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HumaJaySimpson
Anmeldungsdatum: 22.05.2007
Beiträge: 2
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 HumaJaySimpson Verfasst am: 07. Jun 2007 21:08 Titel: Zeitentwicklung eines Teilchens |
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Hallo ich hab ma eine frage, und zwar geht es um die Zeitentwicklung eines Teilchen. Dieses teilchen soll sich auf einem Ring mit dem Radius R aufhalten.Die Wahrscheinlichkeitsamplitude wird zu Anfang wie folgt definiert:
für 0 < alpha <= pi : 1/sqrt(pi*R)
für pi < alpha <= 2*pi : 0
Kann mir jmd weiterhelfen?
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 07. Jun 2007 21:14 Titel: |
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Magst du mal sagen, was du schon darüber weißt, und was für Gleichungen du schon kennst, mit denen du das angehen könntest?
Kannst du schon mal vorneweg (vor dem konkreten Rechnen) qualitativ sagen, was da passieren wird?
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smn
Anmeldungsdatum: 08.06.2007
Beiträge: 25
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| smn Verfasst am: 08. Jun 2007 18:59 Titel: |
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Für den Hamilton-Op. im 1-dim. Ring gilt H = -h/(2mr^2) d^2/(d phi)^2
Wenn man jetzt den Zeitentwicklungs-Op. auf den Zustand loslässt kommt man nicht so einfach weiter, weil Psi(t=0) nicht von phi abhängt. Nicht so richtig zumindest 
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 08. Jun 2007 21:14 Titel: |
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Das spricht dafür, einen Weg zu suchen, wie man die Wellenfunktion Psi(phi) so hinschreiben kann, dass man damit rechnen kann. Entweder schaffst du das mit scharfen Stufenfunktionen (das Rechnen damit könnte was mit der Deltafunktion zu tun haben), oder vielleicht magst du mal "weiche" Funktionen verwenden, um den stufenförmigen Verlauf fürs Rechnen anzunähern (etwas Ähnliches hast du vielleicht schon mal bei den Darstellungen der Deltafunktion kennengelernt.).
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
Beiträge: 132
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| jentowncity Verfasst am: 09. Jun 2007 13:08 Titel: |
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Hallo, ich mach heir mal mit.
Also zunächst ein paar allgemeine Sachen, die ich mir so vorstelle: Es ist klar, dass zu einem späteren Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeitsamplitude auch im Bereich  ungleich 0 wird, da das Wellenpaket mit der Zeit zerfließt.
und für  wird wahrscheinlich sowas hier rauskommen:
=\frac{1}{2\sqrt{\pi R}}) im ganzen Ring. Kommt das so hin?
Allerdings habe ich auch Probleme hier einen Ausdruck für ) mit der Delta-Fkt. zu finden...
Sieht da jemand eine Möglichkeit?
P.S. @Simon: wenn du dich mit Latex nicht so gut auskennst, hier gibts eienen Editor: http://www.matheboard.de/formeleditor.php#. Du musst dann immer den Knopf "f(x)" (rechts oben) einmal drücken, bevor du deine Formel eingibst und noch einmal danach.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 09. Jun 2007 13:39 Titel: |
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Hallo!
Ich denke, was dermarkus meint ist, wenn man die stufenförmige Funktion als Linearkombination von Funktionen ausdrücken könnte, deren Zeitentwicklung man kennt (wie sehen solche Funktionen aus?), dann könnte man die einzelnen Summanden nach der Zeit entwickeln und hätte dann die Lösung, wenn man die zeitentwickelten Summanden wieder linear-kombiniert.
Gruß
Marco
PS: Es muss nicht unbedingt sein, dass sich nach unendlicher Zeit die Wahrscheinlichkeit gleichverteilt. Es könnte ja durchaus eine Art Schwingung einsetzen.
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 09. Jun 2007 14:26 Titel: |
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Hm, stimmt, an eine Oszillation hab ich noch gar nicht gedacht.
Also ich weiß noch, dass man eine Stufenfunktion (die ist ja hier sozusagen periodisch) in eine Fourierreihe entwicheln kann. Allerdings weiß ich jetzt auf Anhieb nicht, ob man dadurch der Lösung näher kommt...
Sonst fällt mir im Moment nichts ein, wie solche Funktionen aussehen könnten, von denen man die Zeitentwicklung kennt.
Kann einer von euch vielleicht noch einen Hinweis abgeben?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 09. Jun 2007 14:31 Titel: |
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| jentowncity hat Folgendes geschrieben: |
Sonst fällt mir im Moment nichts ein, wie solche Funktionen aussehen könnten, von denen man die Zeitentwicklung kennt.
Kann einer von euch vielleicht noch einen Hinweis abgeben? |
Was sind denn die Eigenfunktionen des vorliegenden Problems ?
Du kannst dir den Ring als eindimensionales Problem mit periodischen Randbedingungen vorstellen. Wegen der Periodizität koomt nur ein diskreter Satz von Eigenfunktionen in Frage. Welche werden das wohl sein?
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 09. Jun 2007 14:50 Titel: |
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Die einzigen Funktionen für periodische Randbed. , die ich kenne sind die Bloch-Wellenfunktionen.
