein (x-vt)^2. Dieses p, x sind dein Impuls- bzw. Ortsoperator.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 17. Nov 2020 12:53    Titel: Antworten mit Zitat

Ist dann nur x der Ortsoperator oder x-vt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Nov 2020 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

x ist der Ortsoperator.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 17. Nov 2020 15:16    Titel: Antworten mit Zitat

Aber kann ich die heisenberggleichung nicht nur für die operatoren im heisenbergbild nutzen? Sonst bekomme ich doch nur erwartungswerte oder nicht?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Nov 2020 16:54    Titel: Antworten mit Zitat

x, p sowie



sind deine Operatoren im Heisenbergbild.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 08:12    Titel: Antworten mit Zitat

Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
Außerdem kenne ich ja bereits die beiden Bewegungsgleichungen für Orts- und Impulsoperator.


Wie lauten denn die Bewegungsgleichungen für X und P?
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 15:24    Titel: Antworten mit Zitat

Na,


Aber wie soll mir das hier helfen?
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 15:51    Titel: Antworten mit Zitat

ich bekomme dann
für die untere Gleichung, wie mache ich dann weiter?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Nov 2020 16:02    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung in x und p, das du evtl. ja explizit lösen kannst ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Du hast ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung in x und p, das du evtl. ja explizit lösen kannst ;-)


für t0=0 komme ich dann auf


für PH stehts ja schon in meinem vorherigen Post.

Kann das stimmen? Wie komme ich von hier auf die Zeitentwickung?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Nov 2020 16:31    Titel: Antworten mit Zitat

Nee, du darfst p nicht in die DGL für x einsetzen und eine DGL zweiter Ordnung in x ableiten; x und p sind unabhängige Operatoren.

Du musst wirklich dieses DGL-System in (x,p) lösen und dabei auch berücksichtigen, dass x und p nicht vertauschen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 16:44    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du mir vielleicht bitte einen Ansatz geben? Ich habe so eine Differentialgleichung für Operatoren noch nie gelöst.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 16:45    Titel: Antworten mit Zitat

Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Du hast ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung in x und p, das du evtl. ja explizit lösen kannst ;-)


für t0=0 komme ich dann auf




So löst man kein lineares Gleichungssystem. Du hast beim Integrieren offenbar x als konstant angesetzt. x ist aber eine Funktion der Zeit. Genau diese Funktion suchst du ja.

Edit: Du hast ja offenbar bereits die Gleichung



gefunden. Die Frage ist jetzt also nur noch, wie man solche Gleichungen allgemein löst...


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 18. Nov 2020 16:51, insgesamt 2-mal bearbeitet
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 16:47    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nee, du darfst p nicht in die DGL für x einsetzen und eine DGL zweiter Ordnung in x ableiten;


Doch, das darf man.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 17:04    Titel: Antworten mit Zitat

Aber wie soll ich das explizit berechnen, wenn ich keine Anfangsbedingungen habe.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 17:07    Titel: Antworten mit Zitat

Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
Aber wie soll ich das explizit berechnen, wenn ich keine Anfangsbedingungen habe.


Du hast Anfangsbedingungen: zum Zeitpunkt stimmen Heisenberg- und Schrödingeroperatoren überein.

Zuerst mußt du allerdings mal die allgemeine Lösung finden.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
Aber wie soll ich das explizit berechnen, wenn ich keine Anfangsbedingungen habe.


Du hast Anfangsbedingungen: zum Zeitpunkt stimmen Heisenberg- und Schrödingeroperatoren überein.

Zuerst mußt du allerdings mal die allgemeine Lösung finden.


Die hab ich:


ist ja einfach homogene lösung + spezielle. Wie würde ich da jetzt die anfnagsbedingung verwenden die du meintest? wenn ich t0 einsetze, soll also der Schrödingerbild Ortsoperator da stehen? Da sehe ich nicht ganz ,wie das hier zu erreichen ist, das ist doch abhängig davon, welchen wert mein t0 hat oder?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 17:33    Titel: Antworten mit Zitat

Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
Aber wie soll ich das explizit berechnen, wenn ich keine Anfangsbedingungen habe.


