Relativistische Energie nach Impuls umstellen

Ikke · Gast

Meine Frage:
Die Gleichung für die relativistische Energie ist E²=(pc)²+(mc²)².

Wie lautet die Formel, wenn man sie nach dem relativistischen Impuls p umstellt?

Meine Ideen:
Ich komme einfach nicht drauf.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Zunächst stellst du so um, das der Term mit p alleine auf einer Seite steht.
Dann ziehst du die Wurzel.

Ikke · Gast

OK, ich komme auf p²=(m²c^4+E²)/c²

Ist das richtig?

Ikke · Gast

Ich habe nochmal versucht, komme auf: p²=(E²-m^2c^4)/c^2

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

ist ja nicht so schwer, oder?

E²=(pc)²+(mc²)²

(pc)² = E² - (mc²)²

p² = (E² - (mc²)²)/c²

Ikke · Gast

Wie du siehst, habe ich noch einen anderen Beitrag eröffnet mit dem Thema Elektronenmikroskop.
Laut Wikipedia beträgt die De-Broglie-Wellenlänge für ein Elektron der Energie (Welche Energie? In Wiki steht weiter nichts) 100 keV 0,0037 nm.

Kannst du Tipps und Hilfe zur Berechnung geben? Wie komme ich von 100 keV Elektronenenergie auf 0,0037 nm?

Ich würde so vorgehen:

Als erstes muss man von der Gesamtenergie 100 keV (1,602*10^-14 Joule (falls das stimmt)) den relativistischen Impuls berechnen.

Das mache ich mit der Formel p² = (E² - (mc²)²)/c²

Jetzt wird bei mir der Wert des Impulses negativ, warum???

Weiter gehe ich mit der Formel lambda=h/p vor.

Aber ich komme nicht auf 0,0037 nm.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ikke · Gast

Wenn die 100 keV die relativistische kinetische Energie sind, wozu benötige ich dann die Formel für die Gesamtenergie?
Ich nehme an, dass ich von der kinetischen Energie irgendwie auf die Gesamtenergie rechnen kann, aber wie mache ich das?
Dann geht es weiter mit p² = (E² - (mc²)²)/c².
Der Rest ergibt sich dann.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Nun, du musst auf den Impuls zurückrechnen, also

Wenn du die zweite Gleichung in die erste einsetzt, dann kannst du den Impuls p durch die kinetische sowie die Ruhemasse ausdrücken. Beides ist bekannt.

Ikke · Gast

So, ich habe jetzt die richtige Berechnung hinbekommen. Komme genau auf 0,0037 nm.
Thank you.

Ikke · Gast

Also ich bin jetzt so vorgegangen:

Ich habe die Formel E=E_kin+mc² genommen. Damit habe ich die Gesamtenergie berechnet.

Dann bin ich vorgegangen mit der Formel p²=(E²-(mc²)²)/c²

Dann habe ich den Impuls in die Formel lambda=h/p eingesetzt.

Und heraus kam genau 0,0037 nm.

War die Vorgehensweise so richtig?

Ikke · Gast

Hi TomS.

Ich kopiere meine Frage nochmal, vielleicht hast du sie nicht gesehen.

Also ich bin jetzt so vorgegangen:

Ich habe die Formel E=E_kin+mc² genommen. Damit habe ich die Gesamtenergie berechnet.

Dann bin ich vorgegangen mit der Formel p²=(E²-(mc²)²)/c²

Dann habe ich den Impuls in die Formel lambda=h/p eingesetzt.

Und heraus kam genau 0,0037 nm.

War die Vorgehensweise so richtig?

Ikke · Gast

TomS, magst du mir nicht mehr antworten???

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Deine Vorgehensweise sieht vernünftig ist.

Magst du die gesamte Rechnung (in Formeln, nicht mit Werten) in LaTeX reinstellen?

Ikke · Gast

Mit dem LaTeX komme ich nicht ganz klar, aber vielleicht wäre es gut, wenn du das machen würdest. Immerhin lesen ja einige Leute diese Beiträge, die die selbe Frage haben.

Formeln, die ich genommen habe:
1. E=E_kin+mc²
2. p²=(E²-(mc²)²)/c² (natürlich noch die Wurzel ziehen)
3. lambda=h/p

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das sollte ausreichen; vlt. bei Gelegenheit

Ikke · Gast

Aber meine Vorgehensweise ist vernünftig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ikke · Gast

Gerade noch ne Frage zu den 100 keV.
Wie kommst du darauf, dass das die kinetische Energie ist?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Weil's nur so Sinn macht; die Ruheenergie ist ja bereits 511 keV

Ikke · Gast

Kann ich jetzt sicher sein, dass ich richtig gerechnet habe? Immerhin bin ich auf 0,0037 nm gekommen.