Meinst du die?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 09. Jun 2007 15:03 Titel: |
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| jentowncity hat Folgendes geschrieben: | Die einzigen Funktionen für periodische Randbed. , die ich kenne sind die Bloch-Wellenfunktionen.
Meinst du die? |
naja, soweit muss man nicht gehen...
was sind denn zB. Funktionen die periodisch sind?
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 09. Jun 2007 15:12 Titel: |
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ja gut, periodische Funktionen sind z.B. sin, cos und e-Fkt. und alle Superpositionen davon.
Aber alle diese Funktionen sind nur an bestimmten Punkten =0 oder gleich 1.
Wie soll ich daraus so eine Funktion besteln, die auf einem Interval =0 ist und auf einem anderen =1 ist?
Das ist mir noch nicht klar...
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 09. Jun 2007 17:54 Titel: |
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Hast du schon mal was von Fourierentwicklung gehört? Eine Entwicklung nach zueinander orthogonalen "Eigenfunktionen" kommt auf das selbe raus.
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smn
Anmeldungsdatum: 08.06.2007
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| smn Verfasst am: 09. Jun 2007 18:13 Titel: |
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@jentowncity: Danke für den Link, das ist echt mal hilfreich!
Ich komm mit der aufg. nicht weiter, ich dachte es wäre am "einfachsten", Fourier zu entwickeln, bei Wikipedia gibts ne Formel für ein Rechteck-Signal, aber ich krieg das leider nicht hin...
Und wie man als Überlagerung von Eigenfkten darstellen kann, ist mir noch weniger klar...
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 09. Jun 2007 20:48 Titel: |
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Die Wellenfunktionen eines freien Teilchens sind ja
 = e^{ikx})
Wegen der Periodizität im Intervall  kommen nur Wellenvektoren k in Frage, für die gilt:
Ein möglicher Ansatz wäre daher
 = \sum_{i=0}^\infty \alpha_i e^{i \frac{n}{r}x} + \sum_{i=1}^\infty \beta_i e^{-i \frac{n}{r}x})
Weisst du nun, wie man aus der Orthogonalität
}{r}x} dx = 2r\pi \delta_{mn})
auf die Entwicklungskoeffizienten  und  schliesst ?
Da musst Du nun durch 
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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 10. Jun 2007 12:53, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 10. Jun 2007 00:02 Titel: |
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Also ich weiß (noch) nicht wie man die Koeffizienten bestimmt.
Aber ich guck mir jetzt nochmal ein paar Seiten zu Fourierreihen an und hoffe, dass ich dort etwas finde.
MfG jentowncity
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 10. Jun 2007 05:40 Titel: |
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Eigentlich wollte ich dir nur ein wenig auf die Sprünge helfen um zwischen den Zeilen von @dermarkus und @as_string lesen zu können. Ich glaube (?), dass die beiden den gleichen Ansatz im Kopf hatten, will mich aber nun nicht einmischen...Eine andere Lösung als diese wüsste ich jetzt eigentlich nicht.
Das was ich hingeschrieben habe, ist zwar eine Fourierreihe, wird aber meist nicht als solche ausgewiesen, da es als "Handwerkszeug" sowieso in den Grundlagenkoffer gehört. Ich empfehle dir dringend, die Entwicklung nicht einfach irgendwo herzuzaubern, sondern selbst durchzuführen und zu verstehen. Du wirst solche und auch weitaus kompliziertere Dinge im Physikstudium noch öfter benötigen.
Was passiert denn, wenn du den Ansatz mit
 multiplizierst und zwischen 0 und 2r integrierst ?
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 10. Jun 2007 11:24 Titel: |
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Also ich bin immer gerne bereit mein "Werkzeugkoffer" zu erweitern und natürlich dankbar, wenn mir jemand erklärt wie man das ein oder andere "Werkzeug" benutzt.
Also das Integral kenn ich von der Festkörperphysik. Das liefert nur Werte, wenn m=n, weil sonst nach Ausführung  , also für das Integral 0 rauskommt, weil obere und untere Grenze zusammenfallen. Und wenn m=n ist, dann kommt halt 2r raus. Das war mir schon klar.
Aber wie ich jetzt dadurch auf die Koeffizienten komm, seh ich nicht. 
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 10. Jun 2007 11:54 Titel: |
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@jentowncity: Fast am Ziel !
Wenn du den Ansatz nun z.B folgendermassen integrierst
 e^{-inx/r}dx = \sum_{m=0}^\infty \alpha_m \underbrace{\int_0^{2r\pi} e^{i \frac{(m-n)}{r}x}dx}_{2r\pi \delta_{mn}} + \sum_{m=1}^\infty \beta_m \int_0^{2r\pi} e^{-i \frac{(m+n)}{r}x}dx = \ldots)
oder
 e^{inx/r}dx = \sum_{m=0}^\infty \alpha_m \int_0^{2r\pi} e^{i \frac{(m+n)}{r}x}dx + \sum_{m=1}^\infty \beta_m \underbrace{\int_0^{2r\pi} e^{-i \frac{(m-n)}{r}x}dx} = \ldots)
welche Terme bleiben dann über ?