Du hast Anfangsbedingungen: zum Zeitpunkt stimmen Heisenberg- und Schrödingeroperatoren überein.

Zuerst mußt du allerdings mal die allgemeine Lösung finden.


Die hab ich:


ist ja einfach homogene lösung + spezielle. Wie würde ich da jetzt die anfnagsbedingung verwenden die du meintest? wenn ich t0 einsetze, soll also der Schrödingerbild Ortsoperator da stehen?


Ja, im Prinzip ergeben



zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten A und B. Die mußt du lösen.

Zitat:

Da sehe ich nicht ganz ,wie das hier zu erreichen ist, das ist doch abhängig davon, welchen wert mein t0 hat oder?


Ja, die Form der klassischen Bahnkurven x(t) hängt ja auch davon ab, bei welchem man die Anfangsbedingunegn vorgibt. Was stört dich daran? Der von dir definierte Zeitentwicklungsoperator erfüllt die Anfangsbedingung



Damit folgt



Zuletzt bearbeitet von index_razor am 18. Nov 2020 17:36, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Nov 2020 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nee, du darfst p nicht in die DGL für x einsetzen und eine DGL zweiter Ordnung in x ableiten;


Doch, das darf man.

In der klassischen Mechanik ja, aber doch nicht für Operatoren.

Wenn du p vollständig eliminierst bleibt alleine x(t) übrig; wie willst du damit einen nicht-vertauschenden Impulsoperator p(t) darstellen?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nee, du darfst p nicht in die DGL für x einsetzen und eine DGL zweiter Ordnung in x ableiten;


Doch, das darf man.

In der klassischen Mechanik ja, aber doch nicht für Operatoren.


Warum nicht? Ich leite einfach nochmal nach t ab und setze die Gleichung für ein. Warum soll das nicht gehen?

Zitat:

Wenn du p vollständig eliminierst bleibt alleine x(t) übrig; wie willst du damit einen nicht-vertauschenden Impulsoperator p(t) darstellen?


Ich eliminiere nicht p, sondern entkopple die Gleichungen. Nachdem ich die Gleichung für x gelöst habe, berechne ich

Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 17:47    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, ich habe es theoretisch verstanden, aber mir stellt sich jetzt eine große Frage: Wie sol ich denn die Variablen A und B bestimmen? Klar, die Gleichungen, die du schon genannt hast, sind klar, dass die gelten für aber ohne Witz, vielleich bin ja dumm, aber es gilt doch
und
wie soll man denn da vorgehen? Das sind ja keine Werte, sondern Operatoren, aber auf der anderen seite der Gleichung mit meinen A und B stehen ja Werte. Vielleicht könntest du das erklären? Wie gesagt, es ist das erste mal ,dass ich sowas mit Operatoren mache.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 17:54    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe dann ja:

und
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 18:01    Titel: Antworten mit Zitat

Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
Ok, ich habe es theoretisch verstanden, aber mir stellt sich jetzt eine große Frage: Wie sol ich denn die Variablen A und B bestimmen? Klar, die Gleichungen, die du schon genannt hast, sind klar, dass die gelten für aber ohne Witz, vielleich bin ja dumm, aber es gilt doch
und
wie soll man denn da vorgehen? Das sind ja keine Werte, sondern Operatoren, aber auf der anderen seite der Gleichung mit meinen A und B stehen ja Werte. Vielleicht könntest du das erklären?


A und B sind auch Operatoren, genau wie und . A und B sind lediglich zunächst nicht explizit bekannt, sondern nur implizit durch die Anfangsbedingungen. Aber alles was du machen mußt um A und B zu betimmen, ist die Matrix



zu invertieren.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Nov 2020 18:16    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich eliminiere nicht p, sondern entkopple die Gleichungen. Nachdem ich die Gleichung für x gelöst habe, berechne ich



Zunächst





Damit folgt



Das hat die Lösung



Daraus folgt



Wegen



folgt nun



und das ist für Operatoren falsch!

