| Autor |
Nachricht |
qm
Gast
|
 qm Verfasst am: 27. Jan 2014 17:56 Titel: Zeitentwicklung Erwartungswert |
 |
|
Meine Frage:
Hi,
ich habe eine Frage zur Zeitentwicklung des Erwartungswertes eines nicht explizit zeitabhängigen Operators, der nicht mit dem Hamiltonoperator kommutiert. Wenn ich den Erwartungswert des Operators in einem seiner Eigenzustände berechne, ist der Erwartungswert konstant. Aber nach dem Ehrenfest Theorem dürfte der Erwartungswert nur konstant sein, wenn H und der Operator kommutieren.
Meine Ideen:
Die Berechnung des Erwartungswertes mit einem Eigenzustand ist ein Sonderfall, aber trotzdem sollte der Erwartungswert nicht konstant sein. Aber ich denke, das es irgendwie damit zusammenhängt... |
|
 |
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 27. Jan 2014 19:08 Titel: Re: Zeitentwicklung Erwartungswert |
|
|
| qm hat Folgendes geschrieben: | | Aber nach dem Ehrenfest Theorem dürfte der Erwartungswert nur konstant sein, wenn H und der Operator kommutieren. |
Diese Aussage ist falsch. Wenn H und Operator kommutieren, dann ist der Erwartungswert konstant. Umgekehrt gilt das i.A. nicht.
Das kannst Du leicht nachprüfen, indem Du die rechte Seite des Ehrenfest Theorems für Deinen Fall mal ausrechnest. |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 27. Jan 2014 21:22 Titel: |
|
|
Hi,
ok, die Umkehrung gilt also nicht zwangsläufig. Heißt das dann, das in dem geschilderten Fall der Erwartungswert konstant ist?
Dann wäre auch die Unschärfe zeitlich konstant (=0, da Eigenzustand) und damit der Zustand an sich. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18060
|
| TomS Verfasst am: 27. Jan 2014 21:27 Titel: |
|
|
was meinst du mit Unschärfe?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 27. Jan 2014 22:11 Titel: |
|
|
|
die quantenmechanische Unschärfe also die Standardabweichung der Messwerte. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18060
|
| TomS Verfasst am: 27. Jan 2014 23:05 Titel: |
|
|
Du meinst die Unschärfe einer bestimmten Observablen? Die Unschärfe einer Observable A verschwindet in einem Eigenzustand von A, aber das hat doch nichts mir dem Ehrenfest-Theorem zu tun.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Jan 2014 08:46, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 28. Jan 2014 07:52 Titel: |
|
|
|
ja, ich meine die Unschärfe der Observablen. In dem Eigenzustand ist sie 0 und die zeitliche Ableitung dieser Unschärfe ist ebenfalls 0. Da also der Erwartungswert und die Unschärfe für alle Zeiten 0 sind, schließe ich, dass der Eigenzustand für alle Zeiten erhalten bleibt, obwohl der Operator nicht mit H kommutiert. Stimmt das so? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 28. Jan 2014 08:07 Titel: |
|
|
|
Nein, das stimmt nicht. Daraus dass der Erwartungswert zeitlich konstant ist folgt nicht, dass der Zustand es auch wäre. |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 28. Jan 2014 16:22 Titel: |
|
|
|
ich habe doch geschrieben, dass der Erwartungswert und die Unschärfe zeitlich konstant sind. Da die Unschärfe am Anfang 0 ist, ist sie das auch zu jedem anderen Zeitpunkt. Damit bleibt das System im Eigenzustand. Und da der Erwartungswert auch konstant bleibt, muss das der gleiche Eigenzustand sein wie der mit dem ich angefangen habe. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 28. Jan 2014 16:33 Titel: |
|
|
| qm hat Folgendes geschrieben: | | Damit bleibt das System im Eigenzustand. |
Diese Aussage ist offensichtlich falsch, da ein Eigenzustand von A nur dann stationär ist, d.h. sich zeitlich nicht ändert (bis auf eine Phase), wenn A mit H kommutiert. Ansonsten ist das nicht richtig.
