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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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 paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 10:01 Titel: Impulsoperator, Lösungen Teil des L2 Raumes? |
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Meine Frage:
Aufgabe: Untersuche, ob der Impulsoperator  quadratintegrable Eigenfunktionen hat  ) , d.h. ob die Gleichung
Lösungen  ) mit  besitzt.
Meine Ideen:
Meine Idee wäre das Lösen der Eigenwertgleichung mit einem geeigneten Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen; und dann wäre zu untersuchen, ob die gefundene Lösung quadratintegrabel ist.
Mein Lösungsweg:
Das ist die Lösung der DGL:
=C \cdot e^{\frac{i}{\hbar} p_{k} \cdot x} )
Wie komme ich davon jetzt zur Entscheidung, ob die Funktion quadratintegrabel ist bzw. ob die Gleichung oben Teil des L2 Raumes ist? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 10:16 Titel: Re: Impulsoperator, Lösungen Teil des L2 Raumes? |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: |
Meine Ideen:
Meine Idee wäre das Lösen der Eigenwertgleichung mit einem geeigneten Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen; und dann wäre zu untersuchen, ob die gefundene Lösung quadratintegrabel ist.
Mein Lösungsweg:
Das ist die Lösung der DGL:
Wie komme ich davon jetzt zur Entscheidung, ob die Funktion quadratintegrabel ist bzw. ob die Gleichung oben Teil des L2 Raumes ist? |
Berechne doch mal
|^2\dd^3 x.)
Was kommt dabei raus? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 10:36 Titel: |
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Du hast recht, zunächst mal sind Lösungen der Gleichung
 \, \phi_k = 0 )
gesucht.
Auf jedem endlichen Intervall
funktioniert der Lösungsansatz
 = C \, e^{ikx} )
Die Quadratintegrabilität entspricht der Bedingung
|^2 < \infty)
Diese Bedingung musst du untersuchen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 11:31 Titel: |
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Danke für die Tipps! Also müsste ich anstatt meiner Lösung die Funktion
=C \cdot e^{ikx} ) verwenden?
zur Untersuchung der Bedingung muss ich da die Stammfunktion bilden und danach eine Grenzwertbetrachtung machen. Ich habe da etwas schwierigkeiten, wisst ihr was hier die Stammfunktion wäre? Habe es bei diversen Rechnern eingegeben, aber da kommt etwas komisches raus |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 13:01 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | Danke für die Tipps! Also müsste ich anstatt meiner Lösung die Funktion
verwenden? |
Der Unterschied sind doch nur die Konstanten.
| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | | zur Untersuchung der Bedingung muss ich da die Stammfunktion bilden und danach eine Grenzwertbetrachtung machen. Ich habe da etwas schwierigkeiten, wisst ihr was hier die Stammfunktion wäre? Habe es bei diversen Rechnern eingegeben, aber da kommt etwas komisches raus |
Du musst zunächst auf Basis von
den Integranden
|^2 = \ldots )
berechnen. Wie lautet der?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 14:10 Titel: |
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Also quadriert wäre es: =C^2 \cdot e^{2ikx} )
Und wie wäre die Stammfunktion davon? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 14:17 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | Also quadriert wäre es:
Und wie wäre die Stammfunktion davon? |
Vergiß mal die Stammfunktion. Du berechnest hier das bestimmte Integral einer reellen Funktion über den gesamten  . Das hat mit der Bestimmung der Stammfunktion nichts zu tun.
Dann ist der Integrand nicht das Quadrat, sondern das Betragsquadrat der Wellenfunktion. Die Wellenfunktion selbst ist komplex. Wie berechnet man also  für eine komplexe Zahl z? (Es hat etwas mit komplexer Konjugation zu tun.) |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 15:15 Titel: |
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Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube es ist 1 und daher nicht quadratintegrabel, oder? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 15:40 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube es ist 1 und daher nicht quadratintegrabel, oder? |
Fast. Mach es doch mal Schritt für Schritt, damit man deinem Gedankengang folgen kann. Also,  = Ce^{\frac{i}{\hbar} kx}) . Daraus folgt
|^2 = ???)
