Frage zu Maxwell-Gleichungen

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Also ich habe auf Wikipedia gelesen, dass die beiden Induktionsgleichungen, welche E und B verknüpfen in integraler Form allgemeingültiger wären, als in differentieller. Ist das richtig, und falls ja, warum?
Meiner Meinung nach ist das richtig, solange man die zeitliche Ableitung partiell durchführt. Ich habe aber noch nie irgendwo eine Erklärung dafür gefunden, wieso aus dem totalen Differential in den integralen Gleichungen plötzlich ein partielles wird. Das passiert in den Lehrbüchern einfach so ... oO

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Kommt schon. Muss ja keine fertige Antwort sein, wie wärs mit Ideen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hm, die Frage erscheint mir ein bisschen philosophisch, welche von beiden Formen allgemeingültiger sei.

Die eine Form der Gleichungen nimmt man für die einen Anwendungen, und die andere Form für andere Anwendungen, und man kann die eine Form aus der anderen herleiten.

Oder meinst du vielleicht den lernpraktischen Effekt, dass man sich am Anfang erst ein bisschen mit den partiellen Ableitungssymbolen anfreunden muss, bevor man auch gerne mit der differentiellen Form arbeitet?

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ne, schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwellsche_Gleichungen

da steht in der Tabelle, dass die integrale Form allgemeingültiger sei. Und das ist sie auch, solange in der differentiellen nur partielle Ableitungen stehen. Nur wieso stehen da partielle Ableitungen? Ich versteh es nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Zunächst mal, warum sollen da keine partiellen Ableitungen stehen?

Die integrale Formulierung ist deswegen allgemeiner, weil sie nicht nur eine zeitliche Veränderung der Felder, sondern auch eine zeitliche Veränderung der betrachteten Fläche bei zeitlich konstanten Feldern berücksichtigt. D.h. aber, dass die Zeitableitung nicht nur auf die Felder unter dem Integral sondern auch auf die Integralgrenzen (eben die Fläche) wirkt.

Anwendungsfall: bewegte Schleife in konstantem B-Feld

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ja aber wie kommt man von der integralen zur differentiellen Schreibweise? Man wendet stokes an und hat es dranstehen. Erklär mir mal bitte, wieso sich dann das totale Zeitdifferential der integralen Schreibweise plötzlich in ein partielles verwandelt... ?!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

In der differentiellen Schreibweise bedeutet

In der integralen Schreibweise steht da im wesentlichen sowas wie

Bitte dies nur symbolisch auffassen!

Man kann dies verstehen, in dem man eine zeitabhängige Fläche durch eine zeitabhängige Parametrisierung ausdrückt. Am einfachsten überlegt man sich dies zunächst für ein eindimensionales Integral, in dem sowohl der Integrand als auch eine Grenze zeitabhängig sind, also

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt, so herum kann man es natürlich so auffassen, dass die integrale Form allgemeiner sei.

Wobei "allgemeiner" in diesem Fall sogar umgekehrt auch als Bezeichnung für die differentielle Form passen könnte, nämlich wenn man die Sache so formulieren möchte:

Die differentielle Form gilt ganz allgemein, denn um sie hinzuschreiben muss man erst mal gar nicht speziell dazusagen, auf was für eine Fläche man sie konkret anwenden möchte.

Um daraus die integrale Form zu erhalten, muss man die differentielle Form über eine Fläche integrieren. Und dafür muss man die Fläche dazusagen, auf die sich das beziehen soll. Will man den Fall mit in der integralen Form mit drinhaben, dass sich diese Fläche mit der Zeit verändert, dann muss man das bei der integralen Form mit dazuschreiben.

In der integralen Form steht also sowohl drin, welche Auswirkungen es hat, wenn sich das Feld verändert, als auch drin, welche Auswirkungen es hat, wenn sich die Fläche verändert. Deshalb schreibt man darin ein totales Differential, weil das insgesamt die Auswirkungen von zwei Teilvariablen enthält, die sich verändern können (die stehen also jeweils als partielle Ableitungen in dem Ausdruck drin).

Damit ist die integrale Form deutlich spezieller, wenn man so will, denn weil in ihr die Fläche, über die man integrieren möchte, explizit drinsteht, muss man auch explizit dazuschreiben, was passiert, wenn sich diese Fläche ändert, wenn man solche Fälle mit berücksichtigen will.