Zur Wiederholung:
Deine Aussage, dass die zeitliche Konstanz des Zustandes aus konstantem Erwartungswert und Unschärfe=0 (was ja nichts anderes ist als die Differenz zweier Erwartungswerte, die jeder für sich wieder konstant sind in diesem Fall) folgt, ist schlicht falsch.
Wenn Du es mir immer noch nicht glauben magst, dann leite es doch bitte mal her, dass das daraus folgt. Du wirst sehen, dass es nicht geht (insbesondere, da es ein leichtes ist Gegenbeispiele zu konstruieren). |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 28. Jan 2014 16:44 Titel: |
|
|
Hi,
mein Problem ist ja gerade, dass H und A nicht kommutieren, also der Zustand sich mit der Zeit verändern sollte. Wenn jetzt aber die Ableitung der Unschärfe auch 0 ist, dann heißt das doch, dass sich das System zu einem anderen Zeitpunkt auch in einem Eigenzustand zu A befindet, oder stehe ich da auf dem Schlauch? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 28. Jan 2014 16:57 Titel: |
|
|
| qm hat Folgendes geschrieben: | | Wenn jetzt aber die Ableitung der Unschärfe auch 0 ist, dann heißt das doch, dass sich das System zu einem anderen Zeitpunkt auch in einem Eigenzustand zu A befindet, |
Nein das heisst es eben nicht. Das sag ich Dir die ganze Zeit. |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 28. Jan 2014 17:03 Titel: |
|
|
ok, dann hab ich dich in dem Punkt verstanden.
Nur zum Verständnis: Wenn die Unschärfe 0 ist, dann erhalte ich bei jeder Messung den gleichen Wert. Der Messwert entspricht doch immer einem Eigenwert des Operators A (bei Messung der zu A gehörenden Variablen). Warum ist der Zustand dann kein Eigenzustand, wenn doch seine Projektion (Messung )auf die Eigenzustände von A immer den gleichen Wert ergibt? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 28. Jan 2014 17:30 Titel: |
|
|
Sorry irgendwie ist mir das ganze Gerede zu Wischiwaschi. Ich hab mich auch selber etwas verwirren lassen.
Wenn der Erwartungswert kann zeitlich gar nicht konstant sein, wenn A und H nicht kommutieren. Er kann am Anfang einen bestimmten Wert haben, dass heisst aber nicht dass die zeitliche Ableitung Null ist (ist sie i.A. nicht wenn A und H nicht kommutieren). Gleiches gilt für die "Unschärfe", etc.
Das Ehrenfest-Theorem kann benutzt werden um den Erwartungswert zu verschiedenen Zeiten aus dem Anfangszeitpunkt zu berechnen (so wie dx/dt=v benutzt werden kann um bei bekanntem v die Position x aus dem Anfangswert zu berechnen).
Sorry, wenn ich Dich zwischendurch verwirrt hab. |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 28. Jan 2014 19:27 Titel: |
|
|
Du schreibst, dass der Erwartungswert gar nicht konstant sein kann, wenn H und A nicht kommutieren. Das dachte ich auch, aber dann bin ich eben auf den (vermutlich scheinbaren) Widerspruch gekommen. Ich versuch es mal aufzuschreiben:
da A nicht explizit von t abhängt.
Mit der Schrödingergleichung wird das zu:
 )
und da a Eigenfunktion zu A ist:
=0 )
(as_string: ich hab mal etwas Dein Latex aufgeräumt und den zweiten (identischen?) Beitrag dann gelöscht) |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
|
| jh8979 Verfasst am: 28. Jan 2014 19:59 Titel: |
|
|
| qm hat Folgendes geschrieben: |
und da a Eigenfunktion zu A ist:
|
Das ist der springende Punkt:
Zum Anfang kann a(t0) ein Eigenzustand zu A sein. Zu späteren Zeitpunkten gilt dies für a(t) (soweit ich das im Kopf überblicke dann und nur) dann, wenn A und H kommutieren, zumindest auf dem Unterraum aufgespannt von a(t0). Wenn A und H nicht kommutieren ist a(t) kein Eigenzustand zu A mehr.
(PS: Evtl mit der Einschränkung dass dies zu diskreten Punkten ti noch erlaubt ist.) |
|
|
qm
Gast
|
| qm Verfasst am: 30. Jan 2014 12:57 Titel: |
|
|
|
ok, vielen Dank. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