Ikke · Gast

Kann ich jetzt sicher sein, dass ich richtig gerechnet habe? Immerhin bin ich auf 0,0037 nm gekommen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Dein Rechenweg sieht vernünftig aus; du kommst auf das richtige Ergebnis; passt

Ikke · Gast

Gute Elektronenmikroskope haben heute eine Auflösung von 0,05 nm.

Ein Elektron mit einer relativistischen kinetischen Energie hat aber bereits eine De-Broglie-Wellenlänge von nur 0,0037 nm.

Wie kann das sein? Haben die heutigen Elektronen in den Elektronenmiktroskopen einfach nicht genug kinetische Energie?

Ikke · Gast

Nachtrag von siehe oben.

Laut meinen Berechnungen wäre die De-Broglie-Wellenlänge für ein Elektron der relativistischen kinetischen Energie 0,00196 nm.

Stimmst du damit überein?

Ikke · Gast

Nochmal Nachtrag:

Laut meinen Berechnungen wäre die De-Broglie-Wellenlänge für ein Elektron der relativistischen kinetischen Energie von 300 keV gleich 0,00196 nm.

Stimmst du damit überein?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich denke, dass es sich bei der Materiewellenlänge nur um eine theoretisch mögliche Auflösung handelt, und dass Linsenfehler der eigtl. begrenzende Faktor sind. Ich bin da aber kein Experte.

Ikke · Gast

Das denke ich auch.

Noch ne andere Frage. Laut meinen Berechnungen wäre die De-Broglie-Wellenlänge für ein Elektron der relativistischen kinetischen Energie von 300 keV gleich 0,00196 nm.

Stimmst du damit überein?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Physik

Lass' uns nochmal die Formeln zusammenfassen

Üblicherweise wird die kinetische statt der Gesamtenergie angegeben. Außerdem verwenden wir die Ruheenergie statt der Ruhemasse

Einsetzen liefert

Für die Wellenlänge folgt dann

Stimmt das mit deinen Formeln überein?

Ikke · Gast

Ich habe nochmal deine Formel nachgerechnet und ich stimme absolut überein.

Damit sollte ich jetzt sicher sein, dass die de-Broglie-Wellenlänge für ein Elektron der kinetischen Energie von 300 keV genau 0,00196 nm beträgt.

Thank you very much!

Ikke · Gast

Du scheinst dich ja wirklich gut auszukennen! Es ist sehr nett, dass du mir und anderen hilfst.

Ich denke, da unsere Formeln übereinstimmen, wir aufs selbe Ergebnis kommen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Danke ;-)

Ikke · Gast

Immer wenn die relativistische kinetische Energie gegeben ist für ein Teilchen und ich möchte die de-Broglie Wellenlänge berechnen, dann nehme ich die Formel: lambda=hc/Wurzel(E_kin²+2*E_0*E_kin).
Ansonsten nehme ich, sollte der relativistische Impuls gegeben sein, die Formel lambda=h/p.

Ikke · Gast

Eigentlich kann ich doch immer die Formel lambda=hc/Wurzel(E_kin²+2*E_0*E_kin) nehmen, wenn ich die De-Broglie-Wellenlänge berechnen möchte, oder?

Ikke · Gast

Warum antwortest du mir nicht mehr???

Habe noch folgende Fragen:

Immer wenn die relativistische kinetische Energie gegeben ist für ein Teilchen und ich möchte die de-Broglie Wellenlänge berechnen, dann nehme ich die Formel: lambda=hc/Wurzel(E_kin²+2*E_0*E_kin).
Ansonsten nehme ich, sollte der relativistische Impuls gegeben sein, die Formel lambda=h/p.

Eigentlich kann ich doch immer die Formel lambda=hc/Wurzel(E_kin²+2*E_0*E_kin) nehmen, wenn ich die De-Broglie-Wellenlänge berechnen möchte, oder?

IchAuch · Gast

@TomS

Wie wäre es denn, wenn man ein Elektron nimmt, welches durch eine Spannung von U = 2000 Volt beschleunigt wird.
Ein Elektron, das diese Spannung durchläuft hat doch genau eine (relativistische) kinetische Energie von 2000 Elektronenvolt.
Also kann man doch die Formel von dir nehmen, um auf die Wellenlänge zu kommen.
Man verfährt wie beschrieben bzw. wie gehabt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ikke · Gast

Bei der Herleitung der Formel lambda=hc/Wurzel(E_kin²+2*E_0*E_kin) habe ich ein Problem.

Also (pc)²=E²*E_0² soweit ist klar

aber dann schreibst du (pc)²=E²*E_0²=(E_kin+E_0²)²

warum ist (E_kin+E_0²)² ?

Warum ist zweimal E_0 hoch zwei?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ikke · Gast

OK. Ich habe mir echt schon die Zähne an der zweiten "hoch zwei" ausgebissen. ;-)

Man könnte aber doch auch schreiben:

Für p (Impuls): p=[Wurzel(E²-E_0²)]/c

Dann einsetzen in lambda=h/p