Schwerpunkt

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Hallo!

Ich habe schon diese Frage im Matheboard gestellt, aber da konnte mir niemand helfen, also:

Ich habe folgende Aufgabe:
Bestimme den Schwerpunkt dieses Volumens, begrenzt durch:
y=x²
y=9
x=0
Lass die x-achse rotieren.

Ich denke (hoffe) das Volumen habe ich richtig:

Zu

, heißt es dann?:

Da fehlt mir dann das dritte geschwungene Integralzeichen mit den Limiten für die z-achse, wie bekomme ich das her? Oder wie sonst errechne ich den Schwerpunkt?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Für den Schwerpunkt: Du weißt ja schon bei einem Rotationskörper, dass der Schwerpunkt aus Symmetriegründen auf der Rotationsachse (hier also die x-Achse) liegen muß.
Am einfachsten ist es, wenn Du Dir das ganze Gebilde entlang der x-Achse in dünne Scheiben zerhackst. Die haben alle die Breite dx. Außerdem haben sie die Masse

Wobei A die Fläche einer solchen runden Scheibe sein soll. Dies Fläche kannst Du ausrechnen, indem Du siehst, dass es sich dabei immer um Ringe handelt, also Kreiseflächen (mit Radius 9) aus denen kleinere Kreise mit dem Radius x² ausgestanzt sind. Deshalb ist die Masse dann für eine solche Scheibe:

Wenn Du die einfach alle aufintegrierst, dann bekommst Du gerade die Gesamtmasse, die logischer weise bis auf den Faktor

Deinem Volumen von oben entsprechen muß.
Für den Schwerpunkt mußt Du jetzt aber das hier rechnen:

und

habe ich da schon weggekürzt.
Das ist nichts anderes als eine Mittelwertsbildung in diesem Fall (der Schwerpunkt ist ja so was ähnliches wie ein Mittelwert...)
Ich hätte dann übrigens als Ergebnis 5/4 raus. Aber ohne Garantie Big Laugh

Gruß
Marco

Marleen · Anmeldungsdatum: 15.06.2006 Beiträge: 218

Ich bin fast zu deinem Geburtstag gekommen:

Hier meine Rechenweise:

Das ist ganz dicht an deinem Ergebnis von 1,25 (dies ist auch richtig laut meines Lehrers) Wie kommt diese Abweichung zu stande?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

dachdecker2

Mag vielleicht sein, dass mein Einwurf zu dieser späten Stunde nicht so recht qualifiziert erscheint Augenzwinkern

aber ich muss ihn doch loswerden.

Wenn ich mir die Begrenzungen (x=0, y=x², y=9) ansehe, kann ich da nicht ohne eine Rechnung sagen, dass der Schwerpunkt bei x = +

liegt? Die Rechnungen zeigen, dass ihr außerdem (anstatt y=9?) x=3 als Begrenzung annehmt.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo Dachdecker!

Naja, so ganz eindeutig fand ich die Aufgabenstellung auch nicht, aber wenn man sich den Plot mal anschaut, ist denke ich schon klar, dass die Fläche zwischen y=x², y=9 und x=0 gemeint ist. Klar könnte man auch die Fläche unter der x²-Parabel und der Geraden mit y=9 annehmen, aber die Fläche wäre ja so wie so unendlich. Die hätte weder eine Begrenzung noch rechts noch nach unten. Die einzige (zumindest die einzige endliche) Fläche, die von den drei genannten "Kurven" eingeschlossen wird ist halt die von uns verwendete, denke ich. Und da muß man dann von 0 bis 3 integrieren.

Gruß
Marco

dachdecker2

falsch abgebogen Augenzwinkern

die Späte Stunde ... sorry

Deswegen sag ich immer, man soll sich eine Skizze machen ...