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Zeitentwicklung
 
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Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 21. Feb 2011 00:27    Titel: Zeitentwicklung Antworten mit Zitat

Folgende Frage:
Der Hamiltonion ist bekannt:
. Die Zustände bilden eine vollständige Orthonormalbasis.
Nun soll die Zeitentwicklung in Termen der beiden Basiszustände angegeben werden. Dabei ist .
Normalerweise würde ich den Zeitentwicklungsoperator auf meine Darstellung der Wellenfunktion wirken lassen. Hier ist jedoch das Problem, dass in diesem Fall das System dann doch immer im Zustand 1 verbleiben würde.
Als Hinweis ist noch gegeben, dass eine Reihenentwicklung eventuell nützlich sein könnte.
Kann mir jemand weiterhelfen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14183

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Feb 2011 00:40    Titel: Antworten mit Zitat

M.E. solltest du den Zeitentwicklungsoperator exp(-iHt) mittels Taylorentwicklung berechnen. Die geraden Potenzen von (-iHt) sind dabei proportional zur Einheitsmatrix, die ungeraden wiederum proportional zu H. Diese Potenzen kannst du nun so sortieren, so dass du Sinus und Cosinus-Reihe erhältst, einmal mit einem Vorfaktor gleich Eins, einmal mit H. Damit ist der Zeitenwicklungsoperator exp(-iHt) im wesentlichen eine SU(2) Drehung deiner Basisvektoren |1> und |2>, die Zeit t geht dabei in den Drehwinkel ein.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 21. Feb 2011 08:44    Titel: Antworten mit Zitat

In wie weit sind denn die beiden Zustände auch Eigenvektoren(/Zustände) zum Hamiltonoperator ?

Zuletzt bearbeitet von pressure am 21. Feb 2011 10:24, insgesamt einmal bearbeitet
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 21. Feb 2011 10:11    Titel: Antworten mit Zitat

pressure hat Folgendes geschrieben:
In wie weit sind den die beiden Zustände auch Eigenvektoren(/Zustände) zum Hamiltonoperator ?

Die gehen über Kreuz.
H|1>=h/2Pi |2>, H|2>=h/2Pi |1>
Die Idee mit der Taylorreihe hört sich vielversprechend an. Die werde ich gleich mal austesten.
-----------------------------------------------------------------
Ausgetestet: schaut gut aus:

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit t der Zustand |2> vorliegt:


Zuletzt bearbeitet von Chillosaurus am 21. Feb 2011 10:34, insgesamt einmal bearbeitet
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 21. Feb 2011 10:21    Titel: Antworten mit Zitat

Also:



Dann kannst du alternativ zu der Methode von TomS, die recht lehrreich ist, auch die Eigenzustände von H bestimmen und dann die beiden Zustände als Linearkombination der Eigenzustände schreiben. Beim Anwenden des Zeitpropagator darfst du dann jeweils H durch den entsprechenden Eigenwert ersetzen.
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 21. Feb 2011 10:42    Titel: Antworten mit Zitat

pressure hat Folgendes geschrieben:
[...] Dann kannst du [...]die beiden Zustände als Linearkombination der Eigenzustände schreiben. Beim Anwenden des Zeitpropagator darfst du dann jeweils H durch den entsprechenden Eigenwert ersetzen.

Das klappt genau so - schön, vielen Dank.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14183

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Feb 2011 10:48    Titel: Antworten mit Zitat

Chillosaurus hat Folgendes geschrieben:

Ausgetestet: schaut gut aus:

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit t der Zustand |2> vorliegt:

Irgendwie fehlt aber das h/2pi.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
pressure



Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 21. Feb 2011 11:13    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Irgendwie fehlt aber das h/2pi.


Das sollte sich mit dem im Zeitpropagator kürzen, das du in deinem Beitrag weggelassen hast.

Vielleicht kommt die Verwirrung dadurch, dass die Dimension vom Hamiltonian falsch ist.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14183

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Feb 2011 11:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ach so, das h soll tatsächlich die Plancksche Konstante sein.

Ich war etwas verwirrt, weil ich dachte, dass explizit ein Parameter der Dimension 'Energie' vorkommen müsste und hatte das mit h identifiziert.

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