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Physiker1.1
Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 19
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 Physiker1.1 Verfasst am: 17. Jan 2022 15:23 Titel: Dichtematrix - Zeitentwicklung |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe in dieser Aufgabe Folgendes gegeben:
Einen Hamiltonian des betrachteten quantenmechanischen Systems:
geschrieben in der Basis
 .
Dabei sind die Zustände durch die (nicht entarteten) Eigenwerte eines
eines Operators A gekennzeichnet.
Zur Zeit t=0 ist die Dichtematrix als
gegeben.
Man soll nun die Wahrscheinlichkeit
)
dafür berechnen, dass man a_1 als Ergebnis bekommt, wenn man A zu einem späteren Zeitpunkt t misst.
Meine Ideen:
Ich habe versucht mit der Zeitentwicklung der Dichtematrix zu rechnen, also mit
 = U^{-1}(t)\rho_0U(t))
wobei U der Zeitentwicklungsoperator mit
 ist.
Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich U in diesem Fall so darstellen darf, weil mein Hamiltonian ja eigentlich zeitabhängig ist, wenn ich die Zustände zeitentwickle, oder?
Kann mir jemand helfen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2022 16:21 Titel: |
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Nein, der Ansatz ist bis auf eine Kleinigkeit völlig korrekt.
Eines in einer bestimmten Basis diagonalen Dichteoperators lautet
wobei die Projektoren für t = 0 gegeben sind durch
Und mit der Zeitentwicklung der Zustände gemäß
 = \exp\left[-iHt\right])
\right\rangle = U(t) \, \left|a\right\rangle)
folgt die Zeitentwicklung des Dichteoperators gemäß der von-Neumann-Gleichung
 = U(t) \, \rho_0 \, U^\dagger(t) = \sum_a p_a \, U(t) \, E_a \, U^\dagger(t) )
Du hast  und  vertauscht. So würde das für die Heisenberg-Gleichung als Bewegungsgleichung eines Operators im Heisenbergbild gelten; wir reden hier jedoch von der Zeitentwicklung eines Dichteoperators im Schrödingerbild, der den Zustand des Systems beschreibt.
Dein Hamiltonian ist außerdem nicht zeitabhängig. Er lautet schlicht
)
bzw. in Matrixschreibweise unter Verwendung der Pauli-Matrix
Die Definition erfolgt mittels der Basisvektoren für t=0.
Mit der sehr nützlichen Identität - darfst du zur Übung gerne beweisen -
\right] = \cos a + i\left(\hat{n}\vec{\sigma}\right) \sin a )
kannst du deinen Zeitentwicklungsoperator ) explizit ausrechnen. Der Rest ist dann triviale Algebra.
 ) steht für das Skalarprodukt aus einem beliebigen Einheitsvektor und dem Vektor der Paulimatrizen. In deinem Fall gilt
)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Jan 2022 16:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. Jan 2022 16:26 Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung |
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| Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben: |
Meine Ideen:
Ich habe versucht mit der Zeitentwicklung der Dichtematrix zu rechnen, also mit
wobei U der Zeitentwicklungsoperator mit
ist.
Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich U in diesem Fall so darstellen darf, weil mein Hamiltonian ja eigentlich zeitabhängig ist, wenn ich die Zustände zeitentwickle, oder?
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Nein, H ist nicht zeitabhängig. Die Darstellung  = e^{-iHt}) ist also zulässig. Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und  in der Energieeigenbasis darstellst. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2022 16:29 Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und in der Energieeigenbasis darstellst. |
Würde ich nicht machen - s.o. - ist aber letztlich Geschmacksache.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. Jan 2022 16:51 Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und in der Energieeigenbasis darstellst. |
Würde ich nicht machen - s.o. - ist aber letztlich Geschmacksache. |
Kommt vielleicht darauf an, wie man es macht. In welcher Basis H diagonal ist, sieht man fast ohne Nachdenken.
Falls ich mich nicht verrechnet habe, ist
 = e^{i\omega t}|e_1\rangle\langle e_1| + e^{-i\omega t}|e_2\rangle\langle e_2|)
und
)
Damit kann man ) ja recht leicht ausrechnen. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. Jan 2022 18:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Mit der sehr nützlichen Identität - darfst du zur Übung gerne beweisen -
kannst du deinen Zeitentwicklungsoperator explizit ausrechnen. |
Übrigens, für den Fragesteller ist vielleicht auch interessant, daß man diese Identität im vorliegenden Fall auch leicht direkt, ohne Umweg über die Pauli-Matrizen zeigen kann.
Mit ) (ich spare mir mal die Diracschreibweise, links stehen immer Kets, rechts Bras), kann man ja leicht sehen, daß für gerade Potenzen von  gilt
^{2n} = (-1)^n (\omega t)^{2n}(a_1 a_1 + a_2a_2) = (-1)^n (\omega t)^{2n}.)
Der letzte Schritt gilt, weil  vollständig ist. Für ungerade Potenzen gilt
^{2n+1} = -i (-1)^{n}(\omega t)^{2n+1}(a_1 a_2 + a_2a_1) )
Damit folgt auch über die Taylorreihen von Kosinus und Sinus
 = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)(a_1 a_2 + a_2 a_1).) |
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Physiker1.1
Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 19
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| Physiker1.1 Verfasst am: 17. Jan 2022 19:05 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nein, der Ansatz ist bis auf eine Kleinigkeit völlig korrekt.
Du hast und vertauscht. So würde das für die Heisenberg-Gleichung als Bewegungsgleichung eines Operators im Heisenbergbild gelten; wir reden hier jedoch von der Zeitentwicklung eines Dichteoperators im Schrödingerbild, der den Zustand des Systems beschreibt.
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Danke, das hatte ich tatsächlich verwechselt.
Also ich schreib mal hin, wie ich das verstanden habe (nur den Ansatz, das stumpfe Ausrechnen bekomme ich dann hoffentlich alleine hin):
 = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t} = e^{-i\omega\vec{\sigma}_xt} = \cos(-\omega t)+i(\vec{n}\vec{\sigma})\sin(-\omega t))
Dabei ist bei mir
}{=} \sigma_x)
Außerdem ist
^\dagger = \cos(-\omega t)-i(\vec{n}\vec{\sigma})\sin(-\omega t) )
Das setze ich dann ein in die Formel für die zeitentwickelte Dichtematrix. Die p_i bleiben dann einfach die von der Dichtematrix bei t=0 und so sollte ich am Ende eine 2x2 Matrix rausbekommen, deren Diagonaleinträge die Wahrscheinlichekeiten für a_1 und a_2 sind. Stimmt das so?
Danke für die Hilfe! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 18. Jan 2022 10:02 Titel: |
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Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist
 = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)(|a_1\rangle\langle a_2| + |a_2 \rangle \langle a_1|)=\cos(\omega t) - \frac{i}{\omega\hbar}\sin(\omega t)H.)
Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen.
Damit rechnest du jetzt also
 = U(t)\rho_0 U^\dagger(t))
in der  -Basis aus. Die Wahrscheinlichkeit  ist der Koeffizient vor  . |
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Physiker1.1
Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 19
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| Physiker1.1 Verfasst am: 18. Jan 2022 21:04 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist
Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen. |
Alles klar, dann vielen Dank für die Hilfe! Die Relation werde ich bei Gelegenheit beweisen, wenn ich die Zeit dafür finde. Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion. Das hattest Du ja auch weiter oben schonmal angerissen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 18. Jan 2022 22:59 Titel: |
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| Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion. |
Genau.
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