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Impulsoperator: kanonische vs kinetischer Impuls
 
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markus:gans
Gast





Beitrag markus:gans Verfasst am: 08. Okt 2021 23:23    Titel: Impulsoperator: kanonische vs kinetischer Impuls Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Die Hamiltonfunktion bzw. -operator eines freien Teilchens im elektromagnetischen Feld ist ja und kann ganz klassisch hergeleitet werden aus der Bedingung, dass die Lagrangefunktion mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung auf die Lorentzkraft als Euler-Lagrange-Gleichung führt, mit anschließender Legendre-Transformation mit Definition als kanonischen Impuls.
Hier wird dann in der QM der Impulsoperator für den kanonischen und nicht den kinetischen Impuls eingeführt.

Also ist allgemein in der QM ? Sodass der Impulsoperator den kanonischen und nicht kinetischen Impuls berechnet?


(statisches Pot., Konstanten usw. auf null bzw. eins gesetzt)


Meine Ideen:
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15177

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Okt 2021 06:35    Titel: Re: Impulsoperator: kanonische vs kinetischer Impuls Antworten mit Zitat

markus:gans hat Folgendes geschrieben:
Also ist allgemein in der QM ? Sodass der Impulsoperator den kanonischen und nicht kinetischen Impuls berechnet?

Jein.

Ja, es wird immer der kanonische Impuls quantisiert.

Nein, dieser hat nicht immer diese einfache Form. Zum Beispiel führen nicht-kartesische Koordinaten oder die Quantisierung auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit zum entsprechenden Nabla- sowie dem verallgemeinerten Laplace-Beltrami Operator. Auch die Anwesenheit von Zwangsbedingungen liefert im Rahmen der Diracschen Constraint Quantization i.A. einen komplizierteren Impulsoperator.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
markus:ganz
Gast





Beitrag markus:ganz Verfasst am: 09. Okt 2021 08:40    Titel: Re: Impulsoperator: kanonische vs kinetischer Impuls Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
markus:gans hat Folgendes geschrieben:
Also ist allgemein in der QM ? Sodass der Impulsoperator den kanonischen und nicht kinetischen Impuls berechnet?

Jein.

Ja, es wird immer der kanonische Impuls quantisiert.

.


Ich nehme an, das wird mit der "Kraft"-Gleichung (verallg.) motiviert?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15177

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Okt 2021 13:36    Titel: Antworten mit Zitat

Das funktioniert nicht, denn der Impulsoperator wirkt ja nicht auf den Hamiltonian sondern auf die Wellenfunktion.

Am einfachsten erkennt man den Sinn, wenn der Impulsoperator auf eine ebene Welle wirkt, die zugleich die Eigenfunktion darstellt:


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markus_ganz
Gast





Beitrag markus_ganz Verfasst am: 12. Okt 2021 08:35    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist klar, dass der Impulsoperator eine Ortableitung ist. Mir ging es darum, welche physikalische Größe er darstellt (kinetisch - kanonisch).
Ich wollte mit der Hamiltongleichung nur die allgemeinere Bedeutung des kanonischen Impulses Unterstreichen und mit gedacht, dass gerade deshalb dieser in der Quantenmechanik als Observable von dem Impulsoperator repräsentiert wird
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15177

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Okt 2021 10:51    Titel: Antworten mit Zitat

markus_ganz hat Folgendes geschrieben:
Ich wollte mit der Hamiltongleichung nur die allgemeinere Bedeutung des kanonischen Impulses Unterstreichen und mit gedacht, dass gerade deshalb dieser in der Quantenmechanik als Observable von dem Impulsoperator repräsentiert wird

Ja, da hast du recht.

Die symplektische Struktur auf dem Phasenraums bzw. die Poissonklammern {., .} sowie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen vermöge {A,H} für eine Observable A aus der klassischen Mechanik in kanonischer Formulierung werden mittels kanonischer Quantisierung auf Kommutatoren [.,.] sowie die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen vermöge [A,H] abgebildet.

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