Du hast die Antwort ja schon vorweggenommen!
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 10. Jun 2007 14:24 Titel: |
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Hallo!
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube (?), dass die beiden den gleichen Ansatz im Kopf hatten |
Das denke ich auch 
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | will mich aber nun nicht einmischen... |
Nein, das ist doch ok, und wie immer bei Dir, auch sehr gut!  Nur weiter so!
Gruß
Marco
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 10. Jun 2007 16:12 Titel: |
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Achso, dann bleibt von jeder Summe nur 1 Summand stehen, der Rest wird aufgrund des Integrals =0
 e^{-inx/r}dx =(\alpha_{n} +\beta_{-n})2\pi r)
Aber ich sehe immer noch nicht wie ich die beiden Koeffizienten bestimmen soll...
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 10. Jun 2007 16:18 Titel: |
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| jentowncity hat Folgendes geschrieben: | Achso, dann bleibt von jeder Summe nur 1 Summand stehen, der Rest wird aufgrund des Integrals =0
Aber ich sehe immer noch nicht wie ich die beiden Koeffizienten bestimmen soll... |
Da die Indizes nur positiv oder null sind gibt es kein  .
Erkennst du nun, wie man die Koeffizienten bestimmt?
PS: man hätte auch gleich ansetzen können
 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \gamma_n e^{inx/r})
Dann wäre es ein wenig übersichtlicher.
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 10. Jun 2007 17:02 Titel: |
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Nee, sorry ich hab immer noch keine Idee wie ich auf die Koeffizienten komme 
Ich sehe nicht aus welcher Gleichung sich das ergeben könnte...
Ich könnte natürlich schreiben:
 e^{-inx/r}dx)
Aber das bringt ja nicht viel...
Edit: Obwohl das hier nach der Forurier-Transformierten von ) riecht.
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smn
Anmeldungsdatum: 08.06.2007
Beiträge: 25
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| smn Verfasst am: 10. Jun 2007 18:11 Titel: |
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Doch, genau das ergibt doch mit ) :
 \int_{0}^{\pi}~e^{in\phi} \frac{1}{\sqrt{\pi R}}~d\phi = - \frac{i}{n\pi\sqrt{\pi R}} )
, für ungerade n, sonst Null. Und  , auch nur für ungerade n.
Also krieg ich
=\sum_{n=1}^\infty \frac{i}{n\pi\sqrt{\pi R}} (e^{-in\phi}-e^{in\phi})) , 
Jetzt hab ich eine Überlagerung von Eigenzuständen, und wenn ich auf diese den Zeitentwicklungsoperator loslasse, krieg ich mit
 :
=\frac{1}{\pi\sqrt{\pi R}} \sum_{n=1}^\infty \frac{i}{n}e^{-\frac{ih_{quer}n^2}{2mR^2}\cdot t} (e^{-in\phi}-e^{in\phi}))
Ist das alles richtig??? Wenn ja , kann man das Ergebnis vielleicht noch vereinfachen? So könnte man ja noch nicht damit rechnen, oder?
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smn
Anmeldungsdatum: 08.06.2007
Beiträge: 25
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| smn Verfasst am: 10. Jun 2007 18:54 Titel: |
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Also ich hab grad mein Ergebnis für mit Matematica geplotet, und das sieht schon gar nicht schlecht aus, Amplitude und Periode stimmen, nur ist es symmetrisch zur x-Achse. Es würde also perfekt stimmen, wenn man noch  anhängen würde. Weiß jemand woran das liegt, und ob das die Zeitentwicklung beeinflusst?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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smn
Anmeldungsdatum: 08.06.2007
Beiträge: 25
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| smn Verfasst am: 10. Jun 2007 19:51 Titel: |
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schnudl, vielen Dank für deine Hilfe! Allein hätt ich das nie hingekriegt. 
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 11. Jun 2007 13:41 Titel: |
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| smn hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ja , kann man das Ergebnis vielleicht noch vereinfachen? |
Das lässt sich sogar noch ganz wunderbar vereinfachen Wie, das ahnt man schon, wenn man schnudls schöne Plots von Näherungen des Ergebnisses anschaut:
Indem man das Ergebnis nun wieder zurück-Fourier-transformiert und so die Funktionen im Ortsraum für die Amplitude und für die Phase der Wellenfunktion erhält.
Dann sieht man dem Ergebnis sehr schön anschaulich an, wie der anfängliche rechteckige Kasten auseinanderläuft, und wie er mit seinen Nachbarkästen (die sich alle  wie die Zacken eines ein Kamms auf der x-Achse wiederholen) interferiert, wenn er auf diese trifft und beginnt, sich mit ihnen zu überlappen.
Den rechteckigen Kasten der Amplitudenfunktion kann man dabei prima als das Produkt zweier Sprungfunktionen (Heavisidefunktionen ) , die ist 1 für x>0 und 0 für x<0, ihre Ableitung nach x ist die Deltafunktion = \delta(x)) ) darstellen:
-x_1(t))}}\cdot \theta(x-x_1(t))\cdot \theta(x_2(t)-x))
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