Es wäre dann zum Beispiel


_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 18. Nov 2020 18:17, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

TomS, du darfst nicht einfach beliebige Anfangsbedingungen einsetzen. Es muß zu irgendeinem Zeitpunkt gelten und gleichzeitig . Dann gilt zu allen Zeitpunkten



Aber bei dir gilt z.B. und . Das geht nicht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Nov 2020 18:24    Titel: Antworten mit Zitat

Die Argumentation läuft aufs gleiche raus.

Deine Aussage
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich eliminiere nicht p, sondern entkopple die Gleichungen. Nachdem ich die Gleichung für x gelöst habe, berechne ich


führt in die Irre, was du jedoch inzwischen durch

index_razor hat Folgendes geschrieben:
A und B sind auch Operatoren ...


präzisiert hast.

(Dass du das wusstest, war mir schon klar ;-)

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 18. Nov 2020 18:32, insgesamt einmal bearbeitet
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe jetzt meine A und B bestimmt, ich überprüfe kurz ob was sinnvolles rauskommt ,wenn ich einsetze und gebe danach nochmal bescheid, aber schonmal im voraus danke an euch beide!
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Die Argumentation läuft aufs gleiche raus.


Welche Argumentation meinst du? Ich bin doch auf die Wahl der Anfangsbedingungen oben schon eingegangen.

Ich finde im Gegenteil, deine Aussage

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nee, du darfst p nicht in die DGL für x einsetzen und eine DGL zweiter Ordnung in x ableiten;


führt in die Irre, da sie scheinbar genau das verbietet, was man machen muß. Diese Behauptung hat für mich keinen unmittelbar erkennbaren Bezug zu der Frage, welche Anfangsbedingungen erlaubt sind.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 19:00    Titel: Antworten mit Zitat

Habe jetzt eingesetzt und die ANfangsbedingungen sind erfüllt, aber eine letzte Frage habe ich

und

hängen bei mir beide sowohl von
und

ab. Das ist normal, oder?
Auch, dass ihr Ausdruck sehr lang ist. Der eine ist zB


Kann das passen? Wenn ja, sollte ja damit die Aufgabe erfüllt sein, so wie ich das sehe?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2188

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Nov 2020 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

Uhrwerk hat Folgendes geschrieben:
Habe jetzt eingesetzt und die ANfangsbedingungen sind erfüllt, aber eine letzte Frage habe ich

und

hängen bei mir beide sowohl von
und

ab. Das ist normal, oder?


Ja, das ist normal.

Zitat:

Auch, dass ihr Ausdruck sehr lang ist. Der eine ist zB


Kann das passen? Wenn ja, sollte ja damit die Aufgabe erfüllt sein, so wie ich das sehe?


Ja, vorausgesetzt die Gleichung stimmt, was ich nicht geprüft habe, und zusammen mit der entsprechenden Gl. für p, würde ich damit die Aufgabe als gelöst ansehen. Normalerweise würde man sich allerdings das Leben leichter machen und einfach wählen. Wenn die Aufgabe dies gestattet, würde ich das auch tun. Aber es schadet auch nicht, einmal einen etwas komplizierteren Fall gerechnet zu haben. Mit ist die ganze Rechnung deutlich einfacher. Du kannst es ja nochmal zur Probe rechnen und mit deinem Ergebnis vergleichen.
Uhrwerk
Gast





Beitrag Uhrwerk Verfasst am: 18. Nov 2020 19:23    Titel: Antworten mit Zitat

Jo, kommt das selbe raus, danke für die ausführlichen Erklärungen!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14139

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Nov 2020 23:23    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Die Argumentation läuft aufs gleiche raus.


Welche Argumentation meinst du? Ich bin doch auf die Wahl der Anfangsbedingungen oben schon eingegangen.

Ja, das habe ich inzwischen auch gesehen; sorry.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik