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Dichtematrix und Positivität bestimmen
 
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kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
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Beitrag kingcools Verfasst am: 30. Apr 2016 15:30    Titel: Dichtematrix und Positivität bestimmen Antworten mit Zitat

Huhu, folgende Aufgaben habe ich zu bearbeiten:

http://up.picr.de/25378092ji.jpg

Unsicher bin ich mir bei der Bestimmung ob die Operatoren Positiv bzw. Dichtematrizen sind.

Zunächst muss ein Operator um positiv zu sein selbstadjungiert sein, richtig?
Gibt es dann einen Standardweg <Px, x> >= 0 nachzuweisen?

Dann zu Dichtematrix:
Gemäß Wikipedia muss für einen Operator folgendes gelten um eine Dichtematrix zu sein.
Zitat:

er ist hermitesch
er ist positiv semidefinit,
er ist Spurklasse mit Spur gleich 1.


Nun frage ich mich, wie ich allgemein für einen Operator die Spur berechne. Diese ist ja definiert als

für irgendeine Basis des Hilbertraumes. Schon bei der Basis wüsste ich erstmal nicht, was ich benutzen muss.
Da bin ich etwas verloren und würde mich über Tipps freuen smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12580

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Apr 2016 22:55    Titel: Antworten mit Zitat

Für die Spur sehe ich zwei Ansätze

1) Hermitizät bedeutet, dass ausschließlich reelle Eigenwerte vorliegen; also Eigenwerte berechnen und daraus die Spur berechnen; Hermitizität kann man jedoch an einer Mazrix ablesen, ohne die Eigenwerte zu berechnen

2) Die Spur explizit in der Basis {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} berechnen

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
kingcools



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Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 01. Mai 2016 17:33    Titel: Antworten mit Zitat

Hy, danke!

Zu 2):

Wieso diese Basis? Ich dachte der zugrundeliegende Raum ist der Hilbertraum der Quantenmechanik, d.h. der Raum der quadratintegrabeln Wellenfunktionen? Bei b) wüsste ich auch nicht, wieso ich 3 Dimensionen annehmen sollte?!
TomS
Moderator


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Beiträge: 12580

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Mai 2016 21:46    Titel: Antworten mit Zitat

Der Hilbertraum kann doch auch 3-dim. sein.
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kingcools



Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700

Beitrag kingcools Verfasst am: 01. Mai 2016 23:50    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, aber ich würde einen Funktionenraum erwarten und {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ist dann keine Basis?!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12580

Beitrag TomS Verfasst am: 02. Mai 2016 07:02    Titel: Antworten mit Zitat

Aber in deinem Fall liegt eben kein Funktionenraum vor.

Ein Beispiel für einen 3-dim. Zustandsraum in der QM wäre ein Spin- Teilchen. Relevante Operatoren wären 3 * 3 Spinmatrizen; Eigezustände wären 3-dim. Spinoren; Eigenwerte wären +1, 0, -1 für die z-Komponente.

Generell muss in der QM der (separable!) Hilbertraum kein Funktionenraum sein. Ein wesentliches Beispiel für einen Hilbertraum ist der L²[a,b] der quadratintegrablen Funktionen. Nun sind jedoch alle separablen Hilberträume isometrisch isomorph; auf dem L² sind abzählbare Basissysteme quadratintegrabler Funktionen möglich; damit können deren Koeffizienten wiederum als Elemente in einem l²-Hilbertraum quadratsummierbarer Folgen aufgefasst werden; dieser Raum ist eine unendlich-dimensionale Verallgemeinerung endlich-dimensionaler, euklidischer Vektorräume







Damit können Operatoren A im L² auf unendlich.dimensionale Matrizen im l² abgebildet werden:



Ein bekanntes Beispiel dürfte der harmonische Oszillator darstellen.

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