Und dann
|^2 \dd^3 x = ???) |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 15:51 Titel: |
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Wäre das für |z|^2 nicht zz*? Ich weiß leider nicht, wie das Integral berehcnet wird, bin nicht so erfahren mit komplexen Zahlen :/ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 16:08 Titel: |
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Dein Problem ist nicht die Integration sondern die Berechnung von
Was ist denn das Ergebnis?
EDIT: ich sehe, du hast es oben schon hingeschrieben;-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Jun 2021 16:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 16:09 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | | Wäre das für |z|^2 nicht zz*? |
Und wie sieht das aus für ) ? (Bitte gleich einsetzen.) |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 16:15 Titel: |
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Achso, ja das ist 1.
+i \sin (k x)|=\sqrt{\cos ^{2}(k x)+\sin ^{2}(k x)}=\sqrt{1}=1 )
Also könnte man daraus folgern, dass es nicht qudratintegrabel ist, richtig? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 24. Jun 2021 16:28 Titel: |
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Genau.
Wenn du mit der QM zurechtkommen möchtest, dann solltest du sowas sehr zügig lösen können; Rechenregeln für komplexe Zahlen sind wirklich die Basics.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 16:51 Titel: |
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Vielen Dank! Ja, ich muss mir das nochmal genau anschauen und durcharbeiten.
Letze Frage: Und das C, fällt das einfach weg oder ist nur dieser e^ikx Term relevant? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 16:55 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank! Ja, ich muss mir das nochmal genau anschauen und durcharbeiten.
Letze Frage: Und das C, fällt das einfach weg oder ist nur dieser e^ikx Term relevant? |
Nein, das C fällt nicht weg. Es bleibt  im Integral stehen. Aber das ändert natürlich nichts am Konvergenzverhalten des Integrals. Du solltest die Rechnung wirklich nochmal Schritt für Schritt ausformulieren. Am besten hier. |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 19:45 Titel: |
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Okay, alles klar, also das wäre die ganze Rechnung:
=C \cdot e^{\frac{i}{h} p_{k} x} )
+i \cdot \sin \left(\frac{p_{k}}{h} x\right)\right)\right|^{2} d x=\left|C \cdot \sqrt{\cos ^{2}\left(\frac{p_{k}}{h} x\right)+\sin ^{2}\left(\frac{p_{k}}{h} x\right)}\right|^{2} d x )
-> Nicht quadratintegrabel
Ist das alles so korrekt? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 20:47 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | Okay, alles klar, also das wäre die ganze Rechnung:
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Ok, wir kommen der Sache näher. Das Integral muß aber über gehen. Es ist ja gefragt ob ) . Ich interpretiere die Aufgabe so, daß ) eine Eigenfunktion zu allen  sein soll. Dann sind  . (Andernfalls ist die Lösung  nicht allgemein genug.)
Abgesehen davon (und von den fehlenden Integralzeichen) stimmen die Gleichheiten. Es ist allerdings ein bißchen zu umständlich. Probiere es mal so:
 = Ce^{ipx}) , ^\star = C^\star e^{-ipx})
|^2 = \phi(x)\phi(x)^\star = ???) |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 21:07 Titel: |
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Okay, alles klar, vielen Dank für deine Mühe!
Ich werde den Rechenweg nochmal überarbeiten, aber das endgültige Ergebnis ist doch, dass es nicht integrabel ist, richtig? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Jun 2021 21:15 Titel: |
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| paul.dering hat Folgendes geschrieben: | Okay, alles klar, vielen Dank für deine Mühe!
Ich werde den Rechenweg nochmal überarbeiten, aber das endgültige Ergebnis ist doch, dass es nicht integrabel ist, richtig? |
Ja, die Funktion ist nicht in ) . |
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paul.dering
Anmeldungsdatum: 19.11.2020
Beiträge: 19
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| paul.dering Verfasst am: 24. Jun 2021 21:16 Titel: |
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Super, vielen Dank! |
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