Die differentielle Formulierung ist im Vergleich dazu, so gesehen, viel allgemeiner, denn da muss man nicht erst speziell dazuschreiben, auf welche Fläche sie sich bezieht, also stecken alle diese Fälle schon in der differentiellen Form drin, ohne dass man sie explizit in die Formulierung der differentiellen Form reinschreiben muss.

Vielleicht habe ich mit dieser Beschreibung nicht nur das in Worten wiederholt, was TomS auch schon mit Formeln hingeschrieben hat, sondern es vielleicht sogar ein bisschen geschafft, zu zeigen, warum ich finde, dass es nicht so wichtig ist, welche Form von beiden man als "allgemeiner" bezeichnen möchte, weil die Formulierung "allgemein" so und so herum gesehen werden kann, ohne an der eigentlichen Physik etwas zu ändern smile

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich finde die Darstellung von Markus jedenfalls sehr einleuchtend.

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ahja ich glaube jetzt verstehe ich, was ihr meint. Das ist auch, was der Autor des Wikiartikels meinte, stimmt. Natürlich ist es, wie Markus schon sagte, totaler Schwachsinn, die integrale Form dann als allgemeingültiger hinzustellen.

Aber meine Frage ist eigentlich eine andere, ich versuche es nochmal:
Das totale Differential berücksichtigt vor allem auch eine Bewegung der Integrationsfläche im Raum (ohne die Form der Fläche zu verändern). Das heißt also, der magnetische Fluss kann sich bei zeitlich konstantem B-Feld durch eine Positionsänderung der Fläche verändern, falls B ortsabhängig ist.

Dazu muss gesagt werden, dass das E-Feld auf der linken Seite der Gleichung im RUHESYSTEM der Integrationsfläche bzw. Schleife liegt!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Also im Nolting steht das so smile

Und das macht ja auch Sinn, dass ich sozusagen auf beiden Seiten über die gleichen Koordinaten integriere. Das bewegte Bezugssystem ist nur implizit im B-Feld enthalten, welches sowohl ex- als auch implizit (also Bewegung der Leiterschleife) von t abhängt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Habe leider gerade keinen Nolting da. Falls du gleich schauen willst: Das steht im Nolting 3 gleich am Anfang des Kapitels "Elektrodynamik", wo eben das Farradaysche Induktionsgesetz diskutiert wird.
Genauers könnte ich heute Abend noch schreiben.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt, das Kapitel ist in meiner Ausgabe des Nolting das Kapitel 4.1.1.

Da sagt er, dass das E-Feld im Induktionsgesetz das E-Feld im mit dem Leiter mitbewegten Koordinatensystem meint.

(Am Ende dieses Kapitels, sagt er dann, dass er nun sowohl für das E-Feld als auch für das B-Feld, das mit dem Leiter mitbewegte Bezugssystem nehmen will, um konkret umformen und von der Integralform mit Stokes zur differentiellen Form übergehen zu können.)

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ah hm steht da auch ne Begründung? Ich hab da nix drüber gelesen, außer der Annahme der Galilei-Transformation um die Konstante zu bestimmen (die in diesem Fall = 1 ist).

Kann man vielleicht das totale Zeitdifferential nicht mit dem Integral vertauschen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ne Begründung wofür?

Dass er sowohl für E als auch B das gleiche Bezugssystem nimmt, bevor er konkret rechnet und das in die differentielle Form umformt, ist ja eigentlich schon klar, denn mit zwei verschiedenen Bezugssystemen in ein- und derselben Glechung möchte man sich ja nichts böses einhandeln smile

FloTor · Anmeldungsdatum: 11.12.2005 Beiträge: 128

Ja ist ja eigentlich klar, dass das B-Feld im selben Bezugssystem ist, wie das E-Feld (sonst würde die Integralgleichung auch gar keinen Sinn ergeben glaub ich). Aber trotzdem geht ja dann eine mögliche Bewegung der Leiterschleife als Koordinatentransformation implizit mit ein. Daher steht da ja auch ein totales Differential!

Edit: Achja, hab nochmal drüber nachgedacht. Setze ich E und B ins Bezugssystem des ruhenden Leiters, so habe ich natürlich keine Ortsabhängigkeit des B-Feldes mehr drin. Das heißt es gibt dann nur noch eine explizite Zeitabhängigkeit, welche bei der Koordinatentransformation die Ortsabhängigkeiten ersetzt.
War es das, was du mir sagen wolltest ? smile

Und Toms Erklärung ist mir jetzt auch klar. Man kann das totale Differential nicht unter das Integral ziehen, wenn die Grenzen zeitabhängig sind, oder? (Satz von Leibnitz Augenzwinkern

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