Dichtematrix

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Ich haette eine Frage zur Dichtematrix. Also eine Dichtematrix sieht ja ungefaehr so aus:

Mein Frage waere, was die genaue Aussage von diesem Ausdruck ist. Gibt mir jetzt das

die Wahrscheinlichkeit an, einen Eigenzustand von irgendeiner Observablen vorzufinden?
Und vor allem wuerde mich interessieren, der Zusammenhang Eigenzustand und reiner Zustand.
Auch wuerde mich interessieren, wie das mit der Darstellung in einer anderen Basis gemeint ist, z. B Eigenbasis.

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Hallo nekros7,
zur ersten Frage: Schau Dir mal an, welcher Bedingung die

genügen müssen. Das liefert einen ersten Hinweis auf deren Bedeutung.
Dann kannst Du ja mal irgendeinen Zustand

von links an die Dichtefunktion dranmultiplizieren.

zum reinen Zustand: Der Begriff "reiner Zustand" kommt aus der Stat. Physik und bezeichnet einen Zustand eines Systems, der sich nur aus einem Eigenzustand zusammensetzt. Soll heißen, setze in Deiner Dichtematrix alle

bis auf eines. Diese Dichtematrix beschreibt dann einen reinen Zustand.

zur Eigenbasis: Weißt Du, was mit dem Begriff Eigenbasis gemeint ist?

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Also ich weiss, dass

gelten muss. Wenn ich von links den Zustand

dranmultipliziere, bekomme ich ja ein Skalarprodukt von

, das gewichtet ist mit

und noch den Bra

. Aber was sagt mir das aus?
Ich dachte immer ein reiner Zustand, ist ein Zustand, wo ich einen vollst. Satz von kommutierenden Observablen habe. Wie kommt da der Eigenzustand ins Spiel? Ich weiss noch, dass dann die Dichtematrix zu einem Projektor wird, da dann gilt:

.
Was genau eine Eigenbasis ist, frage ich mich seit geraumer Zeit...

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Die

bilden eine Eigenbasis. Das heißt, der Hamilton-Op. ist bzgl dieser Basis diagonal.
Was passiert denn, wenn man das Skalarprodukt zweier Basisvektoren bildet? Basisvektoren haben ja gewisse Eigenschaften, die man sich zu Nutze machen kann.

Zum reinen Zustand: Ich glaube, da bringts Du was durcheinander. Die

sind ja die Zustände. D.h. ist

, so befindet sich das System mit Wahrscheinlichkeit 1 im Zustand

. Das nennt man einen reinen Zustand.

Hat man nun eine Eigenbasis

eines Operators gefunden, das heißt der Operator ist bzgl dieser Basis diagonal, so gilt

.

Versuche mal die Frage zur Multiplikation mit

zu klären, dann fällt die Interpretation des oben gesagten leichter.

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Da die Basisvektoren ein Orthonormalsystem bilden gilt:

.
Was genau bringt mir es, wenn der Hamiltonoperator diagonal ist? Ausser, dass ich da die Eigenwerte einfacher berechnen kann?
Ist ein reiner Zustand automatische Eigenzustand?

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Wenn Du die Orthogonalitätsrelation in die Dichtematrix einsetzt, bekommst Du also

Das heißt, die Dichtematrix projiziert Deinen Zustand auf einen Eigenzustand und gewichtet ihn mit einem Faktor

, der der Wahrscheinlichkeit entspricht , dass bei einer Messung genau dieser Zustand gemessen wird.

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Danke das erklaert mir einiges. Ich denke noch mal darueber nach und melde mich dann.

nekros7 · Anmeldungsdatum: 18.08.2006 Beiträge: 154

Wie kann man denn eine Dichtematrix in einer anderen Basis darstellen? Zum Bespiel, wenn es um den Spin von Elektronen geht. Da kann man ja als Basis die Eigenzustaende des

Operators nehmen. Aber wie genau sieht dass dann aus?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Basis ist ja einfach durch die

gegeben. (Das sind ja diejenigen Vektoren im Hilbertraum, die hier die Basis aufspannen.)

Je nachdem, wie du die wählst, bekommst du dann also die entsprechende Basis.